第四节二阶常系数齐次线性微分方程

1、一阶线性方程一阶线性方程)()(xqyxpy dxexqeceydxxpdxxpdxxp )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解常数变易法常数变易法二阶微分方程二阶微分方程, 0),( yyyxf).,(yyxfy 复习复习:)()()(cdxexqeydxxpdxxp 时，时，当当0)( xf时，时，当当0)( xf.,:的的一一次次方方程程是是关关于于特特点点yyy 第四节第四节 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程的概念及其性质一、二阶常系数齐次线性微分方程的概念及其性质二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系

2、数齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 )1(0 qyypy证明证明的解的解是是由于由于)1(,21yy0)()(111 yxqyxpy则则0)()(222 yxqyxpy）的左边，得）的左边，得代入（代入（将将12211ycycy 解的线性组合解的线性组合11212 , 2 , iyyyy 对于二阶常系数齐次线性微分方程，对于二阶常系数齐次线性微分方程， 具有下面的性质具有下面的性质 )()()(221122112211ycycqycycpycyc 左边左边)()(22221111qyypycqyypyc 右边右边 0)()()(221122112211

3、ycycqycycpycyc 证毕证毕问题问题:一一定定是是通通解解吗吗？2211ycycy 例如例如的的两两个个特特解解为为：0 yyxxeyey2,21 .)2(22121就就不不是是通通解解而而xxxeccececy 的的两两个个特特解解为为：又又知知0 yyxxeyey 21,.021的通解的通解就是就是 yyececyxx例如例如的的两两个个特特解解为为：0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常数常数且且 xyy.sincos21xcxcy 的的两两个个特特解解为为：0 yyxxeyey 21,.021的的通通解解就就是是 yyececyxx常数常数 xxxeee2线性无

4、关线性无关例如例如rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr,0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy(p,q为常数为常数)是方程的解是方程的解.,rxrey 则则rxery2 二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法(1) 有两个不相等的实根有两个不相等的实根21rr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解：两个线性无关的特解：得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxrececy )0( 设特征根为设特征根为常常数数 xrrxrxreee)

5、(2121023 yyy如如特征方程为特征方程为0232 rr2, 121 rrxxececy221 通通解解为为：且且21,rr(2) 有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexccy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为044 yyy如如特征方程为特征方程为0442 rr221 rrxexccy221)( 通通解

6、解为为：)(12xuyy (3) 有一对共轭复根有一对共轭复根,1 ir ,2 ir xiey)(1 xiey)(2 )0( 重新组合重新组合)(21211yyy ,cosxex )(21212yyiy ,sinxex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xcxceyx 设特征根为设特征根为0 yy如如特征方程为特征方程为012 ririr 21,xcxcysincos21 通通解解为为：xixee )sin(cosxixex xixee )sin(cosxixex 02 qprr0 qyypy定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通由常系数齐次线性方程的特征

7、方程的根确定其通解的方法称为解的方法称为特征方程法特征方程法.总之总之解解 特征方程为特征方程为,0962 rr解得解得321 rr故所求通解为故所求通解为.)(321xexccy解解 特征方程为特征方程为,0322 rr解得解得故所求通解为故所求通解为1, 321 rrxxccyee231 (c1,c2为任意常数为任意常数).解解 特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,212,1ir 故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xcxceyx 解解 特征方程为特征方程为0122 rr121 rr解得解得方程的通解为方程的通解为 ttccs e )(21ttcs e )4(2于是

8、于是 对其求导得对其求导得 ttccs e )4(22所求特解为所求特解为 tts e)24(图6.1解解由题意可得微分方程由题意可得微分方程0 lg其特征方程为其特征方程为02 lgrilgrilgr 21,特征根为特征根为tlgctlgcsincos21 所以方程的通解为所以方程的通解为acaccca22221cos,sin,1 )sin( tlga若令若令则通解为则通解为四、小结四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表