大学物理教学资料——动量与角动量

1、 动量与角动量动量与角动量 （momentum and angular momentum）实际问题中有时往往需要研究实际问题中有时往往需要研究一个过程的积累效果。一个过程的积累效果。牛顿定律是瞬时规律。牛顿定律是瞬时规律。前言前言研究研究力对时间积累作用力对时间积累作用对平动对平动动量定理动量定理对转动对转动角动量定理角动量定理一一. 力的冲量力的冲量定义：定义：tdfidf的元冲量的元冲量21dtttfi的冲量的冲量f是过程量，反映力的时间积累。是过程量，反映力的时间积累。si: ns 冲量与动冲量与动 量定理量定理 二二. 质点的动量定理质点的动量定理力的时间积累效果？力的时间积累效果？p

2、tftpfdddd 合力的合力的元冲量元冲量动量的动量的元增量元增量动量定理（微动量定理（微分形式）分形式）由牛顿第二定律由牛顿第二定律dtvdmamfdtvmd)(dtpd若力作用了若力作用了 t2 - t1一段时间一段时间,则有则有 动量定理动量定理（积分形式）（积分形式）合力的冲量合力的冲量 动量增量动量增量（过程量）（过程量）（始末状态量）（始末状态量）12tttotalpptdfi21fu 是变力，不能轻易地移到积分外。是变力，不能轻易地移到积分外。t dfittxx2121ttyydtfi21ttzzdtfiu对对 矢量积分，把矢量积分，把 分成三个分量。分成三个分量。ff222z

3、yxiiii 一个过程量等于始末两个状态量之差。一个过程量等于始末两个状态量之差。 冲量是矢量冲量是矢量, 冲量的方向一般不同于初、冲量的方向一般不同于初、末末 动量的方向，而是动量动量的方向，而是动量 增量的方向。增量的方向。三、求冲量的两种方法三、求冲量的两种方法 21dtttfi（1）12ppi （2）1p2p tf1pi1txyz02t应用举例应用举例:例例. 一质量为一质量为 0.1kg 的小钢球从的小钢球从 2.5m 处自由下落处自由下落,与地上水平钢板碰撞后回跳高度为与地上水平钢板碰撞后回跳高度为1.6m. 设碰撞设碰撞时间为时间为 0.01s, 求撞击力。求撞击力。(不计刚球重

4、力）不计刚球重力）碰撞问题的平均打击力碰撞问题的平均打击力若增大打击时间，若增大打击时间，可减小打击力。（举例）可减小打击力。（举例）p2xp1xfxtfxt2t10 冲量还可用平均冲力来表示冲量还可用平均冲力来表示平均冲力平均冲力tpf21)(12ttdtfttf21121ttdtfttfh1h2ym1v2v【解】【解】碰前碰前112ghv 222ghv 碰后碰后 n12601. 05 . 28 . 926 . 18 . 921 . 0221212 tghghmtmvmvf(负号表示什么意思负号表示什么意思?)小球所受的撞击力小球所受的撞击力 质点系的动量定理质点系的动量定理 质点系质点系:

5、 有相互作用的若干质点组成的系统。有相互作用的若干质点组成的系统。 内力内力 : 质点系内质点之间的相互作用力。质点系内质点之间的相互作用力。f 外力外力 : 质点系外质点系外 其它物体对质点系内其它物体对质点系内 质点的作用力。质点的作用力。f先讨论由两个质点先讨论由两个质点组成的质点系的动量组成的质点系的动量:对第对第1个质点个质点tpffdd111 对第对第2个质点个质点tpffdd222 2f1f1f2f 2121pptff dd iiiiptfdd iiiiptfdd由牛由牛iii，一对内力抵消，一对内力抵消推广到更多质点的系统：推广到更多质点的系统：ptfdd 外外记作记作tptp

6、ffffdddd212121 两式相加两式相加质点系的总动量质点系的总动量质点系动量定理质点系动量定理（微分形式）（微分形式）质点系的合外力质点系的合外力“质点系总动量的增量等于该质点系所受的质点系总动量的增量等于该质点系所受的 合外力的冲量合外力的冲量”注意注意:内力不影响质点系的总动量！内力不影响质点系的总动量！ 质点系质点系动量定理是牛动量定理是牛iii的必然推论。的必然推论。ptfdd 外外1221pptftt d外外或或 用质点系动量定理处理问题可避开复杂的内力。用质点系动量定理处理问题可避开复杂的内力。 质点系动量定理质点系动量定理 （积分形式）（积分形式）但内力可影响质点系内某些

7、质点的动量。但内力可影响质点系内某些质点的动量。 动量守恒定律动量守恒定律 若质点系的合外力为零，则质点系的若质点系的合外力为零，则质点系的 总动量不变总动量不变。 -质点系的质点系的动量守恒定律动量守恒定律说明说明3.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。2.当外力当外力内力且作用时间极短时（如碰撞），内力且作用时间极短时（如碰撞）， 可近似认为动量守恒。可近似认为动量守恒。常量常量时，时，外外 pf01. 矢量关系的特点：可以总动量守恒，也可以矢量关系的特点：可以总动量守恒，也可以 总动量不守恒，而某个方向的分动量守恒！总动量不守恒，而某个方向的分动量

8、守恒！ 例题例题:质量为质量为m的人站在质量为的人站在质量为m的静止船上的静止船上,不计不计水对船的阻力。人对船走过了距离水对船的阻力。人对船走过了距离l，求船对水走，求船对水走过的距离过的距离l.0人水船水mvmv0)(vummv人船mmmuvdtmmmuvdtxmmml解：解：dtummmxll解：解：人到达地面时的速度大小为：人到达地面时的速度大小为：ghv2质量为质量为 60kg 的撑杆跳运动员，从的撑杆跳运动员，从 5 米的横杆跃米的横杆跃过自由下落，运动员与地面的作用时间分别为过自由下落，运动员与地面的作用时间分别为 1 秒和秒和 0.1 秒，求地面对运动员的平均冲击力。秒，求地面

9、对运动员的平均冲击力。碰撞过程，如图分析，再据动量定理：碰撞过程，如图分析，再据动量定理：n ng gmyyypptmgn0)()2(0ghmtghmmgn2600600 ,s1nt时n12006000600 ,s1 .0nt时n6600例：例：一枚静止的炸弹在水平面内爆炸，炸成三块，第一枚静止的炸弹在水平面内爆炸，炸成三块，第一块质量为一块质量为m,速度速度v1=800m/s，向西；第二块质量为，向西；第二块质量为m，速度，速度v2=600m/s,向南；第三块质量为向南；第三块质量为2m，求：第，求：第三块弹片的速度大小和方向。三块弹片的速度大小和方向。m1vm2v解：解：爆炸过程中，合外力

10、为爆炸过程中，合外力为0 0，系统动量守恒，系统动量守恒，如图建立坐标系如图建立坐标系13cos20mvmv23sin20mvmv2221321vvv得：得：2260080021m/s500方向如图所示：方向如图所示：9 .36xyom23vsinvsinrmrpl单位：单位： kg m2/s 或或 j s 质点作匀速率圆周运动时，质点作匀速率圆周运动时，角动量的大小为角动量的大小为 l = mvr角动量的方向不变。角动量的方向不变。prl 质点对某一固定点的角动量（动量矩）质点对某一固定点的角动量（动量矩） 定义：定义： mo pr lr movl角动量角动量一一). ). 质点（对固定点）

11、质点（对固定点） 的角动量的角动量looxyzrlvmsinrmvl 例：飞机的角动量例：飞机的角动量只有存在垂直于矢只有存在垂直于矢径方向的速度分量，径方向的速度分量，角动量才不等于零。角动量才不等于零。rmv 二）力矩二）力矩中学时学过的力矩概念中学时学过的力矩概念drffdm sinfrfrv注意：注意：sinrfm 2）方向：）方向：fr的方向的方向3）单位：米牛顿）单位：米牛顿mfo rmm1）大小）大小frm定义：力对某点定义：力对某点o的力矩等于力的作用点的矢的力矩等于力的作用点的矢 径径 与力与力f的矢量积的矢量积. rb）力的方向沿矢径的方向（）力的方向沿矢径的方向（ ）0s

12、in有心力的力矩为零有心力的力矩为零0f4）当）当 时时 有两种情况有两种情况,0ma）0r三三.角动量定理角动量定理1）角动量定理的微分形式）角动量定理的微分形式对一个质点：对一个质点： 1prl（1）式对）式对t求导：求导：prdtddtlddtpdrpdtrdfrpvdtldm此称质点的此称质点的角动量定理角动量定理mfr对多个质点而言对多个质点而言：（以两个质点为例）（以两个质点为例）如图设有质点如图设有质点m1。m2分别受分别受外力外力1f2f外力矩外力矩21.mm内力内力21f12f内力矩内力矩2010.mm对质点（对质点（1）：）： 11101dtldmm对质点（对质点（2）：）

13、： 22202dtldmm两式两式相加：相加： 3)(21202101lldtdmmmm2f1fm1m212f21fd2r1r10m20m1m2m 4)(2121lldtdmm内力矩内力矩02010 mmxzyo21mmm令：令：质点所受的合外力矩质点所受的合外力矩21lll质点系的总角动量质点系的总角动量 4dtldm 则：则：推广到推广到n个质点的个质点的质点系：质点系：质点系角动量定理：系统角动量对时间的变质点系角动量定理：系统角动量对时间的变化率等于系统所受合外力矩。化率等于系统所受合外力矩。1fm1m212f21fd2r1r10m20m1m2mxzyo 4)(2121lldtdmmd

14、tldm2）角动量定理的积分形式）角动量定理的积分形式 5lddtm对（对（5）式积分：）式积分： 6122121lllddtmlltt设：在合外力矩设：在合外力矩m的作用下，的作用下，21tt 时间内时间内系统的角动量从系统的角动量从21ll称为力矩的角称为力矩的角冲量或冲量矩冲量或冲量矩力矩对时间的积累作用力矩对时间的积累作用 6122121lllddtmlltt122121xxllxttxlldldtmxx122121yyllyttylldldtmyy122121zzllzttzlldldtmzz写成分量式写成分量式: 角动量守恒定律角动量守恒定律 当合外力矩当合外力矩lm时时，0 =常

15、矢量常矢量-质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律 omvfl （中心力）（中心力）r常常矢矢量量 )(vmrl（1） mv r sin = const.，（2）轨道在同一平面内。）轨道在同一平面内。两种情况：两种情况：0f 有心力（力的作用线通过某定点）有心力（力的作用线通过某定点）对力心的对力心的l守恒守恒对任一定点对任一定点l守恒守恒例例1）计算氢原子中电子绕原子核作圆周运动时）计算氢原子中电子绕原子核作圆周运动时 的角动量。的角动量。 已知：已知：kgme31101 . 91161013. 4smr111029. 5求：求：l解：以原子核为参考点解：以原子核为参考点vmrl2)(mrrr

16、mrmvl16211311013. 4)1029. 5(1011. 9)(1005. 11234skgm此值为狄拉克此值为狄拉克h：lrv2/hmemkmhrrkmhrr3223111020. 81064. 6解：11212221158. 6skmvrrvmvrmvr角动量守恒：1h2h1r2r例题例题 卫星在以地心为焦点的椭园轨道上运行。已知卫卫星在以地心为焦点的椭园轨道上运行。已知卫星近地点高度为星近地点高度为h1=266km,远地点高度为远地点高度为h2=1826km,卫星经过近地点时速率为卫星经过近地点时速率为v1=8.13km/s,求卫星通过远地求卫星通过远地点时的速率。（地球半径点

17、时的速率。（地球半径r=6370km）l例题例题一质量为一质量为m的质点以速度的质点以速度 从参考点平抛从参考点平抛出去，用角动量定理求质出去，用角动量定理求质点所受的重力对参考点的力矩。点所受的重力对参考点的力矩。 0v解：解：jtgivv0jtgi tvr2120vmrl)()21(020jgtivmjgti tvktmgv20ktmgv2120ktvgmdtldm0rgmvmxyzom0v)21(20ktmgv例题：光滑的水平桌面上，放一质量为例题：光滑的水平桌面上，放一质量为m0的木块，木块与轻的木块，木块与轻弹簧（弹簧（k已知）相连，弹簧的另一端固定在已知）相连，弹簧的另一端固定在o

18、点。一质量为点。一质量为m的子弹以初速度的子弹以初速度v0射向木块并嵌入其中，此时弹簧为原长射向木块并嵌入其中，此时弹簧为原长l0，求木块运动到求木块运动到b点（弹簧长度为点（弹簧长度为l）时的速度。）时的速度。o0vavb解：对子弹和木块，用动量守恒：ummmv)(00从a到b,角动量守恒、机械能守恒202020)(21)(21)(21llkvmmummsin)()(000lvmmulmm02020202)()(mmllkmmvmv)()(sin02020200mmllkvmllmvv例例质量为质量为m的小球的小球a，以速度，以速度 沿质量为沿质量为m的，的，半径为半径为r的地球表面水平切向向右飞出（如图）的地球表面水平切向向右飞出（如图）地轴地轴oo与与 平行，小球平行，小球a的轨道与轴的轨道与轴oo相相交于交于 3r的的c点，不考虑地球的自转与空气阻力，点，不考虑地球的自转与空气阻力，求小球求小球a在在c点的点的 与与 之间的夹角之间的夹角 。 0v0v0v已知：已知：,0vrmm求：求：解：以解：以m，m 为研究对象。为研究对象。 系统只受万有引力（保守力）故