第四节函数展开成幂级数48219

1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回第四节第四节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数 一、泰勒级数一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 三、小结三、小结 思考题思考题 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、泰勒级数上节例题上节例题)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在幂级数在其收敛存在幂级数在其收敛域内以域内以f(x)为和函数为和函数问题问题: 1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?上页上页下页下页返回返回上页

2、上页下页下页返回返回证明证明即即内收敛于内收敛于在在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010 内具有任意阶导在如果函数定理oxuxf 1 的幂级数内能展开成且在数ooxxxu,0nnonxxaxf即 , 2 , 1 !10nxfnann则其系数且展开式是唯一的上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得即得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的,.)(的展开式是唯一的的展开式是唯一的xf 10021)()(2)(nnxxn

3、axxaaxf逐项求导任意次逐项求导任意次,得得泰勒系数泰勒系数上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回问题问题nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定不一定.nnnxnf 0)(!)0(称为称为)(xf在点在点00 x的的麦克劳林级数麦克劳林级数 . . 处任意阶可导则幂级数在点如果0 xxf 泰勒级数称为在点的000!nnnxxnxf定义定义上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 0, 00,)(21xxexfx例如例如), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的

4、麦氏级数为的麦氏级数为. 0)(),( xs内和函数内和函数该级数在该级数在可见可见).()(,0 xfxfs于于的麦氏级数处处不收敛的麦氏级数处处不收敛外外除除 在在x=0点任意可导点任意可导,上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回定理定理 2 2 )(xf在点在点0 x的泰勒级数的泰勒级数, ,在在)(0 xu 内收内收敛于敛于)(xf在在)(0 xu 内内0)(lim xrnn. .证明证明必要性必要性)()(!)()(000)(xrxxixfxfninii ),()()(1xsxfxrnn ,)(能展开为泰勒级数能展开为泰勒级数设设xf)()(lim1xfxsnn )(lim

5、xrnn)()(lim1xsxfnn ;0 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回充分性充分性),()()(1xrxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxrnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于 对上有定义，在设定理, 0 30mxuxf mxfrxrxxn恒有,00 内可展在则，rxrxxfn00,),2 , 1 , 0(的泰勒级数开成点0 x泰勒级数的开成点0 x泰勒级数的开成点0 x上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回证明证明10)1()()!1()()( nnnxxnfxr ,)!1(1

6、0 nxxmn),(00rxrxx ,),()!1(010收敛收敛在在 nnnxx, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xrnn故故.0的泰勒级数的泰勒级数可展成点可展成点x),(00rxrxx 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回二、函数展开成幂级数1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(mxfrnnn 或或讨论讨论).(xf敛于敛于则级数在收敛区间内收则级数在收敛区间内收上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例1解解.)(展开成幂级数展开成幂级数将将xexf ,)()

7、(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1! 2112, 0 m上上在在,mm xnexf )()(me ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于m的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例2.sin)(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )

8、!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例3.)()1()(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xrxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 r上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回若若内内在在,)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !)

9、1()1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm 利用利用上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回)()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx)(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且两边积分两边积分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2)1 , 1( x牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式注意注意: :.

10、1的取值有关的取值有关处收敛性与处收敛性与在在 x);1 , 1(1 收收敛敛区区间间为为;1 , 1(11 收收敛敛区区间间为为.1 , 11 收收敛敛区区间间为为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回有有时时当当,21, 1 )1 , 1()1(11132 nnxxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx 1 , 1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx双阶乘双阶乘上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式

11、, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分等方等方法法,求展开式求展开式.例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例4处展开成泰勒级数处展开成泰勒

12、级数在在将将141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并求并求的幂级数的幂级数展开成展开成 )1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 x上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回xxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回三、小结1.如何求函数的泰勒级数如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件泰勒级数收敛于函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法函数展开成泰勒级数的方法.

13、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题思考题什么叫幂级数的间接展开法？什么叫幂级数的间接展开法？上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题解答思考题解答 从已知的展开式出发从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数求出给定函数展开式的方法称之展开式的方法称之.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一一、 将将下下列列函函数数展展开开成成x的的幂幂级级数数, ,并并求求展展开开式式成成立立的的区区间间: : 1 1、xa； 2 2、)1ln()1(xx ; ; 3 3、

14、xarcsin； 4 4、3)1(1xx . .二二、 将将函函数数3)(xxf 展展开开成成)1( x的的幂幂级级数数, ,并并求求展展开开式式成成立立的的区区间间 . .三三、 将将 函函 数数231)(2 xxxf展展 开开 成成)4( x的的 幂幂 级级数数 . .四四、 将将级级数数 11211)!12(2)1(nnnnnx的的和和函函数数展展开开成成)1( x的的幂幂级级数数 . .练练 习习 题题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回练习题答案练习题答案一、一、1 1、)(!)(ln0 xxnannn； 2 2、)11()1()1(111 xxnnxnnn； 3 3、)11()2()12()