第二十章曲线积分

1、一、问题的提出实例实例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l. sm 匀质之质量匀质之质量分割分割,121insmmm ,),(iiis 取取.),(iiiism 求和求和.),(1 niiiism 取极限取极限.),(lim10 niiiism 近似值近似值精确值精确值二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinlmmmllyxfxoyl并作和并作和作乘积作乘积点点个小段上任意取定的一个小段上任意取定的一为第为第又又个小段的长度为个小段的长度为

2、设第设第个小段个小段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧为为设设1.定义定义oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l.),(lim),(,),(,),(,010 niiiillsfdsyxfdsyxflyxf即即记作记作线积分线积分第一类曲第一类曲上对弧长的曲线积分或上对弧长的曲线积分或在曲线弧在曲线弧则称此极限为函数则称此极限为函数这和的极限存在这和的极限存在时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段的如果当各小弧段的被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),( ldsyxm 2.存在

3、条件：存在条件：.),(,),(存在存在对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当 ldsyxflyxf3.推广推广曲线积分为曲线积分为上对弧长的上对弧长的在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数 ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 注意：注意：)(,)(. 121llll 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 lllldsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 ldsyxflyxf曲线积分记为曲线积分记为上对弧长的上对弧长的在闭曲线在闭曲线函数函数4.性质性质 .),(),(),(),()1( llld

4、syxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数为常数kdsyxfkdsyxkfll .),(),(),()3(21 llldsyxfdsyxfdsyxf).(21lll 曲线积分定积分三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算定理定理且且上有一阶连续导数上有一阶连续导数在在其中其中参数方程为参数方程为的的上有定义且连续上有定义且连续在曲线弧在曲线弧设设, , )( ),()( ),(),( ,),( ttttytxllyxf dtttttfdsyxfl )()()( ),(),(22)( 证略。证略。 ).(),( :tytxl 这里这里，. t. )()(22dttt

5、ds 注意注意: :;. 1 一定要小于上限一定要小于上限定积分的下限定积分的下限.,),(. 2而而是是相相互互有有关关的的不不彼彼此此独独立立中中yxyxf ).(),( :tytxl 1. 曲线曲线. t对弧长曲线积分的计算公式对弧长曲线积分的计算公式dtttttfdsyxfl )()()( ),(),(22则则2. 曲线曲线.)(:bxaxyl .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbal .)(:dycyxl 3. 曲线曲线.)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcl 则则则则推广推广: :)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(22

6、2 dtttttttfdszyxf例例1其中其中计算计算 . )( ldsyx解解. 0)( x 的直线；的直线；到点到点点点 )0 , 2( )0 , 0( : )1(aol的直线；的直线；到点到点点点 )3 , 2( )0 , 2( : )2(balaxyo23b(1) l：. 20 , 0)( xxy ldsyx)(dxx 20201 )0(dxx 20 . 2 . 0)( x (2) l：. 30 , 2)( yyx ldsyx)(dyy 30201 )2(dyy 30 )2(.221 例例2.2. 计算.dsyl其中 l 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2)的一段弧.xxxs

7、yld2112d 20解解1 1：0 x2,2 :xylxxysddd1d2xxd211y2=2x022yxxxd1220) 155(31解解2 2：0y2,2 :2yxlyyysyld1d 202yyxsddd1d2yy d12) 155(31022yx22yx 例例3.3. 计算lsyxd)(l: 连接o(0, 0), a(1, 0), b(0, 2)的闭折线oabo.解解：l分段光滑boaboal ds=dx21d)0(d)(10 xxsyxoaoa: y=0, 0 x1o2abyx110d5)22(d)(xxxsyxabab: y=22x, 0 x1xysd1d2xd552320dd)

8、(yysyxbobo: x=0, 0y2 ds=dy=2252321d)( lsyx)535(21o2abyx1例例4.4. 计算lsyxd)(22其中l: x2+y2=a2.l: x=acos t, y=asin t, 0t2lsyxd)(22ttatatatad)cos()sin()sincos(22222022taad20232 a例例5.5. 计算.d)(23szyx其中：从点a(3, 2, 1)到点o(0, 0, 0)的直线段.解解：直线段 ao 方程：123zyx化成参数方程：x=3t, y=2t, z=t, 0t1.ttttszyxd123)2()3(d)(222210323tt

9、 d143110314431例例6.)1 , 1()0 , 0(,:,2一段一段到到从从其中其中求求xyldsyil 解解dxxxi)(12102 xy 2. 10:2 xxyldxxx21041 )155(121 例例7)20(.,sin,cos:,)(222 的的一一段段其其中中求求kzayaxdszyxi解解).43(3222222kaka dkaakaa222222222)cos()sin(sincos 20i 2022222)(dkaka例例7 . 0,22222zyxazyxdsxi为圆周为圆周其中其中求求解解 由对称性由对称性, 知知.222 dszdsydsx dszyxi)(

10、31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa例例8).(,sin,cos: ,象限象限第第椭圆椭圆其中其中求求 tbytaxlxydsil解解dttbtatbta2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin )(sin sin)(22202222tdbtbaab ,cos)(tatx .sin)(tbty xyoab,sin)(tat .cos)(tbt .20 t lxyds.)(3)(22bababaab sin)( sin)()( 2222220222222btbadbtbabaab 20232222

11、22sin)(32)(2 btbabaabdttbtatbta2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin )(sin sin)(22202222tdbtbaab lxyds例例9其中其中计算计算 . )( ldsyx解解. 0)( x 的直线；的直线；到点到点点点 )0 , 2( )0 , 0( : )1(aol的直线；的直线；到点到点点点 )3 , 2( )0 , 2( : )2(balaxyo23b(1) l：. 20 , 0)( xxy ldsyx)(dxx 20201 )0(dxx 20 . 2 . 0)( x (2) l：. 3

12、0 , 2)( yyx ldsyx)(dyy 30201 )2(dyy 30 )2(.221 例例9.)2, 1()2 , 1(,4:,2一段一段到到从从其中其中求求 xylydsil解解dyyy222)2(1 . 0 xy42 xyo12 2. 22 ,4)( :2 yyyxl .2)(yy lydsidyyy41222 例例10)20(. ,sin,cos: , 的一段的一段其中其中求求kzayaxxyzdsi解解.21222kaka dkaaka )cos()sin(sincos202222 . ,cos,sinkzayax dsxyzi dkaka 2sin220222 例例11解解直

13、直其中曲线其中曲线计算计算 , . 222 22ayxdselyx 形形边边界界。在在第第一一象象限限中中所所围围的的图图线线 , 0 xyx dselyx 22xyo2 2 aab.0 , 0 :ayxoa . 0 xdseoayx 22dyeay 0120022 dyeay 0. 1 aedsedsedseobyxabyxoayx 222222 xyo2 2 aab.0 , 0 :ayxoa . 0 xdseoayx 22dyeay 0120022 dyeay 0. 1 aedttataetata )sin()cos(2224)sin()cos(22 .24 ,sin ,cos : tta

14、ytaxabdseabyx 22.cos ,sintaytax dttataetata )sin()cos(2224)sin()cos(22 dtaea 24 .6aea .24 ,sin ,cos : ttaytaxabdseabyx 22.cos ,sintaytax .2 20 , :axxyob . 1 ydseobyx 22dxeaxx 11222022 xyo2 2 aab于是，于是，dselyx 22dsedsedseobyxabyxoayx 222222 )1(4)1( aaaeeae . 2)42( aea . 1 aedxeax 2220 2 .2 20 , :axxyob

15、 . 1 ydseobyx 22dxeaxx 11222022 四、几何与物理意义,),()1(的线密度时的线密度时表示表示当当lyx ;),( ldsyxm ;,1),()2( ldslyxf弧长弧长时时当当,),( ),()3(处的高时处的高时柱面在点柱面在点上的上的表示立于表示立于当当yxlyxf.),( ldsyxfs柱面面积柱面面积sl),(yxfz 对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用 ,)1(曲线弧的转动惯量曲线弧的转动惯量.,22 lylxdsyidsxi 曲线弧的质心坐标曲线弧的质心坐标)2(., lllldsdsyydsdsxx ,)(220 ldsyxi 例例9 ).

16、(,sin,cos: ttrytrxl解解: 如图设置坐标系如图设置坐标系dttrtrtr2222cos)sin(sin .1(2,）设设线线密密度度为为它它的的对对称称轴轴的的转转动动惯惯量量对对于于的的圆圆弧弧中中心心角角为为计计算算半半径径为为lr xy lxdsyi2tdtr 23sin).cossin(3 r1 1、对弧长曲线积分的概念、对弧长曲线积分的概念2 2、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算3 3、对弧长曲线积分的应用、对弧长曲线积分的应用作业 : p201:1,(1)(7),2,3.五五 小结与思考判断题小结与思考判断题思考判断题思考判断题（1） 对弧长的曲线积分的

17、定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？的符号可能为负吗？is （2） 对弧长的曲线积分是否与曲线方对弧长的曲线积分是否与曲线方向有关？向有关？思考题思考题对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号的符号可能为负吗？可能为负吗？is 思考题解答思考题解答is 的符号永远为正，它表示弧段的长度的符号永远为正，它表示弧段的长度.一、一、 填空题填空题: :1 1、 已知曲线形构件已知曲线形构件l的线密度为的线密度为),(yx , ,则则l的质量的质量m= =_；2 2、 lds= =_；3 3、 对对_的曲线积分与曲线的方向无关；的曲线积分与曲线的方向无关；4 4、 lds

18、yxf),(= = dtttttf)()()(),(22中要中要求求 _ . .二、二、 计算下列求弧长的曲线积分计算下列求弧长的曲线积分: : 1 1、 lyxdse22, ,其中其中l为圆周为圆周222ayx , ,直线直线xy 及及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；练习题练习题 2 2、 yzdsx2, ,其中其中l为折线为折线abcd, ,这里这里dcba, 依次为点依次为点(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 ldsyx)(22, ,其中其

19、中l为曲线为曲线 )cos(sin)sin(costttaytttax )20( t； 4 4、计算、计算 ldsy, ,其中其中l为双纽线为双纽线 )0()()(222222 ayxayx . .三、设螺旋形弹簧一圈的方程为三、设螺旋形弹簧一圈的方程为taxcos , ,taysin , ,ktz , ,其中其中 20t, ,它的线密度它的线密度222),(zyxzyx , ,求求: : 1 1、它关于、它关于z轴的转动轴的转动zi惯惯量量； 2 2、它的重心、它的重心 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、 ldsyx),( ； 2 2、的的弧弧长长l； 3 3、弧长；、弧长； 4 4

20、、 . .二、二、1 1、2)42( aea； 2 2、9 9； 3 3、)21(2232 a； 4 4、)22(22 a. .三、三、)43(32222222kakaaiz ； 2222436kaakx ； 2222436kaaky ； 22222243)2(3kakakz . .oxyabl一、问题的提出1 nmim1 im2m1mix iy 实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功,:baljyxqiyxpyxf),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110bmyxmyxmmannnn .)()(1jyixmmiiii .abfw 求和求

21、和. ),(),(1 niiiiiiiyqxp 取极限取极限. ),(),(lim10 niiiiiiiyqxpw 近似值近似值精确值精确值,),(),(),(jqipfiiiiii 取取,),(1iiiiimmfw .),(),(iiiiiiiyqxpw 即即 niiww1oxyabl1 nmim1 im2m1m),(iif ix iy 二、对坐标的曲线积分的概念,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段如果当各小弧段上任意取定的点上任意取定的点为为点点设设个有向小弧段个有向小弧段分成分成把

22、把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数向光滑曲线弧向光滑曲线弧的一条有的一条有到点到点面内从点面内从点为为设设 iiiiiiiiiiniinnnmmyyyxxxbmamnimmnlyxmyxmyxmllyxqyxpbaxoyl1.定义定义.),(lim),(,(),(,),(101iiniilniiiixpdxyxpxlyxpxp 记作记作或称第二类曲线积分）或称第二类曲线积分）积分积分的曲线的曲线上对坐标上对坐标在有向曲线弧在有向曲线弧数数则称此极限为函则称此极限为函的极限存在的极限存在类似地定义类似地定义.),(lim),(10iiniilyqdyyxq ,),(),(叫做被积函数叫做

23、被积函数其中其中yxqyxp.叫积分弧段叫积分弧段l2.存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当lyxqyxp3.组合形式组合形式 llldyyxqdxyxpdyyxqdxyxp),(),(),(),(.,jdyidxdsjqipf 其中其中. ldsf4.4.推广推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧.),(lim),(10iiiniixpdxzyxp . rdzqdypdx.),(lim),(10iiiniiyqdyzyxq .),(lim),(10iiiniizrdzzyxr 5.5.性质性质.,)1(2121 ll

24、lqdypdxqdypdxqdypdxlll则则和和分成分成如果把如果把则则有向曲线弧有向曲线弧方向相反的方向相反的是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设,)2(lll 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. lldyyxqdxyxpdyyxqdxyxp),(),(),(),(三、对坐标的曲线积分的计算,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数

25、当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 ldyyxqdxyxpttttblalyxmttytxllyxqyxp 定理定理dttttqtttpdyyxqdxyxpl)()(),()()(),(),(),( 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyl，终点为，终点为起点为起点为 .)()(,)(,dxxyxyxqxyxpqdypdxbal 则则.)(:)2(dcyyxxl，终点为，终点为起点为起点为 .),()(),(dyyyxqyxyyxpqdypdxdcl 则则.,)()()(:)3( 终点终点起点起点推广推广ttztytx dtttttrtttt

26、qttttprdzqdypdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( (4) 两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：,)()( tytxl ：设有向平面曲线弧为设有向平面曲线弧为,),( 为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点yxl lldsqpqdypdx)coscos(则则其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ） ,),( 为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点zyx dsrqprdzqdypdx)coscoscos(则则 dsta rda, dsat

27、可用向量表示可用向量表示，其中其中,rqpa ,cos,cos,cos t,dzdydxdstrd 有向曲线元；有向曲线元；.上的投影上的投影在向量在向量为向量为向量taat处的单位切向量处的单位切向量上点上点),(zyx 例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算baxylxydxl 解解的定积分，的定积分，化为对化为对x)1(.xy obaolxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( a)1 , 1(b的定积分，的定积分，化为对化为对y)2(,2yx ablxydxxydx

28、1122)(dyyyy. 11到到从从 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( a)1 , 1(b.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点的上半圆周的上半圆周针方向绕行针方向绕行、圆心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆时半径为半径为为为其中其中计算计算abxaaaldxyl 例例2解解,sincos:)1( ayaxl，变到变到从从 0)0 ,(aa)0 ,( ab 0原式原式 daa)sin(sin22 )0 ,(aa)0 ,( ab .343a , 0:)2( yl，变到变到从从aax aadx0原式原式. 0 问题问题：被积函数相同，起点和终

29、点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同. 03a)(cos)cos1(2 d 例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是点依次是点，这里，这里有向折线有向折线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线为为其中其中计算计算baooabboyxboxyldyxxydxl 2xy )0 , 1(a)1 , 1(b解解.)1(的积分的积分化为对化为对 x, 10,:2变到变到从从xxyl 1022)22(dxx

30、xxx原式原式 1034dxx. 1 ) 0 , 1 (a)1 ,1(b2yx .)2(的积分的积分化为对化为对 y,10,:2变到变到从从yyxl 1042)22(dyyyyy原式原式 1045dxy. 1 )0 , 1(a)1 , 1(b)3( aboadyxxydxdyxxydx2222原式原式,上上在在 oa,10, 0变到变到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxoa. 0 ,上上在在 ab,10, 1变到变到从从yx 102)102(2dyydyxxydxab. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (a)1 ,1(b问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：

31、被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同.四、小结1、对坐标曲线积分的概念、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系思考题思考题 当曲线当曲线l的参数方程与参数的变化范围给定的参数方程与参数的变化范围给定之后之后（例如（例如l：taxcos ，taysin ，2 , 0 t，a是正常数），试问如何表示是正常数），试问如何表示l的方的方向向（如（如l表示为顺时针方向、逆时针方向）？表示为顺时针方向、逆时针方向）？思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向

32、而定.例如例如l：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中当当t从从 0 变变到到 2时时，l取取逆逆时时针针方方向向;反反之之当当t从从 2变变到到 0 时时，l取取顺顺时时针针方方向向.一、一、 填空题填空题: :1 1、 对对_的曲线积分与曲线的方向有关；的曲线积分与曲线的方向有关；2 2、 设设0),(),( dyyxqdxyxpl, ,则则 lldyyxqdxyxpdyyxqdxyxp),(),(),(),(_；3 3、 在公式在公式 dyyxqdxyxpl),(),( dttttqtttp)()(,)()()(,)(中中, ,下下 限限对应于对应于l的的_点点, ,上限上限 对应于