高中数学人教A版选修11练习：第2章 圆锥曲线与方程2.3.2 Word版含解析

1、高中数学选修精品教学资料第二章 2.3 2.3.2a级基础巩固一、选择题1过抛物线y22px(p>0)的焦点且垂直于x轴的弦为ab,o为抛物线顶点,则aob的大小(c)a小于90° b等于90°c大于90°d不能确定解析过抛物线焦点且垂直于x轴的弦ab为通径,其长度为2p,又顶点到通径的距离为,由三角函数知识可知,aob大于90°.2若ab为抛物线y24x的弦,且a(x1,4)、b(x2,2),则|ab|(b)a13bc6 d4解析代入点a,b可得x14,x21,由两点间距离公式得|ab|.3若抛物线y2x上一点p到准线的距离等于它到顶点的距离,则

2、点p的坐标为(b)a(,±)b(,±)c(,)d(,)解析设焦点为f,原点为o,p(x0,y0),由条件及抛物线的定义知,|pf|po|,又f(,0),x0,y,y0±,故选b4已知p(8,a)在抛物线y24px上,且p到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为(b)a2b4c8d16解析根据题意可知,p点到准线的距离为8p10,可得p2,所以焦点到准线的距离为2p4,选b5已知f是抛物线y2x的焦点,a、b是该抛物线上的两点,|af|bf|3,则线段ab的中点到y轴的距离为(c)ab1cd解析设a(x1,y1)、b(x2,y2),由|af|bf|3得,x1x23,

3、x1x2,线段ab的中点到y轴的距离为.6(2017·全国文,12)过抛物线c：y24x的焦点f,且斜率为的直线交于c于点m(m在x轴的上方),l为c的准线,点n在l上,且mnl,则m到直线nf的距离为(c)ab2c2d3解析抛物线y24x的焦点为f(1,0),准线方程为x1.由直线方程的点斜式可得直线mf的方程为y(x1)联立得方程组解得或点m在x轴的上方,m(3,2)mnl,n(1,2)|nf|4,|mf|mn|4.mnf是边长为4的等边三角形点m到直线nf的距离为2.故选c二、填空题7过点m(3,2)作直线l与抛物线y28x只有一个交点,这样的直线共有_1_条.解析点m(3,2

4、)在抛物线内部,过点m平行于x轴的直线y2与抛物线y28x只有一个交点8若抛物线y22px(p>0)上有一点m,其横坐标为9,它到焦点的距离为10,则点m的坐标为_(9,6)或(9,6)_.解析由抛物线方程y22px(p>0),得其焦点坐标为f,准线方程为x,设点m到准线的距离为d,则d|mf|10,即(9)10,p2,故抛物线方程为y24x.将m(9,y)代入抛物线方程,得y±6,m(9,6)或m(9,6)三、解答题9(2016·山东聊城高二检测)抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线

5、的标准方程.解析如图,依题意可设抛物线标准方程为y22px(p>0),则直线方程为yxp.设直线交抛物线于a(x1,y1)、b(x2,y2),过a、b分别作准线的垂线,垂足为c、d,则由抛物线定义得|ab|af|fb|ac|bd|x1x2,即x1x2p8.又a(x1,y1)、b(x2,y2)是直线和抛物线的交点,由,消去y得x23px0.x1x23p.将其代入,得p2.所求的抛物线标准方程为y24x.当抛物线方程设为y22px(p>0)时,同理可求得抛物线标准方程为y24x.b级素养提升一、选择题1直线ykx2交抛物线y28x于a、b两点,若ab中点的横坐标为2,则k(c)a2或2

6、b1c2d3解析由,得k2x24(k2)x40,则4,即k2.2(2016·山东聊城高二检测)已知点f是抛物线y24x的焦点,m、n是该抛物线上两点,|mf|nf|6,则mn中点的横坐标为(b)ab2cd3解析f是抛物线y24x的焦点,f(1,0),准线方程x1,设m(xm,ym)、n(xn,yn),|mf|nf|xm1xn16,解得xmxn4,mn中点的横坐标为2.3等腰rtabo内接于抛物线y22px(p>0),o为抛物线的顶点,oaob,则abo的面积是(b)a8p2b4p2c2p2dp2解析设点a在x轴的上方,则由抛物线的对称性及oaob知,直线oa的方程为yx.由,得

7、a(2p,2p)则b(2p,2p),所以ab4p.所以sabo·4p·2p4p2.4过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于a、b两点o为坐标原点,则·的值是(d)a12b12c3d3解析设a(,y1)、b(,y2),则(,y1),(,y2),则·(,y1)·(,y2)y1y2,又ab过焦点,则有y1y2p24,·y1y243,故选d5已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1,抛物线y24x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(b)ab2cd3解析由题可知l2：x1是抛物线y24x的准线,设抛物线的焦点为f(1,0),则

8、动点p到l2的距离等于|pf|,则动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点f到直线l1：4x3y60的距离,所以最小值是2.故选b二、填空题6已知直线ya交抛物线yx2于a、b两点,若该抛物线上存在点c,使得acb为直角,则a的取值范围为_a1_.解析本题考查了直角三角形的性质抛物线的范围以及恒成立问题,不妨设a(,a),b(,a),c(x0,x),则(x0,ax),(x0,ax),acb90°.·(x0,ax)·(x0,ax)0.xa(ax)20,则xa0.(ax)(ax1)0,ax10.xa1,又x0.a1.7p为抛物线yx2上一动点,直线l：yx

9、1,则点p到直线l距离的最小值为.解析设p(x0,x)为抛物线上的点,则p到直线yx1的距离d.当x0时,dmin.三、解答题8过抛物线y24x的焦点f的直线交该抛物线于a、b两点若|af|3,求|bf|的长.解析设点a(x1,y1)、b(x2,y2),由|af|3及抛物线定义可得,x113,x12,a点坐标为(2,2),则直线ab的斜率为k2.直线ab的方程为y2(x1)由,消去y得,2x25x20,解得x12,x2.|bf|x21.c级能力提高1已知f是抛物线y24x的焦点,过点f且斜率为1的直线交抛物线于a,b两点,设|fa|>|fb|,则32.解析抛物线y24x的焦点f(1,0),过f斜率为1的直线方程为yx1,设a(x1,y1),b(x2,y2),由,消去y得x26x10,求得x132,x232,故由抛物线的定义可得32.2(2017·全国文,20)设a,b为曲线c：y上两点,a与b的横坐标之和为4.(1)求直线ab的斜率；(2)设m为曲线上一点,c在m处的切线与直线ab平行,且ambm,求直线ab的方程解析(1)解：设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1x2,y1,y2,x1x24,于是直线ab的斜率k1.(2)解：由y,得y.设m(x3,y3),由题设知1,解得