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1、第三章第三章 第一节第一节 拉格朗日（拉格朗日（lagrangelagrange）中）中值定理及函数的单调性值定理及函数的单调性 一、一、 拉拉格朗日中值定理格朗日中值定理 二、二、 两个重要推论两个重要推论 三、三、 函数的单调性函数的单调性 )()()(abfafbf . . 一一、拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理拉格朗日中值定理几何演示拉格朗日中值定理几何演示212112()( )( )()(),f xf xf xxxx. . . . . . . . . . . . . . 二、两个重要推论二、两个重要推论,cotarctanxxarcx2xarcxxfcotarctan)(011112

2、2)()()(xxxfcxarcxxfcotarctan)(2000cotarctanarcc,cotarctanxxarcx2例例1 1 证明恒等式证明恒等式证证: : 令令因为因为所以所以依据推论依据推论1 1对定义域内的任意对定义域内的任意 成立成立, ,取取 得得 0 xx即即自己证明自己证明112,arccosarcsinxxxxy0ab三、三、函数的单调性函数的单调性)()()()(211212xxxxfxfxf . 例例3.3. 确定函数确定函数3129223xxxxf)(的单调区间的单调区间. .解解: :121862xxxf)()(216xx令,)(0 xf得21xx,x)(

3、xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),(221故)(xf的的单调增单调增区间为区间为, ),(1);,(2)(xf的的单调减单调减区间为区间为).,(2112xoy12yxo说明说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点也可是导数不存在的点. 例如例如,),(,xxy32332xy 0 xy32xy 2) 如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性 .例如例如,),(,xxy323xy 00 xyyox3xy 例例4 证明不等式证明不等式),(20 xxxtan令令,tan)(xxx则

4、则xx21 sec)(x2tan),(,200 x,)(上递减上递减在在20 x从而从而00 )()(x即即),(,tan200 xxxxxtan)(,)ln(011xxxx)()()()(001111122xxxxxxxxf则则上上连连续续在在令令解解：),)ln()(011xxxxf上上单单调调增增加加，在在所所以以因因00)(,)(xfxf00 )()(fxf则则有有，x时时当当0)ln()ln(xxxxxx11011即即例例5 5 证明不等式证明不等式 2 2 罗尔罗尔(rolle(rolle) )中值定理是微分中值定理中一中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理仔细阅读下面给出的罗尔中值定理个

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