高一数学重要知识点及典型例题-函数

1、学习必备欢迎下载函数一 、知识网络反函数反函数与原函数的关系集函映合数射初等函数、幂,指,对数、三角函数函数的概念和性质函数的三要素函数记号及表示法函数的图象函数的性质定义域、值域对应法则解析法、表格法、图象法平移、翻折对称、伸缩单调性最值应用数 ,式的大小比较方程的解法与讨论不等式的解法与讨论生产实际中的应用二 、重要知识点及典型例题1. 映射的概念：（任意对唯一）设 f : A B A 中所有元素都有象（在 B 中），并且象是唯一的； B 中的元素未必有原象（在 A中），允许 B中的元素有剩余 .函数的概念: （任意对唯一）函数的三要素 : 对应关系,定义域,值域是函数的三要素 ,缺一不可

2、.复合函数的定义域求法：若 y f (x) 的定义域为 a,b,则 yf g( x) 的定义域即为a g( x) b 的解集 .若 yf g( x) 的定义域为a,b，则 yf ( x) 的定义域即为 g ( x) 在a,b的值域. (相同的对应法则整体自变量的取值范围不变 )2.求函数解析式的方法 :(1) 代入法 : 已知一个函数的解析式, 求另外的解析式, 直接代入. 已知f ( x)x21 , 求学习必备欢迎下载f (xx2 ) .(2) 待定系数法: 已知函数的类型 , 要求函数解析式时 , 可根据类型设其解析式 , 从而确定系数即可 .如: 已知 f ( x) 是一次函数, 且 f

3、 f ( x)4x3 , 求 f ( x) .(3) 拼凑法: 已知 y =?g (x)的解析式,要求 y =?(x)时,可从 y =?g (x)的解析式中拼凑出“g (x)”,即用 g (x)来表示,再将两边的g (x)用 x 代替即可 .如:已知:f (x1)x2x,求f (x).(4) 换元法: 象上面的题目 , 也可以令 tg( x), 再求出f (t) 的解析式, 然后用 x代替所有的 t即可得到所求函数的解析式 .(5) 方程组法（消去法） : 根据题目中的条件 , 列出所求的 y =?(x)所满足的方程组 ,通过解方程组得到问题的解答,在这里要注意的是函数的可变化性 . 如:已知

4、f (x) 2 f (1 ) 32,求 ?(x).xx3. 函数的图象作法(1) 描点法: 列表; 描点; 用光滑的曲线连线 .(2) 变换作图法 : 一个函数图象经过适当的变换 ,得到另一个与之有关的函数图象 , 平移、对称、翻折、伸缩是图象的四种基本变换 :1)平移变换,主要有水平平移 : yf (xa)(a0) 的图象, 可由 yf ( x) 的图象向左 ( a) 或者向右 (a) 平移（左加右减） a 个单位得到; 水平平移不改变函数的值域 .上下平移 : yf ( x)b(b0) 的图象 , 可由 yf ( x) 的图象向上 (b) 或者向下 ( b) 平移（上加下减） b 个单位得

5、到. 竖直平移不改变函数的定义域 .2) 对称变换（函数的对称性）主要有 yf (x) 与 yf ( x) 的图象关于 y 轴对称; yf( x) 与 yf ( x) 的图象关于 x 轴对称; yf (x) 与 yf (x) 的图象关于原点对称 ;yf1 ()f ( x) 的图象关于直线 yx 对称;x 与 y yf 1 (x) 与 yf (x) 的图象关于直线 yx 对称; yf (2ax) 与 yf (x) 的图象关于直线 xa 对称;若 f (x)f (2a x) ( 或者 f (a x) f (a x)则 yf ( x) 的图象关于直线 xa 对称;学习必备欢迎下载 y2bf (x)

6、与 yf (x) 的图象关于 yb 对称; y2bf (2a x) 与 yf ( x) 的图象关于点 ( a, b) 对称;若存在常数 a, b , 使得对于函数 f (x) 的定义域内的每一个 x, x a,bx 仍在定义域内 , 且f (ax)a b对称.f (b x) , 则 f (x) 的图象关于直线 x23) 翻折变换, 主要有 yf (| x |) 的图象在 y 轴的右侧 ( x 0)的部分与 yf ( x) 的图象相同 , 在 y 轴左侧部分与其右侧部分关于 y 轴对称; y| f ( x) |的图象在 x 轴的上方部分与 yf ( x) 的图象相同 , 其他部分图象为 yf (

7、 x) 图象在 x 轴下方部分关于 x 轴的对称图形.4) 伸缩变换, 主要有（三角函数 y A sin( x) B中） yaf ( x)( a0) 的图象 , 可将 yf ( x) 的图象上每点的纵坐标伸长(a1)或缩短(0 a1) 为原来的 a 倍( 横坐标不变) 而得到; yf ( ax)( a0) 的图象 , 可将 yf ( x) 的图象上每点的横坐标伸长( 0 a1)或缩短(a 1) 为原来的1倍( 纵坐标不变) 而得到.a4. 函数值域（最值）的求法 :(1) 观察法: 直接根据函数表达式得到函数的值域 .如: 求函数 y4x 2 的值域.(2) 不等式法( 部分分式法 ): 根据

8、不等式的性质直接推导得到值域 .如: 求函数 y2x1 (1 x 2) 的值域.x1(3) 反表示法( 反函数法): 将函数表示成另一种形式求值域 .如: 求函数 yx1 (x4) 的值域.x2(4) 中间变量法（方程思想） : 借助于中间变量来解决问题 .( 中间变量的范围已知 ).学习必备欢迎下载x24ax11) 的值域.如: 求函数 y1、 f (x)(a 0且 ax2ax1(5) 配方法: 通过配成完全平方来求解 . 如: 求函数 y x 2 x 3 的值域.(6) 图象法（数形结合法） : 根据函数的图象得到函数值域的求解 .如：求 y| x3 | x1 |;钩形函数 yx2 (1

9、x 2) 函数的值域x(7) 换元法 : 通过换元的方法将无理函数或指对函数式化简来进行求解.( 注意变元的取值范围不能1改变) 如: 求函数 y 2xx 1 、 yx3 2 x5, x 0,2 的值域.4 2(8) 判别式法: 借助于二次函数的判别式来求函数的值域 . 如: 求函数 y 2 x x222 x5 的值域.x1 5 函数的单调性 : 函数的单调性是一个局部概念 : 单调区间在变换的时候 , 不能交 , 也不能并 , 在写法上一定要注意规范性 .（ 1）判断函数的单调性（利用定义：取值任意作差变形判断正负得出结论）（ 2）求复合函数的单调区间（同增异减）先求定义域如：求函数 yx2

10、2 | x | 3 ， y23 x 2 ， y sin(3x) 的单调区间log 0.x724（ 3）利用函数的单调性解不等式、比较大小、求参数等 6 函数的奇偶性：（注意定义域是否关于原点对称） f ( x) 是偶函数对于任意的 xD , f (x)f ( x) 恒成立f ( x) 的图像关于 y 轴对称 f ( x) 是奇函数对于任意的 xD , f (x)f ( x) 恒成立f (x) 的图像关于原点（0，0）轴对称， 奇函数若在 x 0 处有意义则f (0)0 ；有时用 f (x) f (x) 0 来判断奇偶性奇（偶）函数在关于原点对称的两个区间上具有相同（相反）的单调性7 函数的周期

11、性：（主要是针对抽象函数及三角函数）f ( x 2T )f ( x) 或 f (Tx)f ( x T ) 是周期为 2T 的周期函数如： f (x a)f (x); f (xa)1等f ( x)8 反函数(1) f ( x), f 1 ( x) 的定义域与值域互换 (2) f(m nf1(n)m ）)（3）y = f ( x )与 y = f1( x )有相同的单调性、奇偶性（奇）学习必备欢迎下载1f ( x) 为自反函数(4) 函数 y = f ( x )的图象关于直线 y = x 对称f ( x )= f ( x )1（5）若函数 y = f ( x )是单调递增函数 ,则 y = f (

12、 x )与 y = f( x )的图象的交点必在直线 y = x.(注意:原函数与反函数的图象交点并不一定在直线 y = x 上)附 1专题一、 一元二次函数在闭区间上的最值二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)在闭区间p，q上的最值可能出现以下三种情况：b(1)若p，则 f(x)在区间p，q上是增函数，则 f(x)min=f(p)、f(x)max=f(q)2a(2)若 pbb此时 f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：2aq，则 f(x)min=f()2a当 pbpqp qb2a时，f(x)max=f(q)当q，则 f(x)max=f(p)222ab(3)若q，则 f(x)在区

13、间p，q上是减函数，则 f(x)min=f(q)，f(x)max=f(p)。2a三类型：定区间定轴；定区间动轴；定轴动区间附 2专题二、 一元二次方程的实根分布二次方程实根的分布问题，就是讨论二次函数的图象与 x 轴交点与坐标原点的位置关系的问题，因此，理解交点及二次函数系数（a开口方向，a、b对称轴，c图象与 y 轴的交点）的几何意义，掌握二次函数图象的特点，是解决此类问题的关健。设 f(x)ax2bxc (a), 则一元二次方程 f(x)实根的分布情况可以由 y f(x)的图象或由韦达定理来确定如果 f(m) f( n) ( mn), 由二次函数 yf( x) 的图像知，一元二次方程 f(

14、 x) 在区间（m, n）内必有一个实数根9 指、对数(1) 指数与对数:分数指数幂: 正数的正分数指数幂的意义：mmm1nn且),an(a0, ,*, 且n1) .aa ( a 0, m, n N *, n 1mm n Na n对数:一般地,如果 a (a>0,a1)的 b 次幂等于 N,就是 ab=N,那么数 b就叫做以 a 为底 N 的对数,记作:log a N=b,其中 a 叫做对数的底数 ,N 叫做真数 .log a 10, log a a1(a 0, a 1) ;对数恒等式 : alog aNN ; 对数换底公式 :log aNlog bN常用对数 lg N ,自然对数log

15、 b;aln N . 关系式: log a N=b ab=N;学习必备欢迎下载mnm+nm nm?nnnn指数的运算性质（ 1）a ?a =a ；(2)(a ) =a ;(3) (a ·b) =a?b (a>0,b>0,m,nR).对数的运算性质 : 若 a >0, a 1，M>0，N>0，则: loga(MN)=logaM+ logaN;Mloga Mn logan bmmloga b(a 0,a 1,b 0) logaloga N ; logaM=nlogaM（nR）.nN(2) 指数函数与对数函数 :名称指数函数对数函数一般形式ya x （ a0

16、且 a 1 ）ylog a x （ a0 且 a1 ）定义域（，）（0，）值域（0，）（，）xyyy=ay=ax(0<a<1)(a> 1)y=logax图象(a>1)1O1xxy=logaxO(0<a<1)单调性当 a1 时,函数在 R 上为增函数;当 a1时,函数在（0，) 上为增函数;当 0a 1时,函数在 R 上为减函数.当 0a1时,函数在(0 ，) 上为减函数.图象ya x 的图象与 ylog a x 图象关于直线 y x 对称.(3) 幂、对数的大小比较（注意底数是参数时的分类）(1)底数相同,指数（真数）不同的两个幂的大小比较（函数单调性法）(2)底数不同,指数（真数）相同的两个幂的大小比较（作商法） /（利用换底公式）(3)底数与指数（真数）都不同的两个幂的大小比较（中间值法）10 三角函数（1）三角的化简（注意“变”）巧变角、变函数名；活用公式（同角、和差、倍