第四节全微分

1、1第四节第四节 全微分全微分回顾回顾: :如如果果对对一一元元函函数数),(xfy ,)(0可可微微在在点点则则称称函函数数xxfy , )( xoxay )0( x)()(00 xfxxfy 能表示成能表示成的的微微分分为为并并且且称称函函数数)(xfy ,ddxaxay 实际上实际上, )(xfa .d)(dxxfy 即即2一、全微分的概念一、全微分的概念定义定义二二元元函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处的的全全增增量量 ),(),(0000yxfyyxxfz 如果可以表示为如果可以表示为 )0( )( oybxaz其其中中ba,与与yx ,无无关关, ,22yx , ,

2、则则称称),(yxfz 在在点点),(00yx处处可可微微分分, ,而而 ybxa 称称为为),(yxfz 在在),(00yx处处的的全全微微分分, ,记记为为 zd, ,即即 .dybxaz 3定定理理 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx可可微微分分, 则则函函数数在在该该点点连连续续. 二、函数可微的必要条件及充分条件二、函数可微的必要条件及充分条件事实上事实上, )( oybxaz 若若,0lim0 z 则则),(lim00)0, 0(),(yyxxfyx ),(lim000zyxf ，),(00yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续. 即

3、即证明证明可微可微 连续连续 4如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx可可微微分分，则则函函数数在在该该点点必必有有偏偏导导数数),(),(0000yxfyxfyx ，且且 ),( ),(0000yxfbyxfayx 证证，)( oybxaz 令令 0 y， 则则| x , xyxfyxxfyxfxx ),(),(lim),(000同理可得同理可得. ),(00yxfbx xxoxax |)(|lim0,a 可微可微 可偏导可偏导 定理定理yyzxxzzddd 5.000),(222222 yxyxyxxyyxf在在点点)0 , 0(处处有有 0)0 , 0()0 , 0( y

4、xff, )0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 注注：可偏导不一定可微：可偏导不一定可微, ,见下面反例见下面反例. . 22220/limyxyxyxxyx 220limxxxxx 21 ，0 所以所以，)()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 即即),(yxf在在) 0 , 0(处处不不可可微微. . 6如如果果函函数数),(yxfz 的的偏偏导导数数 xz 、yz 在在点点),(yx连连续续，则则该该函函数数在在点点),(yx可可微微。 定理定理 这个定理给出了二元函数在一点处可微的充分这个定理给出了二元函数在一点处可微的充分条件，证明从略条件，证

5、明从略. . 上述定理均不可逆。上述定理均不可逆。7多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可偏导函数可偏导8yyzxxzzddd 全微分的计算公式：全微分的计算公式：二元函数的微分法则：二元函数的微分法则：设设),(),(yxvyxu可微，可微，则则 ,dd)(dvuvu ,dd)(dvuuvvu )0( dd)(d2 vvvuuvvu9求求22yyxz 的的全全微微分分. . 解解例例1 1，xyxz2 ，yxyz22 .d)2(d2d2 yyxxxyz 所所以以10例例2 2求求221lnyxz 在在)1, 1(

6、处处的的.dz 解解,)1ln(2122yxz yyzxxzzddd ,d1d12222yyxyxyxx . )d(d31d 11yxzyx 所所以以11全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用若若函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx可可微微分分，即即 ),(),(0000yxfyyxxfz )0( )(),(),(0000 oyyxfxyxfyx当当|,|yx 充充分分小小时时， yyxfxyxfzzyx ),(),(d000012例例3 3求求02. 2)97. 0(的的近近似似值值。 解解,),( yxyxfz 令令, )2, 1(),(00 yx,03. 0 x,02. 0 y,2)2, 1()2, 1(1 yxxyf,0ln)2, 1()2, 1( xxfyy,1)2, 1( f所以所以