第四节无穷大量与无穷小量05504

1、11/14/2021 11:49 am00lim( )()xxf xf x 微积分讲义微积分讲义设计制作设计制作王新心王新心11/14/2021 11:49 am2.4 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量（一）无穷大量（一）无穷大量（二）（二）无穷小量无穷小量（三）（三）无穷大量与无穷小量的关系无穷大量与无穷小量的关系（四）（四）无穷小量的阶无穷小量的阶11/14/2021 11:49 am（一）无穷大量（一）无穷大量引例引例讨论函数当时的11yx 1x oxy111 xy如图所示11yx 可以任意的大。称当时，是一个无穷大量。1x 11yx 在无限接近1的过程中，x第二章第二章 极限与连续

2、极限与连续变化趋势。11/14/2021 11:49 am【定义【定义2.8】若对任意给定的正数，e变量是无穷大量无穷大量，y例如例如11lim1xx 211lim(1)xx 0lim lnxx 2limxx 第二章第二章 极限与连续极限与连续y变量在其变化过程中，在那个时刻以后，总有那么一个时刻，ye 不等式恒成立， 则称lim y 记作y或称变量趋于无穷大无穷大。11/14/2021 11:49 am说明说明（1）无穷大量（）不是数）无穷大量（）不是数， 100100lim1010 （2）无穷大量与变化过程有关。）无穷大量与变化过程有关。11lim1xx 但21lim11xx 在时，变量是

3、无穷大量；1x 11yx 在时，变量不是无穷大量；2x 11yx 第二章第二章 极限与连续极限与连续10010不可与很大的数（如）混为一谈。11/14/2021 11:49 am（3）无穷大量一定无界）无穷大量一定无界；oxycosyxx 例如例如函数( )cosf xxx 如图所示取，则2xn (2)()fnn 取，而2xn ()0()2f nn 所以，时，x 函数无界。第二章第二章 极限与连续极限与连续成立。反之，不一定无穷大量。( )cosf xxx 函数不是11/14/2021 11:49 am（二）（二）无穷小量无穷小量 【定义【定义2.9】以0为极限的变量，例例1因为，1lim02

4、nn 变量为无穷小量。12nny 第二章第二章 极限与连续极限与连续小量小量。过程中，0 即对任意给定的，y 不等式恒成立，总有那么一个时刻， 在那个时刻以后，y若在变量的变化y则称变量为无穷小量。称为无穷无穷n 所以当时，11/14/2021 11:49 am例例2因为，1lim0 xx 变量为无穷小量。1nyx 例例3因为，20lim0 xx 变量为无穷小量。2nyx 说明说明（1）不要将无穷小量与很小的数）不要将无穷小量与很小的数第二章第二章 极限与连续极限与连续x 所以当时，0 x 所以当时，10010 （如）混为一谈（如）混为一谈，小量的常数。0是唯一一个是无穷11/14/2021

5、11:49 am（2）无穷小量与变化过程有关。）无穷小量与变化过程有关。例如例如当时是无穷小量；2nyx 0 x 当时就不是无穷小量。1x 因为211limlim10nxxyx第二章第二章 极限与连续极限与连续11/14/2021 11:49 am无穷小量与变量极限的关系无穷小量与变量极限的关系【定理【定理 2.5】lim ya ya 其中为同一变化过程中的无穷小量。 证明证明lim ya 0 总有那么一个时刻，恒成立。令ya lim0 , 即故是无穷小量， 证毕。第二章第二章 极限与连续极限与连续在那个时刻以后，ya 不等式ya 且11/14/2021 11:49 am【定理【定理 2.6】

6、有界变量与无穷小量的乘积有界变量与无穷小量的乘积证明证明即存在一个正数，m(1)ym (2)m 又设是无穷小量， 第二章第二章 极限与连续极限与连续是无穷小量是无穷小量。在这一时刻之后， 恒有么一个时刻，0 即， 总存在那在那个时刻以后，恒有y设在某个时刻之后是有界变量，11/14/2021 11:49 am在上述两个时刻中较晚的那个时刻以后，因此，在那个较晚的时刻以后，yy 成立，证毕。【推论推论】常量与无穷小量的乘积是无穷常量与无穷小量的乘积是无穷第二章第二章 极限与连续极限与连续（1）和（2）都成立。恒有y 所以是无穷小量。mm 小量。小量。11/14/2021 11:49 am例例4求

7、01limsinxxx解解因为，1sin1x 又0lim0 ,xx 所以当时，0 x 与无穷小量的乘积，01limsin0 xxx 则第二章第二章 极限与连续极限与连续1sinx所以是有界变量1sinxx是有界变量11/14/2021 11:49 am（三）（三）无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量的关系【定理【定理 2.7】在变量的变化过程中y（1）若是无穷大量，y（2）若是无穷小量，(0)y 证明证明（1）若是无穷大量，y总有那么一个时刻，1y 即1,y 因此是无穷小量。1y第二章第二章 极限与连续极限与连续0 , 则对在那个时刻之后，恒有1y则是无穷小量；1y则是无穷大量。11/1

8、4/2021 11:49 am同理可证（2），证毕。由此定理知，例例2limxx 21lim0 xx 20lim0 xx 201limxx 第二章第二章 极限与连续极限与连续以相互转化的。无穷大和无穷小的问题是可11/14/2021 11:49 am（四）（四）无穷小量的阶无穷小量的阶引例引例时，都是无穷小量，0 x 2,2 ,xx x但它们趋于0的速度却不相同。x10.50.10.010.00102x210.20.020.00202x1 0.25 0.01 0.0001 0.0000010列表比较从表中看出，第二章第二章 极限与连续极限与连续度都快得多。2xx2x比和趋于0的速11/14/2

9、021 11:49 am趋于0的速度快慢是相对的，若，lim0 量量，【定义【定义2.10】设是同一变化过程中的, 第二章第二章 极限与连续极限与连续两个无穷小量。 则称是比高阶的无穷小是比高阶的无穷小比较而言的，0的速度，是需要相互下面通过比较两个无穷小量趋于引入无穷小量阶的概念。( )o 记作。11/14/2021 11:49 amlim 若，同阶无穷小量中，等价无穷小量等价无穷小量，lim0,0kck 若，阶无穷小量阶无穷小量。k第二章第二章 极限与连续极限与连续若（为常数），lim0c c是同阶无穷小量同阶无穷小量。 则称与1c 若时， 称与是记作。 则称是比低阶的无穷小低阶的无穷小量

10、量。 则称是关于的11/14/2021 11:49 am引例中，200limlim0 xxxxx所以当时，0 x 记为。2( )xo x 因为02lim2xxx 所以当时，0 x 第二章第二章 极限与连续极限与连续2xx是比高阶的无穷小量。x2x而是比低阶的无穷小量。2xx与是同阶无穷小量。因为11/14/2021 11:49 am内容小结内容小结1.无穷大量与无穷小量的概念无穷大量与无穷小量的概念2.无穷大量与无穷小量的关系无穷大量与无穷小量的关系4.无穷小量的阶无穷小量的阶-互为倒数关系。互为倒数关系。作业作业p91 7-103.无穷小量与变量极限的关系无穷小量与变量极限的关系第二章第二章

11、 极限与连续极限与连续11/14/2021 11:49 am备用题备用题证证0m要使121122xyxxx m 只要1,2xm 取1,2m 当时0 x 有,ym 12xyx 即函数是无穷大量。1.根据定义证明：第二章第二章 极限与连续极限与连续时的无穷大量。0 x 12xyx 函数为当11/14/2021 11:49 am2.根据无穷大量的定义，填写下表0 xxx ( )f x ( )f x ( )f x 0,0mxxx 当时( )f xm 有0,0m 00 xx 当时当时( )f xm 有有0,0m 00 xx 当时当时( )f xm 有有00 xx 当时当时0,0m ( )f xm 有有0,0mxxx 当时当时( )f xm 有有0,0mxxx 当时当时( )f xm 有有第二章第二章 极限与连续极限与连续11/14/2021 11:49 am3.证明函数在区间上无界，11sinyxx (0,1证证0 ,m取1,22xn 当时22mn ,ym 所以函数无界。当时，12xn 0 ,y 而时，n 0 x 即在邻域内，0 x 函数不是无穷大量。第二章第