空间解析几何14568

1、数量关系数量关系 第七章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 向量法向量法坐标坐标, , 方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量及其线性运算 第七章 .a或表示法:向量的模 : 向量的大小,21m

2、m记作一、向量的概念一、向量的概念向量:(又称矢量). 1m2m既有大小, 又有方向的量称为向量向径 (矢径):自由向量: 与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量: 模为 1 的向量,.a或记作 a零向量: 模为 0 的向量,.00或，记作有向线段 m1 m2 ,或 a ,a或.a或机动 目录 上页 下页 返回 结束 规定: 零向量与任何向量平行 ;若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,记作 ab ;若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, ab ;与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,

3、 故两向量平行又称 两向量共线 .若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .记作a ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 : 交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba 机动 目录 上页 下页 返回 结束 s3a4a5a2a1a54321aaaaas2. 向量的减法向量的减法三角不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 ab)( ab

4、有时特别当,ab aa)( aababaabaaba0bababbaa3. 向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数 ,.a规定 :时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见;1aa;aa 与 a 的乘积是一个新向量, 记作，反向与aa总之:运算律 : 结合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a则有单位向量.1aa因此aaa 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设 m 为mbacd解解:abcd 对角线的交点,ba,aab ,bdaacmc2ma2bdmd2mb2.,mdmcmbmaba表示与试用baab)(21bama)(21abmb)(21bamc)(

5、21abmd机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1. 设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数)abab1m三、两向量的数量积三、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,w1. 定义定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积 (点积) .引例引例. 设一物体在常力 f 作用下, f位移为 s , 则力f 所做的功为cossfsfw2mbacosba的与为baba,s机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,0时当a上的投影为在ab记作故,0,时当同理babj rpb2. 性质性质为两个非零向量, 则有baj rpcosbbabaaj rpbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba则2

6、),(ba0,0ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 运算律运算律(1) 交换律(2) 结合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事实上, 当0c时, 显然成立 ;时当0cc)(ba babcj rpacj rpcbabacj rpc cbaccj rpj rpacj rp cbcj rpccacb)(j rpbac机动 目录 上页 下页 返回 结束 abcabc例例1. 证明三角形余弦定理cos2222abbac证证:则cos2222abbac如图 . 设,abc,baccbabac2c)()(babaaabbba22

7、a2bcos2baccbbaa,机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyz四、空间直角坐标系四、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o ,o 坐标面 卦限(八个)面xoy面yozzox面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo向径在直角坐标系下 11坐标轴上的点 p, q , r ;坐标面上的点 a , b , c点点 m特殊点的坐标 :有序数组),(zyx 11)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr)0 ,(y

8、xa), 0(zyb),(zoxc(称为点 m 的坐标坐标)原点 o(0,0,0) ;rr机动 目录 上页 下页 返回 结束 m坐标轴 : 轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 y机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo2. 向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 m , ),(zyxm则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyxxoyzmnbcijka,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式 ,rkzjyix称为向量,r任意向量 r 可用向径 om 表示.nmon

9、omocoboa机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ixoa, jyobkzoc3、线性运算、线性运算设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 则ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 已知两点在ab直线上求一点 m , 使解解: 设 m 的坐标为, ),(zyx如图所示abmo11mab, ),(111zyxa),(222zyxb及实数, 1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.mbamammbamoaom

10、mbomob aoom )(omob omoboa(机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 由得定比分点公式定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点 m 为 ab 的中点 ,于是得x,221xx y,221yy z221zz abmomab),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式中点公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则, 10zzyyxxbababa当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)

11、(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,两向量的夹角公式 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有omr 222oroqopxoyzmnqrp由勾股定理得),(111zyxa因ab得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与, ),(222zyxb, rom作omr oroqopbabaoaobba机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.

12、 求证以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321mmm证证:1m2m3m21mm 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432mm 2)75( 2) 12( 2)23( 631mm 2)45( 2)32( 2) 13( 63132mmmm即321mmm为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 为顶点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 在 z 轴上求与两点)7, 1 ,4(a等距解解: 设该点为, ),0,0(zm,bmam因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求点为及)2,5,3(b. ),0,0(914m思考思考: (1) 如

13、何求在 xoy 面上与a , b 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与a , b 等距离之点的轨迹方程 ?离的点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示:(1) 设动点为, )0,(yxm利用,bmam得,028814 yx(2) 设动点为, ),(zyxm利用,bmam得014947zyx且0z例例3. 已知两点)5,0,4(a和, )3, 1 ,7(b解解:求141)2,1,3(142,141,143.babababa机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyzx2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 ,ba任取空间一点 o ,aoa作,boboab称 =ao

14、b (0 ) 为向量 ba,的夹角. ),(ab或类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . ,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角 , , rr称为其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作),(ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设点 a 位于第一卦限,解解: 已知角依次为,43求点 a 的坐标 . ,43则222coscos1cos

15、41因点 a 在第一卦限 , 故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故点 a 的坐标为 . )3,23,3(向径 oa 与 x 轴 y 轴的夹 ,6ao且oaoaao第二节 目录 上页 下页 返回 结束 六、两向量的向量积六、两向量的向量积引例引例. 设o 为杠杆l 的支点 , 有一个与杠杆夹角为oqolpq符合右手规则oqffsinopsinopmfopopm m矩是一个向量 m :的力 f 作用在杠杆的 p点上 ,则力 f 作用在杠杆上的力fopfmfm 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义定义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,，的夹角为

16、设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩fopm思考思考: 右图三角形面积abba21s机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 性质性质为非零向量, 则，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0时当baba0basinab03. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律(证明略)abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (证明证明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iib

17、axx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 已知三点, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(cba角形 abc

18、 的面积 解解: 如图所示,cbasabc21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21abac21acab求三机动 目录 上页 下页 返回 结束 *七、向量的混合积量的混合积1. 定义定义 已知三向量称数量混合积混合积 .记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为hav coscba)(cba,cba的为cba,abaccba,以则其cosbaccba)(cbabacba机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyxzyxbbbaaaxcyczckji2. 混合积的坐标表示混合积的坐标表示设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbb

19、aacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质(1) 三个非零向量共面的充要条件是0(2) 轮换对称性 :(可用三阶行列式推出)cbacba,abcab cabcabc机动 目录 上页 下页 返回 结束 a b c(3) abc=- 例例6. 已知一四面体的顶点),(kkkkzyxa,3,2, 1( k4 ) , 求该四面体体积 . 1a2a3a4a解解: 已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的,61故 61v6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21aa,31aa41aa413121aaaaaa机动