高一数学教案二倍角的正弦余弦正切(三)

1、学习必备欢迎下载课4.7.3二倍角的正弦、余弦、正切( 三 )( 一 )1.(1 ） sin2 2sin cos (2)cos2 cos 2 sin2 2cos2 1 1 2sin2(3)tan2 2 tan1tan 2( 二 )(1)(2) 掌握和差化积与积化和差的方法( 不要求记忆 ).( 三 )(1)(2) 提高学生的思维能力 .教和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用.二倍角公式的变形式的灵活应用.引导学生推得二倍角公式的变形式，从而使学生加深对二倍角公式的理解与应用.( 启发诱导式 )第一张（§ 4.7.3Asin 21cos( 为任意角 )22cos 21cos22（

2、tan 21cos（ ， )21cos2第二张（§ 4.7.3B1sin · cos sin （ ） sin （ 1cos · sin sin （ ） sin （ 1cos · cos cos （ ） cos （ sin · sin 1 cos （ ） cos （ ） .2( 、 为任意角 )第三张（§sin sin 2sin· cos22学习必备欢迎下载sin sin 2cos· sin22cos cos 2cos· cos22cos cos 2sin· sin.22( 、为任意角 ) .师：

3、现在我们进一步探讨和角、差角、倍角公式的应用.先看本章开始所提问题，在章头图中，令AOB ，则 AB asin ，OA acos ，所以矩形 ABCD asin · 2acos a2· 2sin cos a2sin2 a2当 sin2 1，即 2 90°， 45°时， a2sin2 a2 不难看出，这时A、D 两点与 O点的距离都是2 a ，矩形的面积最大，于是问题得到2解决 . .1cos例 1求证 sin 222分析：此等式中的 可作为的2倍.2证明：在倍角公式cos2 1 2sin 2 中以 代替 2 ，以代替 2cos 1 2sin 22 sin

4、 21cos22(1)cos(2)tan221cos2 21 cos21cos生：证明： (1) 在倍角公式cos2 2cos2 1 中以 代替 2 、以代替 2cos 2cos 2 1221cos cos22学习必备欢迎下载sin2(2) 由 tan 2222cos2sin 21cos22cos 21cos22得 tan 221cos1cos( 打出幻灯片§4.7.3 A ，让学生观察 )(1)(2) 由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”( 即用此式可达到“降次”的目的).这一组式子也可称为半角公式，但不要求大家记忆，只要理解并掌握这种推证方法.另外，在这三式中，如果知道cos

5、 的值和角的终边所在象限，就可以将右边开方，2从而求得sin、cos与 tan.222下面，再来看一例子.例 2求证： sin · cos 12sin （ ） sin （ ）分析：只要将（ ）、 （ ） 公式相加，即可推证.证明：由 sin （ ） sin cos cos sin sin （ ） sin cos cos sin 得： sin （ ） sin （ ） 2sin cos 12(1)cos · sin 1 sin （ ） sin （ 2(2)cos · cos 1 cos（ ） cos （ 2(3)sin · sin 1 cos （ ） cos

6、（ 2生：思考片刻，自证.证明： (1) 由 sin （ ） sin cos cos sin sin （ ） sin cos cos sin 得： sin （ ） sin （ ） 2cos sin 即： cos sin 12 sin （ ） sin （ (2) 由 cos （ ） cos cos sin sin cos （ ） cos cos sin sin 得： cos （ ） cos （ ） 2cos cos 学习必备欢迎下载即： cos cos 1 cos （ ） cos （ 2(3) 由 cos （ ） cos cos sin sin cos （ ） cos cos sin sin 得

7、 cos （ ） cos （ ） 2sin sin 即： sin sin 1 cos （ ） cos （ 2( 打出投影片§，让学生对照)师：不难看出，这一组式子也有一共同特点，即，左式均是乘积形式，右式均为和差形式，利用这一式可将乘积形式转化为和差形式，也可称为积化和差公式.师：和差形式是否可以化为乘积的形式呢?看这一例子 .例 3求证 sin sin 2sincos22分析： 可有2代替，222证明：左式 sin sin sin 2 sin 222 sincos cossin sincos cos2222222sin2 2sincos22师：请同学们再证下面三式 .(1)sin

8、sin 2cos2·sin2(2)cos cos 2cos2·cos2(3)cos cos 2sin· sin.22生：证明： (1)令 2则左边 sin sin222 sin 2 sin 222 sin2cos2 cos2sin sincos222cossin22 2cossin22(2) 左边 cos cos学习必备欢迎下载 cos cos 2222 coscos sinsin cos2cos sin222222sin2 2coscos22(3) 左边 cos cos cos cos 2222 coscos sinsin cos2cos sin222222si

9、n2 2sinsin右边 .22( 打出幻灯片§师：这组式子的特点是左式为和差形式，右式为积的形式，所以这组式子也可称为和差化积公式，只要求掌握这种推导方法，不要求记忆. .生： ( 板演练习 ) 课本 P461.证明： tansin1coscossin211cos1(12sin2)sin22tansin2 sincoscos2222sin2sincossin222tan1cos12cos21cos222师：若发现题目中所出现的角有二倍关系，不妨考虑使用二倍角公式. .通过这节课的学习， 要掌握推导积化和差、和差化积公式的方法， 虽不要求记忆， 但要知道它们的互化关系 . 另外，要注

10、意半角公式的推导与正确使用 . 当然，这些都是在熟练掌握二倍角公式的基础上完成的 . .( 一) 课本 P47习题 4.73.( 二 )1. 预习课本P48 P492.（ 1）怎样利用单位圆画正弦曲线?（ 2）余弦曲线与正弦曲线的关系如何?学习必备欢迎下载课题例 1例 2例 31. 求值： cos 280° sin 250° sin190 °· cos320 °解：原式 1cos160 1cos100sin10 cos 402211(cos80cos20 )sin10 cos402112( sin30 sin 50 )sin10 cos4021

11、1 sin501 (sin 50sin 30 )2211344评述：先利用半角公式“降次”，再用和差化积公式，积化和差公式.2. 已知 、 为锐角，且 3sin 2 2sin 2 1， 3sin2 2sin2 0. 求证： 2 22证法 1：由已知得3sin cos2 cos2sin(2)÷得 tan 2tan(2 )sin 2cos(2)22 、 0 ， 0 2 ， 2 02 2 222 2 ， 2 22证法 223sin cos2 cos（ 2） cos · cos2 sin · sin2 23 cos · 3sin sin ·sin22

12、3sin 2cos sin ·3sin cos 0又由 2 （ 0， 2 3223sin证法 3：由已知可得3sin学习必备欢迎下载2cos222 sin 2 sin （ 2） sin cos2 cos sin2 sin · 3sin 2 3 cos · sin2 2 3sin （ sin 2 cos 2 ） 3sin 又由，得 3sin · cos sin2 2 2，得 9sin 4 9sin 2 cos 2 1 sin 1 ，即 sin （ 2 ） 13又 0 2 2 232评述：一般地，若所求角在（0， ）上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在

13、（，) 上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密22切，也可考虑取此角的正切 .3. 在中， sinA是 cos （ ）与 cos（ ）的等差中项，试求(1)tan tanCABCB CB CB的值 .(2) 证明 tan B（ 1 tan C）· cot （ 45° C(1) 解： ABC中， sin Asin （ BC） 2sin （ B C） cos （ B C） cos （ B C 2sin Bcos C 2cosBsin C 2cos Bcos C cos Bcos C 0 tan B tan C 1（ 2）证明：又由上：tan 1 tan C（ 1 tan C）· 1