第四节一阶线性微分方程

1、高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 第四节 一阶线性微分方程高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系) 1 (),()(xqyxpdxdy称为一阶线性微分方程,因为它对未知函数y及其导数都是一次的.当q(x)=0时是线性齐次的;)2(, 0)(yxpdxdydxxpceycdxxpydxxpydy)(ln)(ln)( 这就是对应的线性齐次方程(2)的通解.方程(2)是可分离变量的,分离变量得否则称为线性非齐次的. 线性齐次微分方程方程(1)的解和方程(2)的解有密切关系. 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉

2、科技学院数理系常数变易法求解非齐次线性方程(1)的通解, 是把(2)的通解中的c换成x的待定函数u(x)4()()3()()()()(dxxpdxxpdxxpexupeuyexuy)()(143xqyxpdxdy），得到）代入方程（）和（将（)()()()()()()(xqexuxpexupeudxxpdxxpdxxp高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系)()()()()()()(xqexuxpexupeudxxpdxxpdxxp第一项是对应齐次线性方程(2)的通解,第二项是非齐次线性方程的一个特解.由此可知,一阶非齐次线性方程的通解等于对应齐次线性方程的通解

3、与非齐次线性方程自身的一个特解之和.cdxexquexquxqexudxxpdxxpdxxp)()()()(,)()()(dxexqeceexuydxxpdxxpdxxpdxxp)()()()()()(高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例1 求解方程2xxydxdy分析先求出对应的齐次线性方程0 xydxdy的通解uxycxyxdxydyxydxdy0其中c1是任意常数122222cxuxxuxuuxuxxydxdy221xxcy高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例2 求解方程1xydxdydxeecedxexqeceyx

4、dxxdxxdxdxxpdxxpdxxp)()()()(注意:严格说,上式只有在x0时才成立,当x0时)7(ln xxcxxdxxcxxdxxcxy由于c是任意常数,(7)式和(6)式是相同的.1)(,1)(xqxxp解：这里)6(lnlnlnlnxxcxxdxxcxdxeecexxx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例3 求解yxxydxdy222解ydydzyzxxydxdyyyxxydxdy2,2222222令例4 求解方程1)(3xtxdtdx22233)(11)(xxtdxdxxtdxdtxxtxdxdtxtxdtdx221212212xxcyyx

5、xczxxzdxdz，由例3343xcxtxcxt高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系二二. . 伯努利方程伯努利方程)10() 1 , 0()()(nyxqyxpdxdyn称为伯努利方程.当n=0或n=1时,是线性微分方程.当n0,n1时,不是线性,但可通过变量代换,化为线性.把yn除方程(10)两端,得到)11()()(1xqyxpdxdyynn令 z=y1-n,dxdyyndxdzn)1 (则用(1-n)乘方程(11)的两端,把上式代入,我们得到)()1 ()()1 (xqnzxpndxdz求出这方程的通解后,以y1-n代入z就得到伯努利方程的通解.方程

6、高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例5 求方程的通解2)(lnyxaxydxdy以y2除方程的两端,我们得到xayxdxydxayxdxdyyln1)(ln11112xayxdxydxayxdxdyyln1)(ln11112cxczcxzxdxzzdyxdxydyz )(01)(1112)(lnlnlnln2xacdxxxacxaxcxaxzdxdz12)(ln2)(ln2)(ln2212xacxyxacxyxacxz高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系有些一阶非线性微分方程不是伯努里方程,也不是其他已知类型的方程,但通过某

7、种因变量代换也可化为线性方程.可通过变量代换 y yn n=u (y=u (yn n) )=ny=nyn-1n-1y y 可化为线性微分方程 u u+p(x)u=q(x)+p(x)u=q(x)(1)形如三三. . 其他可化为线性微分方程的方程其他可化为线性微分方程的方程) 1 , 0()()(1nxqyxpynynn高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例6 求微分方程通解2222xxexyyy令 y2=u 2yy=u 于是原方程化为线性微分方程 u+2xu=xe-x222lnln20222xxceucxuxdxuduxuuxexuu)2(22222212222xceyxcxcxexuxceecuxxxx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(2)形如可通过变量代换f(y)=u 化为线性方程)()(xquxpdxdu分析: 求微分方程的通解yyxdxdyycos)cos1 (sinxydxdyyyyyxdxdyycos1cossincos)cos1 (sin2)2()()(