人教版高中数学选修11：2.3 抛 物 线 课后提升作业 十六 2.3.2.1 Word版含解析

1、起课后提升作业 十六抛物线的简单几何性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2015·陕西高考)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则抛物线焦点坐标为()a.(-1,0)b.(1,0)c.(0,-1)d.(0,1)【解析】选b.因为抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),所以p2=1,所以该抛物线焦点坐标为(1,0).2.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线l的方程是()a.6x-4y-3=0b.3x-2y-3=0c.2x+3y-2=0d.2x+3y-1=0【解析】选a.设直线l的方程为3

2、x-2y+c=0,抛物线y2=2x的焦点f12,0,所以3×12-2×0+c=0,所以c=-32,故直线l的方程是6x-4y-3=0.3.(2016·衡水高二检测)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x26+y22=1的右焦点重合,则p的值为()a.-2b.2c.-4d.4【解析】选d.椭圆x26+y22=1的右焦点为(2,0),所以p2=2,所以p=4.4.(2016·武汉高二检测)已知点a(-2,3)在抛物线c:y2=2px的准线上,记c的焦点为f,则直线af的斜率为()a.-43b.-1c.-34d.-12【解析】选c.因为抛物线c:y2=2px的准线

3、为x=-p2,且点a(-2,3)在准线上,故-p2=-2,解得p=4,所以y2=8x,所以焦点f的坐标为(2,0),这时直线af的斜率kaf=3-0-2-2=-34.5.已知抛物线c:y2=4x的焦点为f,直线y=2x-4与c交于a,b两点,则cosafb=()a.45b.35c.-35d.-45【解析】选d.由y2=4x,y=2x-4得x2-5x+4=0,所以x=1或x=4.不妨设a(4,4),b(1,-2),则|fa|=5,|fb|=2,fa·fb=(3,4)·(0,-2)=-8,所以cosafb=fa·fb|fa|·|fb|=-85×2=

4、-45.6.已知直线l过抛物线c的焦点,且与c的对称轴垂直, l与c交于a,b两点,|ab|=12,p为c的准线上一点,则abp的面积为()a.18b.24c.36d.48【解析】选c.如图所示,设抛物线方程为y2=2px(p>0).因为当x=p2时,|y|=p,所以p=|ab|2=122=6.又p到ab的距离始终为p,所以sabp=12×12×6=36.【补偿训练】设m(x0,y0)为抛物线c:x2=8y上一点,f为抛物线c的焦点,以f为圆心、|fm|为半径的圆和抛物线c的准线相交,则y0的取值范围是()a.(0,2)b.0,2c.(2,+)d.2,+)【解析】选c

5、.因为x2=8y,所以焦点f的坐标为(0,2),准线方程为y=-2.由抛物线的定义知|fm|=y0+2.以f为圆心、|fm|为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.由于以f为圆心、|fm|为半径的圆与准线相交,又圆心f到准线的距离为4,故4<y0+2,所以y0>2.7.(2016·全国卷)以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a,b两点，交c的准线于d,e两点.已知|ab|=4，|de|=2，则c的焦点到准线的距离为( )a.2b.4c.6d.8【解析】选b.以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理可得.设抛物线为y2=2px(p>0)，设圆的方程为x

6、2+y2=r2，题目条件翻译如图：设点a(x0,2)在抛物线y2=2px上，所以8=2px0.点d在圆x2+y2=r2上，所以5+=r2.点a(x0,2)在圆x2+y2=r2上，所以x02+8=r2.联立解得：p=4，焦点到准线的距离为p=48.(2016·天津高二检测)若抛物线x2=2y上距离点a(0,a)的最近点恰好是抛物线的顶点,则a的取值范围是()a.a>0b.0<a1c.a1d.a0【解析】选c.设抛物线上任一点p的坐标为(x,y),则|pa|2=d2=x2+(y-a)2=2y+(y-a)2=y2-(2a-2)y+a2=y-(a-1)2+(2a-1).因为y0,

7、+),根据题意知,(1)当a-10,即a1,y=0时,dmin2=a2.这时dmin=|a|.(2)当a-1>0,即a>1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意.综上可知a1.【易错警示】忽视了y的取值范围是0,+),只想到当点在y轴负半轴时,d最小,导致错选d,或胡乱猜测以致错选b.二、填空题(每小题5分,共10分)9.以双曲线x24-y25=1的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为_.【解析】由x24-y25=1知a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,双曲线的右焦点为(3,0),依题意,抛物线的焦点f(3,0),p2=3,所以p=6,所以抛物线的方程

8、为y2=12x.答案:y2=12x10.(2016·长春高二检测)已知点p是抛物线y2=4x上的动点,点p在y轴上射影是m,点a(4,6),则|pa|+|pm|的最小值是_.【解题指南】将p到y轴的距离,转化为点p到焦点的距离,当a,p,f共线时,|pa|+|pm|最小.【解析】由y2=4x,得p=2,所以焦点f(1,0),如图,|pm|=|pn|-p2=|pf|-1,所以|pa|+|pm|=|pa|+|pf|-1|af|-1=(4-1)2+(6-0)2-1=35-1.答案:35-1【补偿训练】抛物线y2=4x的焦点为f,准线为l,点a是抛物线上一点,且afo=120°(o

9、为坐标原点),akl,垂足为k,则akf的面积是_.【解析】如图,设a(x0,y0),过a作ahx轴于h,在rtafh中,|fh|=x0-1,由afo=120°,得afh=60°,故y0=|ah|=3(x0-1).所以点a的坐标为(x0,3(x0-1),将此代入抛物线方程可得3x02-10x0+3=0,解得x0=3或x0=13(舍),故sakf=12×(3+1)×23=43.答案:43三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于a,b

10、两点,o为坐标原点.若双曲线的离心率为2,aob的面积为3,求抛物线的标准方程.【解题指南】由双曲线离心率求得其渐近线方程,从而求得交点a,b的坐标,即可得到三角形面积表达式,从而得到p的值,进而写出标准方程.【解析】由已知得ca=2,所以a2+b2a2=4,解得ba=3,即渐近线方程为y=±3x.而抛物线准线方程为x=-p2,于是a-p2,-3p2,b-p2,3p2,从而aob的面积为12·3p·p2=3,可得p=2.因为抛物线开口向右,所以其标准方程为y2=4x.12.若直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于a,b两点,且线段ab中点的横坐标为2,求线段

11、ab的长.【解析】因为抛物线方程为y2=4x,所以抛物线的焦点为f(1,0),准线为:x=-1,设线段ab的中点为m(2,y0),则m到准线的距离为:|mn|=2-(-1)=3,过a,b分别作ac,bd与准线垂直,垂足分别为c,d.根据梯形中位线定理,可得|ac|+|bd|=2|mn|=6.再由抛物线的定义知:|af|=|ac|,|bf|=|bd|.所以|ab|=|af|+|bf|=|ac|+|bd|=6.即线段ab的长为6.【能力挑战题】已知抛物线c:y2=2px(p>0),焦点为f,准线为l,抛物线c上一点a的横坐标为3,且点a到准线l的距离为5.(1)求抛物线c的方程.(2)若p为抛物线c上的动点,求线段fp的中点m的轨迹方程.【解析】(