数学人教A版选修11优化练习：3．4　生活中的优化问题举例 Word版含解析

1、高中数学选修精品教学资料课时作业 a组基础巩固1设底面为正三角形的直棱柱的体积为v,那么其表面积最小时,底面边长为()a. b. c. d2解析：设底面边长为x,侧棱长为h,则x2hv,sx23x·hx2,sx,令s0,x34v,x时,s取得极小值也是最小值答案：c2一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为st32t2,那么速度为0的时刻是()a1秒末 b0秒c2秒末 d0秒末或1秒末解析：由题意可得t0,s4t24t,令s0,解得t10,t21.答案：d3内接于半径为r的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为()a.和r b.r和rc.r和r d以上都不对解析：设矩形一边的长为

2、x,则另一边的长为2,则l2x4(0<x<r),l2,令l0,解得x1r,x2r(舍去)当0<x<r时,l>0；当r<x<r时,l<0,所以当xr时,l取最大值,即周长最大的矩形的宽和长分别为r,r.答案：b4某工厂生产某种产品,已知该产品每吨的价格p(元/吨)与产量x(吨)之间的关系式为p24 200x2,且生产x吨的成本为r50 000200x(元),为使利润最大,则产量应为()a200吨 b20吨 c150吨 d100吨解析：利润lp·xrx50 000200xx324 000x50 000(x>0),lx224 000,令

3、l0,得x240 000.x200.经检验,当x200时利润最大答案：a5将边长为1 m的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记s,则s的最小值是()a. b.c. d.解析：如图所示,设adx m(0x1),则deadx m,梯形的周长为x2(1x)13x(m),又sadex2(m2),梯形的面积为x2(m2),s×(0x1),s×,令s0得x或3(舍去),当x(0,)时,s0,s递减,当x(,1)时,s0,s递增故当x时,s的最小值是.答案：a6将长为72 cm的铁丝截成12段,搭成一个正四棱柱的模型,以此为骨架做成一个容积最大的容器,则容器的

4、高为_解析：设容器的底面边长为x,高为h,则8x4h72,h182x(0<x<9)容积vx2hx2(182x)18x22x3.v36x6x26x(6x)当0<x<6时,v>0；当6<x<9时,v<0当x6时v最大,这时h6.答案：67随着人们生活水平的提高,汽车的拥有量越来越多,据有关统计数据显示,从上午6点到9点,车辆通过某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似表示为yt3t236t.则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是_解析：由题意知,所求的量为当y为最大值时的自变量t的取值,yt2t36,令y0,得3t212t

5、36×80,t18,t212(舍)当t(6,8)时,y>0,t(8,9)时,y<0,所以t8时,y有最大值答案：8点8在半径为r的半圆内作一内接梯形,使其下底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形面积最大时,梯形的上底长为r的_倍解析：设梯形的上底长为2x,高为h,面积为s,h,s(rx)·.s.令s0,得x,hr.当x时,s0；当xr时,s0.当x时,s取极大值也是最大值故当梯形的上底长为r时,它的面积最大,1.答案：19某种产品每件成本为6元,每件售价为x元(6<x<11),年销售为u万件,若已知u与2成正比,且售价为10元时,年销量为28万件(1)求

6、年销售利润y关于售价x的函数关系式；(2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润解析：(1)设uk2,售价为10元时,年销量为28万件,28k2,解得k2.u222x221x18.y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108(6<x<11)(2)y6x266x1086(x211x18)6(x2)(x9)令y0,得x2(舍去)或x9,显然,当x(6,9)时,y>0；当x(9,11)时,y<0.函数y2x333x2108x108在(6,9)上是递增的,在(9,11)上是递减的当x9时,y取最大值,且ymax135,售价为9元时,年利润最大,最大年利润为1

7、35万元10某工厂统计资料显示：产品的次品率b与日产量x件(xn,1x89)的关系符合下列规律：x123489b又知道每一件正品盈利a元,每生产一件次品损失(a>0)元(1)将该厂日盈利额表示成日产量x件的函数；(2)为了获得最大盈利,该厂的日产量应定为多少件？(1.7)解析：(1)由b与x的对应规律得次品率为b(xn,1x89)故日产量x件中,次品数为bx件,正品数为(xbx)件,则日盈利额：ta(xbx)bxa(x)(xn,且1x89)(2)ta1a1令t0,则100x10,x10010,当1x10010时,t>0,函数t单调递增；当10010<x89时,t<0,函

8、数t单调递减所以当x1001083时,t取最大值因此,要获得最大盈利,该厂的日产量应定为83件b组能力提升1某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入r与年产量x(0x390)的关系是r(x)400x,0x390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是()a150 b200 c250 d300解析：由题意可得总利润p(x)300x20 000,0x390,由p(x)0,得x300.当0x<300时,p(x)>0；当300<x390时,p(x)<0,所以当x300时,p(x)最大答案：d2做一个圆柱形锅炉,容积为v,两个

9、底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为()a. b. c. d.解析：如图,设圆柱的底面半径为r,高为h,则vr2h.设造价为y2r2a2rhb2ar22rb·2ar2,y4ar.令y0,得.答案：c3设一个容积v固定的有铝合金盖的圆柱形铁桶,高为h,底面半径为r.已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍,则hr_时,造价最低解析：圆柱形铁桶的高为h,底面半径为r,设单位面积铁的造价为m,桶的总造价为y,则y3mr2m(r22rh)因为vr2h,得h,所以y4mr2.所以y8mr.令y0,解得r,此时h4.故当r时,y0,

10、函数单调递减；当r时,y0,函数单调递增所以r为函数的极小值点,且是最小值点所以当r时,y有最小值所以当hr41时,总造价最低答案：414.如图,内接于抛物线y1x2的矩形abcd,其中a,b在抛物线上运动,c,d在x轴上运动,则此矩形的面积的最大值是_解析：设cdx,则点c坐标为,点b坐标为,矩形abcd的面积sf(x)x·x,x(0,2)由f(x)x210,得x1(舍),x2,x时,f(x)>0,f(x)是递增的；x时,f(x)<0,f(x)是递减的,当x时,f(x)取最大值.答案：5.某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业

11、园区,已知abbc,oabc,且abbc2ao4 km,曲线段oc是以点o为顶点且开口向右的抛物线的一段,如果要使矩形的相邻两边分别落在ab、bc上,且一个顶点落在曲线段oc上,问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到0.1 km2)解析：以o为原点,oa所在直线为y轴建立直角坐标系如图所示依题意可设抛物线方程为y22px(p>0),且c(4,2)因为222·p·4,所以p.故曲线段co的方程为y2x(0x4,y0)设p(y2,y)(0y2)是曲线段oc上的任意一点,则|pq|2y,|pn|4y2,所以工业园区面积s|pq|·

12、;|pn|(2y)(4y2)y32y24y8.则s3y24y4.令s0,得y1,y22.又因为0<y<2,所以当y(0,)时,s>0,s是y的增函数；当y(,2)时,s<0,s是y的减函数所以y时,s取到极大值此时|pq|2y,|pn|4y2.所以s×9.5.又因为y0时,s8；y2时,s0,所以smax9.5(km2)所以把工业园区规划成长为km,宽为 km的矩形时,工业园区的面积最大,最大面积约为9.5 km2.6. 如图所示,有块半椭圆形钢板,椭圆的长半轴长为2r,短半轴长为r,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底ab是半椭圆的短轴、上底cd的端点在椭圆上,记cd2x,梯形面积为s.(1)求s以x为自变量的函数表达式,并写出其定义域；(2)求s的最大值解析：(1)依题意,以ab的中点o为原点,ab为x轴,建立直角坐标系xoy,则点c的横坐标x,纵坐标y满足方程1(y0),解得y2(0<x<r),故