第四节分部积分法

1、第四节第四节 分部积分法分部积分法分部积分法积分公式分部积分法积分公式: dxuvuvdxvu证明证明uvvuuv )(由由得得 vu dxuvdxuvdxvu)(积分积分. dxuvuvdxvu从而从而uvuv )(例例1求求.2dxxex 解解 原式原式dxexx )21(2xxe221 xxe221 原式原式dxxex )21(22xex2221 xex2221 dxxex 221.412cex dxexx )(2122dxexx 22错误做法错误做法xxe221 dxex 221例例2求求.3cos)12(dxxx 解解 原式原式dxxx )3sin31)(12(xx3sin)12(3

2、1 xx3sin)12(31 xx3sin)12(31 .3cos923sin)12(31cxxx dxxx )12(3sin31dxx 23sin31xdx 33sin3132 例例3求求.tanlnsindxxx 解解 原式原式dxxx)cos(tanln xxtanlncos xxtanlncos xxtanlncos dxx )cos(dxx csc.cotcsclncxx xx2seccot 例例4求求.cos2dxxx 解解 原式原式dxxx )(tanxxtan .coslntancxxx 例例5求求.sincos3dxxxx 解解 原式原式dxxx )sin21(2xx2sin

3、21 .cot21csc212cxxx dxx tandxx 2sin21例例6求求.sin2dxxex 解解 原式原式dxexx )21(sin2xxe2sin21 xxe2sin21 xxe2sin21 所以所以 原式原式cxxex )cos21(sin522dxxex cos212dxexx )21(cos212xxe2cos41 dxxex sin412例例6求求.sin2dxxex 另解另解 原式原式dxxex )cos(2xxe2cos 所以所以 原式原式cxxex )cos21(sin522xxe2cos xxe2cos dxexx22cos dxxex )(sin22xexsi

4、n22 dxexx 24sin例例7求求.ln3dxxx 解解 原式原式dxxx )41(ln4xx ln414 xx ln414 cxxx 44161ln41dxxx 1414dxx 341例例8求求.arctan2dxxx 解解 原式原式dxxx )31(arctan3xx arctan313 xx arctan313 cxxxx )1ln(6161arctan31223dxxx 23131dxxxx )1(312例例9求求.arcsin dxxx 解解 原式原式dxxx )21(arcsin2xx arcsin212 令令txsin 则则tdtdxcos dxxx221 tdtttcos

5、cossin2dtt 2sindxxx 221121dtt 22cos1ctt 2sin4121cttt cossin2121cxxx 2121arcsin21原式原式dxxxxx 2221121arcsin21xx arcsin212 .141arcsin412cxxx 分部积分法通常解决的积分类型分部积分法通常解决的积分类型:dxexpx )(dxxxp sin)(dxxxp ln)(dxxxp arcsin)(常见不可积的形式常见不可积的形式:dxx 2cosdxx 2sindxex 2dxex 2dxex 1dxxx sin利用分部积分法建立递推公式利用分部积分法建立递推公式(选学内容

6、选学内容)例例10 求求. 0,)(22 anaxdxinn为自然数为自然数解解 nnaxdxi)(22dxaxxaxan )(1222222dxaxan 1222)(11121 niadxaxxan )(12222dxaxxnan )()1(211)1(222dxaxxnaiann )()1(2111)1(22212121 nia122212)()1(211 nnaxxania12)1(21)1(2 niann.)()1(2)1(21)1(2122212 nnnaxanxianni2)1(21an 122)( naxx1 ni1222)()1(2 naxanx)(1122dxaxn 1222121)()1(2)1(21)1(2 nnnaxanxiannicaxadxa