第四节函数的单调性与曲线的凹凸性

1、第四节第四节一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与函数的单调性与 曲线的凹凸性曲线的凹凸性函数的单调性函数的单调性.i)(, )()(,i2121的的上是上是在区间在区间则称则称恒有恒有上任意两点上任意两点对于区间对于区间xfxfxfxx 单调增加单调增加.i)(, )()(,i2121的的上是上是在区间在区间则称则称恒有恒有上任意两点上任意两点对于区间对于区间xfxfxfxx 单调减少单调减少iyxo)(xfy 2x1xyxoi)(xfy 1x2x一、一、 函数单调性的判定法函数单调性的判定法xyo)(xfy xyo)(xfy a

2、bab0)( xf0)( xfabba, ,2121xxbaxx 且且:lagrange,21中值定理得中值定理得上应用上应用在在xx)()()()()(211212xxxxfxfxf ,0)(,0)(),( fxfba内内如如果果在在.,)(,0)()(12上单调增加上单调增加在在则则baxfyxfxf ,0)(,0)(),( fxfba内内如如果果在在.,)(,0)()(12上单调减少上单调减少在在则则baxfyxfxf .1定理定理.),(,)(内可导内可导在在上连续上连续在在函数函数设设babaxfy ,0)(),()1( xfba内内如果在如果在;,)(上单调增加上单调增加在在那么函

3、数那么函数baxfy ,0)(),()2( xfba内内如果在如果在.,)(上单调减少上单调减少在在那么函数那么函数baxfy 归纳以上结论，可得归纳以上结论，可得 该定理的条件是充分条件而非必要条件；严格单该定理的条件是充分条件而非必要条件；严格单增（或单减）时未必有增（或单减）时未必有 在（在（a,b）内点）内点点成立点成立 .)0(0)( 或或xf注：注：.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx),(:. d函数的定义域函数的定义域解解.1xey,0,)0,( y内内在在.,0,(函函数数单单调调减减少少内内在在 ,0,),0( y内内在在.,),0函数单调增加函数单调增加内内在在

4、 ,间间上上的的性性质质函函数数的的单单调调性性是是一一个个区区用导数在这用导数在这而不能由一点的导数来而不能由一点的导数来#,一区间上的符号来判定一区间上的符号来判定.判定函数的单调性判定函数的单调性例例1注意注意导数为零的点称为导数为零的点称为驻点；驻点；驻点处单调性发生了变化驻点处单调性发生了变化例例2.32的单调性的单调性讨论函数讨论函数xy yxo32xy ),(:. d函数的定义域函数的定义域解解).0(323 xxy处处不不可可导导函函数数在在0 x.), 0,0,),0(内函数单调增加内函数单调增加在在内内在在 y内函数单调减少；内函数单调减少；在在内内在在0 ,(,0,)0,

5、( y导数不存在的点处单调性发生了变化导数不存在的点处单调性发生了变化说明说明: 1) 驻点和导数不存在的点成为函数单调性可能改变的点驻点和导数不存在的点成为函数单调性可能改变的点. 2) 如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性 .例如例如,),(,3 xxy23xy 00 xyyox3xy ,0数为数为区间内若干孤立点的导区间内若干孤立点的导不影响我们用上述不影响我们用上述.方法判别函数的单调性方法判别函数的单调性:例如例如,),(5sin)(连续连续在在 xxxfxxfcos)(1),(,21020kkx kx20.),()(单

6、调增加单调增加在在所以所以 xf,0)(的点都是孤立点的点都是孤立点 xf:分区间讨论分区间讨论,0)(,)2,0( xf内内在在 ;2,0)(单调增加单调增加在在 xf,0)(,)4,2( xf内内在在 ,4,2)(单调增加单调增加在在 xf,4,0)(单调增加单调增加在在从而从而 xf.),()(,单调增加单调增加在在可得到可得到以此类推以此类推 xf注意：注意：确定函数单调区间的步骤：确定函数单调区间的步骤：1.确定函数定义域；确定函数定义域；2.求出驻点及导数不存在的点，并以这些点为分求出驻点及导数不存在的点，并以这些点为分界点，将定义域分成若干个区间；界点，将定义域分成若干个区间；3

7、.列表判定各个子区间内列表判定各个子区间内 的符号，得单调性的符号，得单调性结论结论.)(xf例例3. 确定函数确定函数31292)(23 xxxxf的单调区间的单调区间.12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx令令,0)( xf得得2,1 xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故故)(xf的的单调增单调增区间为区间为, 1,();,2 )(xf的的单调减单调减区间为区间为.2,112xoy12),(:. d函数的定义域函数的定义域解解. )1ln(,0 xxx 试证试证时时当当. )1ln()(.xxxf 设设证证. ),(,)(00111xxxf,0)()

8、,0( xf内内在在,),0)(连续连续在在 xf.),0)(单调增加单调增加在在所以所以 xf,0)0()(,0 fxfx时时当当,0)1ln( xx即即.)1ln(xx 例例4函数单调性可以用来证明不等式函数单调性可以用来证明不等式函数单调性可以用来判别方程根的情况函数单调性可以用来判别方程根的情况例例5.ln)(点点在其定义域内有唯一零在其定义域内有唯一零证明证明xxxf ），的定义域为（的定义域为（证明：证明： 0ln)(xxxf011)( xxf，且在定义域内处处可导且在定义域内处处可导因此因此 f(x) 在在（0,+)内严格单增内严格单增. . 另外另外上连续上连续在在且且1 ,1

9、)(, 01)1(, 011)1(exffeef .1 ,1)(）上至少有一个零点）上至少有一个零点在（在（故由零点定理知故由零点定理知exf.0ln)(）内有唯一零点）内有唯一零点，在定义域（在定义域（因此因此 xxxf二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点观察以下曲线观察以下曲线 abyxo各曲线有什么不同？各曲线有什么不同？弯曲方向不同弯曲方向不同问题问题: :如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? ?xyoxyo1x2x)(xfy 任意弧位于弦上方任意弧位于弦上方xyo)(xfy 1x2x任意弧位于弦下方任意弧位于弦下方abc,2)()()2(2121xfxfxxf,2)

10、()()2(2121xfxfxxf221xx 221xx 定义定义 . 设函数设函数)(xf在区间在区间 i 上连续上连续 ,21ixx(1) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf 则称则称的)(xf图形是图形是凹的凹的;(2) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf 则称则称的)(xf图形是图形是凸的凸的 .yox2x1x221xx yox1x221xx 2xxyo)(xfy xyo)(xfy abab递增递增)(xf abba0 y递递减减)(xf 0 y,),(,)(内二阶可导内二阶可导在在上连续上连续在在babaxf,0)(,),(. )1恒成立恒成立内内

11、在在 xfba.,)(上是凹弧上是凹弧的图像在的图像在baxf,0)(,),(. )1恒成立恒成立内内在在 xfba.,)(上是凸弧上是凸弧的图像在的图像在baxf定理定理 证明略证明略.arctan的的增增减减性性和和凹凹凸凸性性研研究究函函数数xy ,),(arctan.连续连续在在解解 xy,0112xy.),(arctan单调增加单调增加在在 xy,)(2212xxy ,0,)0,( yx时时当当,0,),0( yx时时当当 ;arctan,0,的图像是凹弧的图像是凹弧内内在在xy .arctan,0的图像是凸弧的图像是凸弧内内在在xy 例例6例例7. 求曲线求曲线3xy 的拐点的拐点

12、. 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在不存在0因此点因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线为曲线3xy 的拐点的拐点 .oxy凹凹凸凸.点点的分界点称为曲线的拐的分界点称为曲线的拐连续曲线上凹弧与凸弧连续曲线上凹弧与凸弧.arctan)0,0(的的拐拐点点为为中中的的上上例例xy 不存在的点不存在的点当然当然y ,.0,必为必为如果存在如果存在拐点处拐点处 y 也可能是拐点也可能是拐点:寻找拐点的步骤寻找拐点的步骤,. )1y 求求,0. )2不不存存在在的的点点的的点点和和列列出出yy . )3判定判定) !(异号异号拐点两侧拐点两侧 y .,求其拐点和凹凸区间求

13、其拐点和凹凸区间xxey , )1(.xeyx 解解, )(2 xeyx.0,2 yx时时当当 .,2,函数图象是凸弧函数图象是凸弧上上在在 ,0,2 yx时时当当 .,2函数图象是凹弧函数图象是凹弧上上在在 ,0,2 yx时时当当.)2,2(,2是曲线的拐点是曲线的拐点点点所以所以 e例例8( (例例7).7).xxy24362 )(3632xx例例9. 求曲线求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解:1) 求求y ,121223xxy2) 求拐点可疑点坐标求拐点可疑点坐标令令0 y得得,03221xx对应对应3) 列表判别列表判别271121,1yy32) 1 , 0(

14、),(271132x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32(例例10. 证明证明)1, 0, 0(22 nyxyxyxyxnnn解：解：设设nttf )(2) 1()( ntnntf时时当当0, 0 t上是凹函数上是凹函数在在), 0()( nttf0, 0, yx且且由凹函数定义知由凹函数定义知.22nnnyxyx 函数凹凸性可以用来证明不等式函数凹凸性可以用来证明不等式内容小结内容小结1. 可导函数单调性判别可导函数单调性判别ixxf,0)()(xf在在 i 上单调递增上单调递增ixxf,0)()(xf在在 i 上单调递减上单调递减,)(0)(不不存存在在的的点点或或使使xfxf -单调区间的分隔点单调区间的分隔点-可能是可能是驻点驻点，可能还是无定义点可能还是无定义点2.曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别ixxf ,0)(上向上凹上向上凹在在曲线曲线ixfy)( ixxf ,0)(+上向上凸上向上凸在在曲线曲线ixfy)( -拐点拐点.)