走进小学数学课程

1、第一章 走进小学数学课程 一、教学目的通过本章的学习，使学生了解数学的研究对象、特点与发展以及影响数学课程目标的因素；明确我国义务教育阶段的数学课程目标。 二、教学重点、难点 重点是我国义务教育阶段的数学课程目标分析；难点是数学的研究对象、特点与发展。 三、教学方法 讲授、讨论交流与阅读文献。 四、教学内容本章主要内容：l 数学的基本认识l 小学数学学科的性质与任务l 小学数学课程及其发展l 小学数学课程目标 五、教学过程§1.1 数学的基本认识小学数学课程是按照一定的需要，遵循一定的原则，从数学科学中精心选择内容加以编排形成的。作为学科的数学与作为科学的数学有密切的联系，又有很大的

2、区别。认识数学科学的研究对象、主要特点和发展过程有助于我们确定和理解为什么进行数学教育，认识数学教育的规律和特点。 1.1.1 数学的产生 考察一下数学的历史，可以看到它的发展存在着两个起点。1、以实际问题为起点数学的产生首先是以实际问题为起点的，即是人类为了了解客观存在的内部性质的需要，用以解决实践上的问题。例如，人类在自己的生产与生活中，需要对一些物体进行量的刻画和描述，于是，“数”就产生了；又如，人类在自己的生产与生活中，需要对一些对象进行集合意义上的合并与分解，于是，四则运算就产生了；再如，人类在科学研究过程中，要研究抛物体的运动轨迹，需要用图形来描述从而帮助分析，但如何作出这些曲线图

3、形呢？笛卡尔就用代数方法来研究这些曲线的特点，于是解析几何就产生了。2、以理论问题为起点数学的产生其次是以理论问题为起点的，即是人类为了了解思想存在的内部性质的需要，用以解决理论上的问题。例如，五世纪的普多克罗斯（pudkyols）注意到，一个圆的直径可以将整个圆分成两半，但由于圆的直径有无限多，因此，必定存在着两倍于直径的半圆。而伽利略却注意到，每个正整数与它的平方能建立一一对应的关系，而这些正整数的平方的集合应是正整数集合的真子集，这样就构成了一个整体和它的部分相等的悖论（史称伽利略悖论），为了解决这个悖论，康托等作了研究，创立了集合论，并创造性地提出了“超越数”的概念。当然，数学的最终起

4、点还是现实世界，它更多地来自于人类的问题提出和问题解决，是人类力图对现实世界的最本质的和最一般的反映。超越现实世界的数学的产生，其目的还是为了获得对现实世界更合理、更准确的最一般的反映。 1.1.2 数学的研究对象数学是人们认识自然、认识社会的重要工具，千百年来人们不断地探索和认识数学，运用数学解决现实问题，对数学的认识也在不断地演变和发展。数学家、哲学家和数学教育家都有自己对数学研究对象的认识。恩格斯曾对数学的属性作过如下的描述：数学就是研究“现实世界的空间形式和数量关系”的一种科学。这是对数学研究对象的一种经典的解释，是对数学十分概括和深刻的解释。数学是对现实世界的事物在空间形式和数量关系

5、方面的抽象，数学来源于人们的生产和生活实践，反过来又为人们的社会实践和日常生活服务，是人类从事各项活动不可缺少的工具。“数量关系”是算术、代数等领域研究的内容，用来表现现实世界各种数量及其关系。“空间形式”是几何学研究的内容，研究物体的形状、大小及其相互关系。人类在社会和生产实践中，不断揭示数量关系和空间形式的规律，并将其不断抽象化、系统化、形式化，形成数学科学体系。随着数学科学的发展，对数学本质的认识也在发展，数学的研究对象也在扩展，对数学的认识也不断深入，人们从不同的角度阐述对数学本质的认识和理解。一种受到普遍关注的观点认为，数学是关于客观世界的模式的科学。数学通过揭示各种隐藏着的模式，帮

6、助我们理解周围世界。无论是数、关系、形状、推理，还是概率、数理统计，都是人类发展进程中对客观世界某些侧面的数学把握的反映。人们从实际中提炼数学问题，抽象化为数学模型，再回到现实中进行检验。从这个意义上，数学可以被看作是一种技术或模型。此外，从数学的产生与发展历史看，数学还具有这样几个性质：其一，数学的对象是由人类发明或创造的；其二，数学的创造源于对现实世界和数学世界研究的需要；其三，数学性质具有客观存在的确定性；其四，数学是一个发展的动态体系。1.1.3 数学的基本特征 一般地认为，数学具有理论的抽象性、逻辑的严谨性和应用的广泛性这三个特征。（一）理论的抽象性 我们知道，任何一门科学都不是直接

7、处理现实对象，而是用我们通常所称的“模型”去处理其抽象的反映，而数学则不同，它往往是处理所有这些模型的抽象，是这些模型的一般模式，从而来概括同类对象或同类对象关系。显然，数学是作为一个独立的客体而存在的、抽去了具体内容的一种形式科学，它用形式化、符号化和精确化的语言来表现的一种“抽象的抽象”或“概括性的抽象”，它是以“一切性质的性质的抽象”而呈现的。因而，数学对象没有任何物质的和能量的特征，它只有一个特征，那就是这些对象都处于一定的相互关系之中。例如，数学研究的“直线”，是一种没有长短、粗细、轻重和颜色的等任何物质的和能量特征的“理想化”的对象。（二）逻辑的严谨性数学具有严密的逻辑严谨性。即数

8、学的结果是从一些基本概念（或公理）出发并采用严格的逻辑推论而得到的。这种推论（推理）对于每一个懂得这样的规则并拥有一定数学基础的人来说，都是无需争辩的和确信无疑的。数学的逻辑严谨性还带来了数学的精确性，也就是说，数学的表述具有相当严密的唯一性。而且数学语言常常反映在其他的学科（尤其是自然学科）之中，用来准确地表述概念或由经验所获得的发现。 数学的严谨性还表现在它的系统性。数学体系本身是一个精确的自然结构，而且是所有自然结构中最具有完美模型的特征的。它是以最简洁、最精确、最稳定的模型来揭示最本质、最抽象的关系系统的理论。正如弗赖簦塔尔所说,数学与其他思维相比，有一个最大的特点，那就是对任何一个陈

9、述，都可以确定其对或错。因为只有数学可以加上一个强有力的演绎结构。这就是所谓数学的严谨性。当然，当数学科学变得很严谨的时候，它就表现出一种不可忽视的人为的特性，以至于有时它会忘掉了自己的历史起源。（三）应用的广泛性数学的对象领域，涉及到整个客观世界，数学是解决我们生活和生产过程中问题的主要工具，因为没有一个物质的领域不呈现出数学可以研究的现象或规律的，尤其是社会的科学技术发展到今天，数学已经渗透到人们的所有生活之中。所以，数学可以运用到各个方面。同时，数学还在其他的科学中占有特殊的地位，因为无论是自然科学、社会科学甚至是思维科学，都可借用数学的严密性和抽象性的特点来做更为精确的研究或描述。1.

10、1.4 数学的发展过程 数学科学的发展过程经历了漫长的历史，从人类早期对数学的认识开始，大致可以分为五个时期，即萌芽时期；常量数学时期；变量数学时期；近代数学时期、现代数学时期。在不同的时期，人类对数学的认识从低级到高级不断发展。了解数学的发展过程，有助于我们研究小学数学学科的有关问题。 (1)数学萌芽时期(远古公元前6世纪) 这个时期人类在长期的生产实践中逐渐形成了数的概念，初步掌握了数的运算方法，并积累了一些数学知识。 由于田亩度量和天文观测的需要，几何知识初步兴起，但还没有逻辑因素，未发现命题的证明。 这个时期的特点，是人们在实践中从现实世界里，零零星星地认识了数学中最古老、原始概念“数

11、”(自然数)和“形”(简单几何图形)。数的概念起源于数(读sn)。原始社会人们采用“结绳记数”，就是把打猎所获得猎物与绳子的“结”进行比较，得出猎物的个数。从我国出土的甲骨文中，发现大约公元前14世纪公元前11世纪的数字是采用十进位制记数法，最大数是3万。由此可见，数已从具体事物分离出来，抽象为“数”的概念，但仍然印上了十个手指数数的烙印。另一方面，人类还在采集果实、打造石器、烧土制陶的活动中，对各种物体加以比较，区分直曲方圆，逐渐形成了“形”的概念。我国出土的“仰韶文化”的彩陶中，就有由三角形和直线组成或由圆和曲线组成的图案。 (2)常量数学时期(公元前6世纪公元17世纪) 这个时期的特点，

12、是人们将零星的数学知识，进行了积累、归纳、系统化，采用逻辑演绎的方法形成了古典初等数学的体系。数学萌芽时期，人们认识的“数”和“形”，只是零星的数学知识，并未构成逻辑体系。到了公元前5世纪，古埃及由于尼罗河长期泛滥，冲毁了土地区域，需要重新丈量，积累了丰富的几何知识。后来古埃及人把几何知识传到古希腊，由Euclid把人们长期实践发现、积累的几何知识，按照演绎的方法写成了几何原本。同一个时期，人们为了解决实践中的一些实际应用问题，如研究天文历法中的问题，促使算术、代数的发展。数学从原始自然数，分数发展扩充到正负实数。成书于东汉时期的九章算术，就是人们在长期实践中，用数学解决实际问题的经验总结。公

13、元前3世纪至公元2世纪撰写成的几何原本和九章算术，标志着古典的初等数学体系的形成。 几何原本全书共13卷。全书主要以空间形式为研究对象，以逻辑思维为主线，从5条公设、23个定义和5条公理推出了467条定理，从而建立了公理化演绎体系。九章算术则是246个数学问题、答案和术文组成。全书主要研究对象是数量关系。该书以直觉思维为主线，按算法分为方田、粟米、衰分、少广、商广、均输、盈不足、方程、勾股等九章，构成了以题解为中心的机械化算法体系。 (3)变量数学时期(17世纪19世纪) 变量数学产生于17世纪，其标志有两个：一是解析几何的产生；二是微积分的建立。这个时期的特点，是“运动”成为自然科学研究的中

14、心课题。数学由研究现实世界的相对静止的事物或现象进而探索运动变化的规律。常量数学已发展到变量数学。16世纪，欧洲社会萌芽了资本主义，手工业生产转向了机器工业生产，迫使自然科学对“运动”和各种“过程”的研究，进而产生了“变量”与“函数”的概念。 17世纪上半叶，Descartes将几何内容的课题与代数形式的方法相结合，产生了解析几何学，这标志着变量数学时期的开始。17世纪60年代，Newton和Leibniz各自从运动学和几何学研究的需要，创建了微积分。随后，相继建立了级数理论、微分方程论、变分学等分析学领域的各个分支。15世纪18世纪，人们还研究了大量的随机现象，发现存在着某种完全不确定规律性

15、，从而开辟了或然数学的新领域，建立了概率论。这个时期，数学的研究对象已由常量进入变量，由有限进入无限，由确定性进入非确定性；数学研究的基本方法也由传统的几何演绎方法转变为算术、代数的分析方法。 (4)近代数学时期(19世纪)这一时期的数学的对象、内容在深度上和广度上都有了很大发展，分析学、代数学、几何学的思想、理论和方法都发生了革命性的变化，数学越发抽象、不断分化、不断综合的发展规律开始显露；数学基础研究的开始，标志着一座宏伟稳固的数学大厦已在人们脑海里出现；数学应用范围继力学、光学之后，又在热力学、电磁学、技术科学中获得扩展。 （5）现代数学时期(20世纪) 在这一时期，电子计算机进入数学领

16、域，使整个数学的面貌大为改观；数学几乎渗透到所有科学领域，形成了数学科学的一系列分支理论和应用数学理论；纯粹数学不断向纵深发展，集合论观点的普遍运用，公理化方法的完善，数理逻辑的发展，数学基础的奠定，模糊数学的创建，以及泛函分析、抽象代数和拓扑学三大现代理论的建立，已经使数学在整个科学体系中的特殊地位和作用突出地显现出来20世纪以来，人们眼光中的数学同以往任何时代都无法相比了。 1.1.4 数学的主要内容数学科学的全部内容，是由数学问题、数学知识、数学方法与数学思想组成的系统。在这个系统中，数学问题、数学知识、数学方法与数学思想具有各自不同的内涵，也有着不同的作用。纵观数学发展的历史可以看到，

17、人们在解决实践和理论中提出的各种数学问题的过程中，总结和创造了各种不同的数学方法。在这些数学方法发生的同时，相应的数学知识也相伴形成，在不断探求对数学知识和方法的认识的基础上，数学思想便产生了。例如，著名数学家欧拉正是在解决“哥尼斯堡七桥问题”的过程中，不仅发现了许多知识并开拓了运筹学和图论等崭新的数学研究领域，而且他的研究也是运用抽象化方法和数学模型思想的光辉范例。就数学问题、数学知识、数学方法与数学思想的关系而言，一方面，数学思想与数学方法蕴含在数学的知识体系之中，数学思想与方法的突破又常常导致数学知识的创新；另一方面，数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映着客观事物的内在联系，是数学方法

18、的进一步概括和升华。因此，如果说问题是数学的“心脏”、方法是数学的“行为规则”、知识是数学的“躯体”，那么数学思想无疑是数学的“灵魂”。§1.2 小学数学学科的性质与任务“学科”是一个教育学的概念，专指学校课程内容中的一定科学领域的总称。当数学成为学校的教育教学的对象的时候，就被称之为“数学学科”。 1.2.1 作为学科的数学作为学科的数学，它自然是源于数学科学，但作为一种教育活动的对象，其又有一定的独特性。也就是说，作为教育的数学和作为科学的数学是不完全相同的。（一）从知识体系看作为科学的数学，是一个完整的、独立于任何人的任何知识结构而存在的、特定的知识和思想体系。而作为教育的数学

19、，则是一个经过人为的加工和提炼的、依据某一特殊人群（作为获得基础的人类文化遗产的学生）的特殊需要（即数学教育的目标）和经验、知识与能力结构而设计的知识和思想体系；（二）从数学活动看作为科学的数学，是一类专门的人（可以称之为“数学家”的那些人）的一个完全独立的探索、发现与创造的活动过程，而作为教育的数学，则是一类专门的人（可以称之为“学生”的那些人）在某些专门的人（可以称之为“教师”的那些人）的引导和帮助下的一个模仿探索、发现与创造的活动过程；（三）从对象特征看作为科学的数学，其对象是一个完全由符号、概念和规则等构成的和完全开放的逻辑结构系统，而作为教育的数学，其对象则是含有经验、直观的和几乎是

20、封闭的逻辑结构系统；最后，从活动的目的看，作为科学的数学活动，是为了获得发现和创造数学，而作为教育的数学活动，是为了“接受”已经发现和创造的数学。1.2.2 小学数学学科的性质作为小学数学课程的数学学科，具有如下性质： 1、生活性倡导将数学学习回归于儿童的生活，这已经成为了当今转变小学数学教育观念的一个重大的命题。因为我们已经开始关注到，儿童是从自己的生活实践开始认识数学的，所以，就要将儿童的数学学习真正地回归到儿童的生活中去，在学习中时时关注儿童关心什么？经历了什么？对什么感兴趣？在生活中发现了什么？让数学学习与儿童自己的生活充分地融合起来，将学习纳入他们的生活背景之中，让他们在自己寻找、发

21、现、探究、认识和掌握数学。 2、现实性 儿童的数学是他们的现实数学，因此，儿童的数学学习的组织，应源于他们的数学现实。这种现实存在于儿童与外部世界的沟通和交流的构成之中，存在于儿童的社会生活的实践性活动之中。这些“现实”是小学数学课程的起点，也是儿童获得数学的学习活动与生活实践的节点。课程的任务是构建抽象与现实的连续体。因此，小学数学课程的一个重要的特征就是沟通抽象的数学与现实的实践的联系，强化数学的产生与运用真正回归儿童的生活现实。 3、体验性即学校的数学教育，应当努力去改变相应的课程内容、教学方式、组织策略和评价模式。积极倡导努力探求解法，而不单是记忆步骤；主动探索模式，而不单是记忆公式；

22、积极形成猜测，而不单是做些习题。可见，我们的学校的数学教育应当成为让学生去亲生体验一下的数学问题解决的一种活动，不要总是将详细整理好的证明（事实）材料提供给学生，而是尽可能地让学生通过自己仔细的观察、粗略的发现和简单的证明，只有这样，才有可能使学生真正经历超越局部的、非单纯接受的问题解决的过程。 1.2.3 小学数学学科的任务小学数学教育的最终目标就是发展人，就是发展人在快速变迁的社会中获得高质量生存所需要的基本素养、能力和情感。 （一）发展公民数学素养是基本的任务第二次世界大战之后，随着包括计算技术在内的现代科学技术的迅速发展，数学的应用领域得到了极大的拓展。就像今天的识字、阅读一样，数学日

23、益成为公民必需的文化素养，数学教育大众化成为了时代的要求。例如，在现代社会，大量信息以各式各样的数据形式出现在我们面前。如何收集有用的数据，怎样整理、分析信息，得出有用的结论，就成为了现代人必不可少的一种能力。数学不仅是人们是利用数学来交流信息和思想的，理由数学来完成一系列的实际任务及解决现实生活中的问题的。同时，数学也是探索新世界的工具。可见，我们的小学数学教育，并不追求将所有的儿童都培养成为伟大的数学家，而是培养他们最基本的数学素养。 1、数学素养的基本内涵早在80年代，著名的科克罗夫特（cockcroft,W.H.）报告就提出“数学素养”这个词，它认为数学素养主要包含两个内涵，第一是指个

24、人在日常生活中具有运用数学技能的能力，能够满足个人每天生活中的实际数学需求；第二是能正确理解含有数学术语的信息，如阅读图表和表格等，这表示一个有数学素养的人应该能正确理解一些数学的沟通方式。显然，这种观点明显的超出了我们通常所理解的数学运算的学习，也超出了我们所理解的以掌握数学概念和解题方法的学习，更超出了我们通常所理解的解题技能的学习。具体的看，参照美国的NCTM（国家数学教师协会）标准（即1989年的“学校数学大纲及其评价标准”），我们大致可以给数学素养的基本内涵做如下的表述： （1）懂得数学的价值即能初步懂得数学的价值和在文化中的地位和社会生活中的作用，了解用数学思想来思考并用数学方法来

25、处理日常生活中发生的事件与现象的优越性，提高对日常的事物现象用数学的知识与经验、思想与方法等进行观察、推测、尝试、计划并合情合理地思考的意识和兴趣。（2）对自己的数学能力有自信心即在学习中对自己的数学能力有信心，并有可能常常在数学的学习中获得一些积极良好的情感体验，从而提高参与社会生活以及在社会生活的探究、发现和改造等活动中主动进行决策的兴趣和态度。（3）有解决现实数学问题的能力即能初步掌握对日常生活中存在的各种信息的采集、整理、辨析及其处理与运用的基础能力，并能用数学的方法对它们进行初步的考察、区分、组织和模型建构，从而获得最基础性的解决数学课题的能力。（4）学会数学交流即会读数学、写数学和

26、讨论数学，包括学会简单的数学交流，能用数学语言来解释、阐述或证明自己的研究与解决问题的猜测、计划、过程和结果等。（5）学会数学的思想方法即学会初步的和简单的一些数学思想和数学方法。包括对应思想、变量思想、统计思想等等以及化归、假设、模型等方法。 2、数学素养的基本特征（1）发展性实际上，数学素养是随着社会的进步而变化和发展的，例如，在100多年前，掌握算术技能可能就是一个重要的数学素养，但随着今天计算机技术发展，这种算术技能的重要性和对运算技能的需求都已逐渐发生了显著的变化。今天作为一个有数学素养的人，面对一个现象或问题，他可能先要判断是否需要进行计算？如是，则可能就要思考是否需要精确计算？然

27、后才考量用什么方法进行计算。中间可能还要思考是否需要增加有用的信息？可能还要考虑如何辨析这些信息？等等。（2）过程性首先，数学素养所内含的目标，不是一个终极的目标，而是一种指向发展方向的过程性目标，是我们数学教育所追求的价值目标。因此，数学教育关注的，是儿童的这种数学素养的渐进的发展过程。其次，数学素养的发展，是伴随着数学学习过程之中的，它不能靠我们通常所理解的所谓的“单项训练”就能实现的。有时，它还伴随者其他的学科学习和环境学习中的有意识加以渗透的。（3）实践性数学素养具有明显的现实性和实践性的特征，它与我们的日常社会生活是紧密联系的。因为，儿童的数学素养是借助于现实数学的学习和自己的主体性

28、实践而获得发展的。数学学习就是要让儿童感觉到，没有一定的数学素养，他们可能就会在一些日常的社会生活中难以行动。同时，数学学习也应让儿童感觉到，数学素养就存在于自己的日常社会生活之中。使儿童在数学探究和问题解决中去发展数学素养。 （二）培养数学思维是实现数学素养发展的基本点1、思维与数学思维思维是人脑对客观事物的本质及其内在规律性联系概括的和间接的反映。思维有两个最显著的特征，一是概括性，二是间接性。数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照一般的思维规律认识数学本质和规律的理性活动。具体来说，数学思维就是以数和形及其结构关系为思维对象，以数学语言和符号为思维的载体，并以认识发现数学规律为目的一种思

29、维。数学思维既从属于一般的人类思维，具有一般思维的特征，同时由于数学及其研究方法的特点，数学思维又具有不同于一般思维的自身特点，表现在思维活动是按客观存在的数学规律进行的，具有数学的特点与操作方式。特别是作为思维载体的数学语言的简约性和数学形式的符号化、抽象化、结构化倾向决定了数学思维具有不同于其他思维的独特风格。数学思维主要具有概括性、整体性、相似性和问题性等特点。2、数学思维的分类（1）数学思维方式按照思维活动的形式可以分成逻辑思维、形象思维和直觉思维三类。数学逻辑思维是以数学的概念、判断和推理为基本形式，以分析、综合、抽象、概括、（完全）归纳、演绎为主要方法，并能用词语或符号加以逻辑地表

30、达的思维方式。它以抽象性和演绎性为主要特征，其思维过程是线型或枝叉型地一步步地推下去的，并且每一步都有充分的依据，具有论证推理的特点。用数学家阿达玛的话来说，“逻辑”思维是以较少无意识“成分”，定向比较严密，一致性和清楚划分的思维过程为特征的。 数学形象思维是以数学的表象、直感、想象为基本形式，以观察、比较、类比、联想、（不完全）归纳、猜想为主要方法，并主要地通过对形象材料的意识加工而得到领会的思维方式。它以形象性和想象性为主要特征，其思维过程带有整体思考、模糊判别的合情推理的倾向。 数学直觉思维是包括数学直觉和数学灵感两种独立表现形式，能够迅速地直接地洞察或领悟对象性质的思维方式。它们以思维

31、的跳跃性或突发性为主要特征。用阿达玛的话来说，“直觉”思维是以相当多的无意识“成分”，思维过程更分散、迅速和省略为特征的。（2）数学思维方式按照思维指向可以分成集中思维和发散思维两类。集中思维又叫聚合思维、求同思维、收敛思维。定向思维(正向思维)和纵向思维是集中思维的两种重要形式。发散思维又叫求异思维、分散思维、辐射思维。逆向思维和多向思维是发散思维的两种重要形式。集中思维是指从一个方向深入问题或朝着一个目标前进的思维方式。在集中思维时，全部信息仅仅只是导致一个正确的答案或一个人们认为最好的或最合乎惯例的答案。发散思维则是具有多个思维指向、多种思维角度并能发现多种解答或结果的思维方式。在发散思

32、维时，我们是沿着各种不同的方向去思考的，即有时去探索新远景，有时去追求多样性。因此，在看待集中思维时，需要看到它在某种程度上存在单维型、封闭型与静止型思维特点的一面。而发散思维则相对地较明显地具有多维型、开放型和动态型思维的特征。 （3） 数学思维方式按照智力品质可以分成再现性思维和创造性思维两类。再现性思维是运用已获得的知识和经验，按现成的方案和程序，用惯用的方法、固定的模式来解决问题的思维方式。创造性思维是指以新颖、独创的方式来解决问题的思维，是在已有的知识和经验的基础上，对问题找出新答案、发现新关系或创造新方法的思维。3、数学思维的一般方法数学思维的一般方法是指学生在数学思维过程中运用的

33、基本方法。（1）观察与实验所谓观察，就是指人们对周围客观世界的各个事物和现象，在其自然的条件下，按照客观事物本身存在的自然联系的实际情况，加以有目的的感知，从而来确定或研究它们的性质或关系的一种思维活动。观察是多种感觉器官对对象的有意识的知觉。观察具有这样两个特征：第一，观察的双重性。即观察不仅仅是指利用各种感觉器官对客观事物进行看、触、听、嗅、尝等感知活动，还包括对客观事物的领会和理解等活动。例如，儿童在学习长方形面积的计算时，可能先观察由若干单位面积的小正方形组成的长方形，然后用数数的方式找到该长方形的面积。这时就会引起他们思考，长方形的面积都要通过“数”吗？他们与长方形的什么是有关系的呢

34、？接着就会去进一步地观察，在这个长方形中每一排有几个这样的小正方形，共有几排。于是，又引起他们深入思考，这样的每排几个和有这样的几排，与长方形的面积是什么关系呢？显然，在整个观察活动中，感知和思维是同步进行，互为条件的，感知为思维提供了依据，思维又为进一步感知提供了新的目标。可见，观察的根本目的就是为了发现问题和找到事物的本质规律，因此学会思考性地观察很重要。 第二，观察的客观性。格式塔（Gestalt）曾有这样的实验，发现当人们在感知诸如等这样的图形时，总会在知觉中自觉地将它们看作是一个三角形、正方形和圆，即人的知觉有一种趋向于稳定性、完整性和对称性的倾向，这就是观察的主观性。要保证观察的客

35、观性，就需要掌握一定的观察方法。通常说，从观察顺序看，主要有：整体部分整体和部分整体部分这两种方法。而方法的抉择主要取决于在数学学习中观察的任务和对象的特点。从儿童的思维发展的特征看，他们的观察能力的发展有着一个较为明显的阶梯性，即：对象的概括化的能力知觉的形式化能力空间结构的知觉能力逻辑模式的识别能力。实验则是人们根据一定的研究目的，人为地创设条件，控制和模拟客观对象，在有利的条件下获取资料的研究方法。观察与实验都是一种有目的、有计划、有步骤、有组织的积极思维活动。不过，实验以观察更具有优越性，它可以排除外界条件的各种干扰，突出其主要矛盾，使实验者获得更精确的事实和资料。但是任何实验都离不开

36、观察，实验实际上是观察的一种形式。（2）比较与分类比较，也称对比，它是确定对象之间的相异与相同点的一种逻辑方法。它可在相同或相异的对象之间进行，也可在同类对象的不同方面进行。比较是分析，综合这些基本思维过程的主要活动方式之一，要使学生能抽象概括得到理性认识必须通过比较。在人们的社会实践，特别是在科学研究中，比较作为一种科学方法普遍地被应用，“有比较才能有鉴别”，通过比较，可以从思想上把握现实世界对象本质特征和非本质特征，反映客观事物相互对立又相互联系的内部规律，达到正确认识事物的目的。在数学研究中，同样也离不开比较方法。当被研究的对象包含多种可能的情况，导致我们不能对它们一概而论的时候，迫使我

37、们必须按可能出现的所有情况来分类讨论，得出各种情况下相应的结论，这种解决问题的思想方法，我们称为分类，也称为分类方法。分类是确定概念外延的一种逻辑方法。根据分类的含义，分类必须遵循下列原则：（1）分类所得的各子项外延的总和，应当与被分类的概念的外适相等，即没有遗漏。（2）分类所得的各子项，应当是互相排斥的，即没有重复。（3）分类应按同一标准进行。3、分析与综合分析和综合是人类认识事物本质的一个必不可少的基本思维过程。数学知识的是客观事物的抽象的和模型化的反映。因此，能否将概念还原成事实，就看概念掌握的清晰程度和深刻性，这就要依赖与学生的分析与综合能力。所谓分析，简单地说，就是指在头脑中将对象和

38、现象分解成个别部分，从而找出它的属性、特征等单独来考察的思维活动，而所谓综合，就是指将分析了的各个部分结合起来，从整体来考察对象或现象的思维活动。 分析始于感知，但它属于一种片面的感知，不能获得整体的认识。综合则是将片面的感知进行整合，形成整体知觉。一般说来，没有分析就谈不上综合，但分析并非一定在综合之前。同时，分析和综合是伴随在同一认识活动的过程之中的。儿童的分析、综合能力发展，有一个从低级阶段到高级阶段的发展过程，所谓低级阶段，即指分析和综合是与感知觉直接挂钩的；而所谓高级阶段，则是指分析和综合不再与感知觉直接挂钩。在小学数学学习中 ，可以利用多种途径对儿童进行分析与综合能力的培养，如：

39、利用某些问题解决学习来发展儿童的分析与综合能力。因为在问题解决学习过程中，有一个理解问题活动，而理解问题的活动就是在头脑中构造问题表征的活动。这是一个不容忽视的阶段，研究表明，许多问题解决的障碍可能并不在于问题解决的策略不当或者过程有误，而往往在于关于问题性质的认识表征的建立上存在某些问题。一般地说，问题从被确认到获得解决，是有一系列的不断变化的状态的，即从问题的起始状态到问题的目标状态，首先就有一个表征构造的过程，而表征构造的过程就是一个不断地分析与综合的过程。只有这样，才能从问题的起始状态出发，通过图式的检索进入并逐渐逼近问题的目标状态。利用某些计算（规则）学习进行来发展儿童的分析与综合能

40、力。仅从计算的审题过程看，儿童往往除了表现出对“式题”的审题不重视外，还表现出审题的：无顺序、粗糙和随意性强等特点，从而影响了解题的正确性或速度。（4）抽象与概括抽象与概括也是人类认识事物本质的一个必不可少的基本思维过程。所谓抽象，简单地说，就是指发现事物的本质属性，放弃非本质属性的思维过程。所谓的概括，简单地说，就是指从个别单独的属性，推广到属于这同类事物的属性中的思维过程。 数学学习的过程就是培养抽象与概括能力的过程，这首先是由数学科学其本身抽象性特征所决定的。其次，数学科学是对客观世界的本质属性最一般的反映，而这种最一般的反映必须要以抽象为前提。但是，由于儿童尚处于以具体形象思维为主并逐

41、步向抽象逻辑思维过渡的年龄阶段，因此，其内部的思维活动就常需要有一定的外部支撑点充分地感知。对儿童的抽象与概括能力的培养，应注意要有一定的阶段性。按皮亚杰等人的研究，低年级的儿童尚处在“前运算阶段”（相当于布鲁纳的“动作式阶段”）向“具体运算阶段”过渡，往往只能形成“一级概念”（具体概念），而要形成“二级概念”（定义概念）还比较困难。他们往往只能依赖经验（直观）进行初步的抽象，而这种抽象与概括的发展是依据对象的外显的特征从手的分类开始，凭借感觉学习来形成和保持各种表象，也就是说，在他们的概念中还往往依赖直观或经验来支撑。而年龄稍高一些的儿童开始处于“具体运算阶段”（相当于布鲁纳的“映象式阶段”

42、），守恒概念逐渐形成，而且思维的可逆性和多维性逐渐得到了发展，能将环境中的经验构成内在的表象，开始能摆脱分类而从事物的内部特征入手，从而可能获得一些“二级概念”。但是，这个阶段的儿童在获得和适用这些概念的时候，仍需一定的直观形象来支持。到了更高些年龄段的儿童，他们的思维水平已开始发展到“具体运算阶段”向“形式运算阶段”过渡，他们已有一定的抽象的假设或命题进行逻辑转换的水平，而且概括能力也开始增强，能从一类本质属性推广到同类事物中去。例如，对“角”的认识，低年级段的儿童，可能只能从日常的经验或活动的体验来支撑，因而在他们看来，角就是“尖”的，还不能形成对图形的表征；稍高年级段的儿童，可能就会从图

43、形特征入手，从了解图形的基本组成去形成对图形的表征。但是，对于像/ 这样的图形，他们可能就会糊涂，这究竟是“勾”还是“角”？再高年级段的儿童，可能就会从“角”的发生角度去真正理解其本质含义，并开始懂得对情境对象依照一定的规则做符号推演（判定）。（5）归纳与猜想归纳是对同类事物中的各种特殊事物所蕴含的同一性或相似性而得出此类事物的一般性结论的思维过程。猜想是指人们根据某些事实和知识所作出的未经证实的预测性推断，以及人们作出这种预测性推断的思维过程。归纳有完全归纳与不完全归纳。完全归纳而得到的猜想，一般地说是可靠的；而不完全归纳而得到的猜想，一般地说不一定可靠。归纳与猜想可以导致数学的发现。不完全

44、归纳法的作用（1）不完全归纳法是数学发现与创新的有效方法；（2）不完全归纳法在数学教学中有着广泛的应用；（3）通过归纳方法提出的猜想可以作为数学研究的题点，丰富数学研究的内容，推动数学学科向前发展。归纳与猜想是从特殊而得到一般的思维方法。波利亚说过：“科学家处理经验的方法，通常称为归纳法。”数学学习中，利用归纳猜想不仅有利于数学的发现，也有利于数学解题途径或方法的得到。（6）类比与联想类比是根据两个对象或两类事物间存在着的某些相同或相似，推断出它们的其它属性也可能相同或相似的思维形式。联想是由当前感知或思考的事物，想到与其相关联的另一个事物的思维方法。一般类比联想的模式为A具有性质a，b，c，

45、d，B具有性质a，b，c，B也可能具有性质d。另外，类比联想还存在模式为A具有性质a，b，c，d，B具有性质a，b，c分别与 a，b，c相似，B可能具有性质d，d与d相似。例如：由除结果商不变的性质和分数的基本性质类比得出比的基本性质。 4 数学思维的品质数学思维品质又称数学思维的智力品质，它是指学生数学思维发生、发展中的个性差异，它是衡量学生数学思维发展水平的重要标志。思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平，以及思维活动的广度、深刻和难度。在数学思维中，学习者的思维表现出如下特征：（1）善于洞察数学对象的本质；（2）善于把握数学知识的背景；（3）善于认识数学知识结构及知识间的相互关系；

46、（4）善于揭示数学材料的思想、方法、原理、一般模式；（5）善于掌握数学材料间的逻辑结构，形成恰当的推理和作出正确的推断与猜想。思维的深刻性是一切思维品质的基础。思维的灵活性是指思维活动的灵活程度。即学生在思维过程中能从不同的方面、不同的角度以及从不同的方向来思考问题，并且还能用不同的方法来解决问题，具体到数学学习上，学生可以从不同的方面来理解数学概念，用各种方法来解答数学问题，有时还可以用多种手段来处理疑难问题。思维的灵活性是数学思维的重要品质，它与思维深刻性的结合，构成了思维的机智与敏捷，常常可导致发明和创造。正因为如此，爱因斯坦把思维的灵活性看成是创造性的典型特点。数学思维的灵活性具有以下

47、特征：（1）善于从不同的角度思考问题，用不同的方法解决问题。（2）善于随机应变，把问题加以转化。思维灵活性的反面是思维的呆板性。在数学学习中常表现为循规蹈矩和因循守旧，缺少应变能力，呈现出消极的思维定势。思维的敏捷性是指思维活动的反映速度和熟练程度。数学思维敏捷可以归纳出如下的特点：（1）在数学解题过程中善于走捷径，超越常规的步骤，从而使解题过程大大缩短。（2）思维敏捷性具有直觉的成分，通过直觉思维，得到简捷的解题思路。（3）在解决数学问题的思维中，善于一下抓住问题的本质，使问题迎刃而解，表现出解决问题的敏捷特点。例 欧拉在解决“七桥问题”时，就是把七桥问题中“一次无重复地走过七座桥”的问题的

48、本质抓住了，即把它看成是“笔不离纸，一笔画出一个封闭曲线”(“一笔画”)问题。从而使问题得到迅速解决。思维的独创性是指思维活动的创新程度。是指思考问题和解决问题时的方式方法或结果的新颖、独特，具有创造性。数学思维活动中表现为能独立地发现问题，解决问题，勇于创新，敢于突破常规的思考方法和解题程式，大胆提出新的见解和采用新的方法。在数学学习中，思维的独创性是极其重要的，著名数学家高斯小时候就具有在数学学习上思维的独创性，他在计算教师给他们出的计算题123100时，不是依常规的计算步骤，即一个一个地加起来，而是排除了过去的思维模式，采取了一种新颖的算法：于是，101×50=5050，从而，

49、1+2+3+100=5050。高斯的这一思维即有摆脱常规思维而具有新颖性思维的特点。（1）具有较强的个性特点；（2）善于独立思考、分析、综合，找出数学问题的主要特性；（3）善于通过观察、类比、归纳，作出猜想；（4）不拘泥现有的思维方法与途径，而善于独辟蹊径，从方法上创新；（5）通过思维而得到新颖的思维成果。思维的批判性即思维的独立性。是指思维活动中独立思考，善于提出疑问，并发表不同的看法，严格客观地评价思维的结果，及时地发现和纠正错误。数学思维活动中，表现为对已有的数学表达和论证提出自己的见解，自我评判，辩别正误，排除障碍，寻求最佳答案。数学思维的批判性具有以下特征：（1）善于找出解题中的错误

50、，并能独立地纠正错误的解法与错误的结果，即善于洞察解题过程中出现的错误与漏洞，并能对思维过程作出正确的评价。（2）善于对已有的数学结果提出自己的看法或怀疑。（3）善于举反例，批判错解。在数学教学中可以通过对一些容易致误的数学问题的分析思考来提高思维的批判性。 思维批判性的反面是思维的盲从性。在数学学习中常表现为对教师和教材的盲从，不敢越雷池半步；表现为对他人结论的轻信，不善于独立思考和提出问题；也表现为缺乏检查和检验的意向，不善于客观评价等等。（三）提高将数学运用于现实情境的能力是发展数学素养的基本目标数学教育目标是为了拓展人的空间，包括数学的空间和生活的空间。拓展数学空间的最终目的还是为了拓

51、展人的一般的生活空间，使人的生活变得更为丰富多彩。显然，数学对每一个普通公民来说都有价值。1、学会用数学的思想来考察现实在现实情景中发展儿童的数学素养是一个重要的途径。因为儿童可以在这些实践、操作以及使用具体材料的过程中，有效地获取知识和技能，增进理解；运用数学知识发现和解决一系列现实生活问题；处理由课程其它领域或其它学科提出的问题；对数学内部的规律和原理进行探索研究等。概括地说，要学好数学就要用数学对具体情境进行思考和探索。这时，学生需要学会如何面对新的事物；学生需要学会如何逻辑地和有创意地思考；学生需要学会如何分析和解决问题；学生需要学会如何获得信息并有效地加以处理；学生需要学会如何与别人

52、交流与沟通；如此等等。因此，数学教学应该引导儿童观察和认识周围世界最简单的数量关系，建立情境与一般法则的联系，从而激发他们超越这些规则并能用数学语言来进行表达的动机，真正使用数学知识成为学生生活和思维的组成部分，这对儿童来说是非常主要的。2、构建普遍知识与特殊情境的联系理解普通的数学规则（知识）和特殊情境之间的不同，是儿童数学学习中要解决的一个关键问题，也是发展数学运用能力的一个重要任务。特殊的情景之中往往并不明确显示那些规则性的成分，而要获得特殊情景中的问题解决，却又必须依照某些规则。教学实践中不难发现，儿童的问题解决所产生的错误，在许多的情况下往往并不是某些数学规则性知识的问题，而是不能抓

53、住一般的数学规则性成分和其在特殊情境中的运用之间的联系。小学数学课程中的许多陈述性知识，往往是以严谨的命题或抽象的符号来呈现的，一旦需要将由命题的推演或符号的证明转化为现实的特殊情景中的问题思考时，就会给问题的表征和知识的检索带来一定的困难。例如，通过学习，儿童可能很理解并掌握了乘法的意义，但是遇到类似下列这些的特殊情景下的问题时，却又常常容易出现错误：“爸爸要做一个小木盒子，于是，他拿来一根细木条，将它锯成六段。兵兵发现，爸爸每锯断一次要用2分钟，想一想，爸爸做完这件工作要化多少时间？”又譬如说，在表面看来，程序性的知识似乎相对容易保持并易于检索，即在面对特殊情景下的问题解决过程中，似乎只要

54、能再现那些程序性的知识就行了，但问题是，我们在组织学习并习得那些程序性知识时，往往是刻意构造一些能明显呈现其程序规则的背景命题（所谓结构良好的问题），以帮助儿童去发现、区分并掌握这些程序性的规则。而那些特殊情景却往往并不直接呈现所包含的那些程序性规则特征的信息，就容易阻碍学生在问题解决过程中对问题的表征和知识的检索。例如，有的学生已经习得了“求平均数”的知识，但却不能解决类似如下特殊情景中的问题：“为迎接城市运动会，学校接到一项任务，为大会编织一批彩花。大队部将这个任务交给了五（1）中队。中队第一天派了6位少先队员，结果共做了92朵彩花，第二天派了8位少先队员，结果共做了106朵彩花。到了运动

55、会召开的前一天，大会突然要求学校再补充250朵彩花，并在一天内完成。你认为派多少位少先队员来完成此任务较为合适？为什么？”而就策略性知识（包括反省认知知识）而言，就更难于保持和检索了。如果我们在学习中将那些策略性知识也像程序性知识那样，归纳出某些规则并要求儿童去识记并保持时，我们就可能犯了一个错误。因为许多的策略性知识只有在真实的问题情境中，对可能性空间（也叫问题空间的）进行不断地搜索，逐步逼近，然后在这种不断的尝试、反思和修正过程中，才有可能去逐渐地构建某些策略性知识。可见，在普通的数学规则和特殊情境之间，其唯一桥梁是学生有意识在现实情境下进行数学思维。应积极地帮助和引导儿童在实践、操作以及

56、使用具体材料的过程中，获取知识和技能，增进理解；帮助和引导儿童不断地运用数学知识去发现和解决一系列现实生活问题；帮助和引导儿童处理由课程其它领域或其它学科提出的问题；帮助和引导儿童对数学内部的规律和原理进行探索研究。要让儿童了解到，数学表达系统是当作工具使用的，这些系统必须与它们运用中的情境相连才是有意义的。同样的，还要让儿童体验到，单有数学程序学习是不够的，而应当使这些程序成为他们思维工具。实际上，学生应用数学知识的过程是综合的数学能力和思维发展的过程。在解决问题的过程中，学生需要学会如何面对新的事物，如何逻辑地和有创意地思考，如何分析和解决问题，如何获得信息并有效地加以处理，如何与别人沟通

57、等。正是在这种联系中，儿童才有可能获得对知识的理解和掌握并进一步产生学习数学的动力，并获得数学素养的提高。§1.3 小学数学课程及其发展课程是由老师、学生、教材与环境四因素之间持续的相互作用而构成的有机的“生态系统”。从实践性特征看，课程的组织结构、内容结构等影响着教师、学生、教材与环境四因素之间相互作用的方式。1.3.1 我国传统的小学数学课程特征这里主要研究的是我国传统的小学数学课程体系、课程设计以及课程教学等方面的一些主要特征。（一）小学教学课程课程（curriculum）,作为汉语，以一个教育学概念大概最早出现于南宋哲学家和教育家朱熹（11301200）的著作朱子全书·论学中。按照中国大百科全书（教育篇）的解释是“课业及其进程”，含有“学习范围和进程”或“在一定时间内完成的一定分量的学业”等意；作为英语，“curriculum”一词源于拉丁语“currere”，意为“跑道”（racecourse），转意为“学习之道”。在西方最早提出课程（curriculum）一词的是英国著名哲学家、教育家斯宾塞（H.Spencer）。他在1859年发表的什么知识最有价值一文中将课程意指为“教学内容的系统组织”。随着对课程研究的不断深入，人们对课程内涵的