第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

1、1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束第四节 函数的单调性 与曲线的凹凸性一、单调性的判别法一、单调性的判别法二、单调区间求法二、单调区间求法六、小结六、小结三、曲线凹凸的定义三、曲线凹凸的定义五、曲线凹凸的判定五、曲线凹凸的判定四、曲线的拐点及其求法四、曲线的拐点及其求法2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束一、单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abab0)( xf0)( xf【定理【定理】.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在

2、在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abba3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【证【证】),(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理, ,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调增加上单调增加在在baxfy , 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调减少上单调减少在在

3、baxfy 4机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例1】【解【解】.1 的的单单调调性性讨讨论论函函数数 xeyx1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y上单调减少；上单调减少；，函数在函数在 0(- ,), 0(内内在在, 0 y. )0, 上单调增加上单调增加函数在函数在【注意【注意】函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性的导数符号来判别一个区间上的单调性).,(:d又又【说明【说明】定理中区间换成其它有限

4、或无限区间，结论仍成立定理中区间换成其它有限或无限区间，结论仍成立. .5机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例2】 32的的单单调调性性讨讨论论函函数数xy 【解【解】),( d连续连续332xy )0( x时时当当)0 ,( x0 y时时当当), 0( x0 y 0 ,( 32内单调减少内单调减少在在则则 xy )0, 32内单调增加内单调增加在在则则 xy如上图如上图32xy 【问题【问题】函数在定义区间上不是单调的，但在各个函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调单调区间的分界点怎么求呢？部分区间上单调单调区间的分界点怎么求呢？6机动机动 目录目录

5、 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束二、单调区间求法【定义【定义】若函数在其定义域的某个区间内是单若函数在其定义域的某个区间内是单 调的，则该区间称为函数的调的，则该区间称为函数的单调区间单调区间. .导数等于零的点导数等于零的点( (驻点驻点) )和不可导点，和不可导点，可能是单调区间的分界点可能是单调区间的分界点【方法【方法】.,)()(0)(数数的的符符号号然然后后判判断断区区间间内内导导的的定定义义区区间间来来划划分分函函数数不不存存在在的的点点的的根根及及用用方方程程xfxfxf 【可能分界点可能分界点】7机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束单调区间的求法步

6、骤：单调区间的求法步骤：求求)( xfd ，求驻点、不可导点求驻点、不可导点( (可能的分界点可能的分界点) )确定单调区间确定单调区间列表考察列表考察 f ( (x) )在各个区间内的符号在各个区间内的符号8机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例3】【解【解】.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf ).,(:可导可导d12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)( xf. 2, 121 xx上上单单调调增增加加；在在1 ,( 上上单单调调减减少少；在在2 , 1 上上单单调调增增加加；在在), 2 单调区间为

7、单调区间为，1 ,(，2 , 1)., 2x)1 ,()2 , 1(), 2()(xf )(xf 10209机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例4】【解【解】 讨论函数的单调性讨论函数的单调性3xy ),( : xd032 xy00 xy在在 x = 0 处有一水平切线处有一水平切线3xy 在在(,0及及0,）上都单调增加）上都单调增加如图所示如图所示10机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例5】【证【证】.)1ln(,0成成立立试试证证时时当当xxx ),1ln()( xxxf 设设.1)(xxxf 则则, 0)(), 0(,), 0

8、)( xfxf可可导导，且且上上连连续续在在上单调增加；上单调增加；在在), 0 , 0)0( f时，时，当当0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即 , 0)0()( fxf【应用【应用】 利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式【结论【结论】 若函数在某区间上除有限个点导数为若函数在某区间上除有限个点导数为 零外零外, , 均有均有 ( (或或 ),), 则不影响函数的单调性则不影响函数的单调性. . 0)( xf0)( xf教材教材p130例例111机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【补例【补例6】证明证明 6sin 20 3xxxx ，时时当当 【证【

9、证】6sin)( 3xxxxf 令令2, 0 x21cos)(2xxxf 2, 0 x正负不正负不易判定易判定0sin)( xxxf)2, 0( x 2, 0)( 内单调增加，内单调增加，在在 xxf )( 02 xfx 则则 2, 0 )( 为单增函数，为单增函数，在在故故 xxf )(0 xfx由由即即6sin 20 3xxxx ，时时当当 证完证完 0)0( f0)0( f0)0( f0)0( f12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【补例【补例7】【应用【应用】 利用单调性确定某些方程实根的个数利用单调性确定某些方程实根的个数. . . 01 5只只有有一一个个

10、正正根根证证明明方方程程 xx前已证过前已证过1. . 用零点定理证用零点定理证存在性存在性（正根）（正根）. .2. . 用罗尔定理反证用罗尔定理反证唯一性唯一性. .以下用以下用1. . 用零点定理证用零点定理证存在性存在性（正根）（正根）. .2. . 用函数的单调性证用函数的单调性证唯一性唯一性. .【证明【证明】唯一性唯一性015)( 4 xxf ),( )( 内单调增加内单调增加在在xf则其图象若与则其图象若与 轴相交则仅相交一次轴相交则仅相交一次x存在性存在性（略，用零点定理在（略，用零点定理在 内证）内证）1 , 0故方程故方程 只有一个正根只有一个正根. .0)( xf【证完

11、【证完】13机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束三、曲线凹凸的定义【问题【问题】单调性不能反映曲线的弯曲方单调性不能反映曲线的弯曲方 向；如何研究曲线的弯曲方向向；如何研究曲线的弯曲方向? ?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方abc14机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束的的（或或凸凸弧弧）上上的的图图形形是是（向向上上）凸凸在在那那末末称称如如果果恒恒有有的的（或或凹凹弧弧）上上的的图图形形是是（向向上上）

12、凹凹在在那那末末称称恒恒有有点点上上任任意意两两如如果果对对上上连连续续在在区区间间设设 )(,2)()()2(; )(,2)()()2(,)(2121212121ixfxfxfxxfixfxfxfxxfxxiixf 【定义【定义】;)(,)(,)(),(, ,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf15机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束四、曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abab递增递增)(xf abba0 y递减递减)(xf 0 y【定理【定理1

13、 1】.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在一阶和二阶导数一阶和二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 【观察【观察】16机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【证【证】只证只证( (1) )如图如图o1x2x0 x1 2 x,21baxx 21 xx 且且0212 xxx 记记hxxxx 1002 并记并记hxx 01 则则hxx 02由拉氏中值定理可得由拉氏中值定理可得hhxfxfhxf)()()(1000

14、hx 0hx 0hhxfhxfxf)()()(2000 )1,0(21 hx10 hx20 17机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 两式相减得两式相减得)(2)()(000 xfhxfhxf hhxfhxf)()(2010 上上再再次次用用拉拉氏氏定定理理在在区区间间对对 ,)(12 xf hhfhhxfhxf )()()()(212010 ),(12 0)(221 hf 即即0)(2)()(000 xfhxfhxf)(2)()(000 xfhxfhxf 亦即亦即)2(2)()(2121xxfxfxf 凹的凹的证完证完18机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

15、 结束结束【例【例8】.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 【解【解】,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为为凸凸的的；在在曲曲线线0 ,( 时，时，当当0 x, 0 y为为凹凹的的；在在曲曲线线), 0 .)0 , 0(点点是曲线由凸变凹的分界是曲线由凸变凹的分界点点【注意到【注意到】【注【注】定理中区间为非闭区间时仍然成立定理中区间为非闭区间时仍然成立. .这样的点称为这样的点称为拐点拐点. .19机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束五、曲线的拐点及其求法 )(0的的左左右右邻邻近近异异号号在在点点 xxf 1、【定义、【定义】【注意【注意】拐点处的

16、切线必在拐点处穿过曲线（指拐点拐点处的切线必在拐点处穿过曲线（指拐点处可导时）处可导时）. .2、拐点的求法、拐点的求法【分析【分析】连续曲线上凹凸的分界点连续曲线上凹凸的分界点( 内点内点)称为曲线的拐点称为曲线的拐点.就就是是曲曲线线的的一一个个拐拐点点则则点点 ) )(,( 00 xfx20机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束所以要寻求拐点所以要寻求拐点, ,只要找出只要找出f (x)符号发生变化的分界符号发生变化的分界点即可点即可. .如果如果f (x)在区间在区间i i内具有二阶连续导数内具有二阶连续导数, ,则二则二阶导数值在由负变正或由正变负的过程中阶导数值

17、在由负变正或由正变负的过程中, ,必在分界必在分界点处的值为零点处的值为零. .即即0)(0 xf此外此外 二阶导数不存在的点也可能是拐点（如下图）二阶导数不存在的点也可能是拐点（如下图）xyo原点既是角点、又是拐点，不可导原点既是角点、又是拐点，不可导可能的拐点可能的拐点)(,( 0)( 00 xfxxf点点使使 )(,( )(00 xfxxf点点不存在的不存在的 【总结【总结】21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【方法【方法】 ;)(,(,)( )1(000即为拐点即为拐点点点变号变号左右两旁左右两旁xfxxfx .)(,(,)( )2(000不是拐点不是拐点点点

18、不变号不变号左右两旁左右两旁xfxxfx 【求拐点的步骤【求拐点的步骤】)( )1(xfd ，求定义域求定义域 )( 0)( )2(0 xxfxf不存在的点不存在的点的根，以及的根，以及解出解出 . )( )3(点点的符号，确定是否拐的符号，确定是否拐列表考察列表考察xf 设函数设函数f (x)在在x0的某去心邻域内二阶可导的某去心邻域内二阶可导, ,且且x0是是可能的拐点可能的拐点, ,则则22机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例9】 . 14334的拐点及凹、凸的区间的拐点及凹、凸的区间求曲线求曲线 xxy【解【解】),(: d,121223xxy ).32(

19、36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32(23机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束).,32,32, 0,0 ,(凹凸区间为凹凸区间为24机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例10】 4是否有拐点？是否有拐点？曲线曲线xy 【解【解】34xy 212xy 的根的根是是 0 0 yx但但 时时 0 x总有总有0 y凹的凹的 故故没没有有拐拐点点曲曲线线4xy xyo4xy 此例说明了此例说明了 的点的点 也可能不是拐点也可

20、能不是拐点. .0)( xf)(,(00 xfx【结论【结论】25机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例【例1111】.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 【解【解】,0时时当当 x,3132 xy,9235 xy. , ,0均均不不存存在在是是连连续续但但不不可可导导的的点点yyx , 0,)0 ,( y内内但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上是凸的上是凸的曲线在曲线在. )0 , 0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy . )()(,(,)(000的拐点，也可能不是的拐点，也可能不是是连续曲线是连续曲线也可能也可能点点不存在不存在若若xfyxfxxf 【注意【注意】26机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【凹凸性应用【凹凸性应用】 由曲线的凹凸定义证明不等式由曲线的凹凸定义证明不等式证明证明2ln)(lnlnyxyxyyxx ), 0,(yxyx 教材教材p1529(3)【证【证】令令0 ln)( ttttf则则1ln)( ttf01)( ttf ), 0( ln)( 上是凹的上是凹的在在 tt