高中数学人教版选修11习题：第三章3.4生活中的优化问题举例 Word版含答案

1、高中数学选修精品教学资料第三章导数及其应用3.43.4生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例a a 级级基础巩固基础巩固一、选择题一、选择题1 1把长为把长为 1212 cmcm 的细铁丝截成两段的细铁丝截成两段, ,各自摆成一个正三角形各自摆成一个正三角形, ,那么这两个正三角形的面积那么这两个正三角形的面积之和的最小值是之和的最小值是( () )a.a.3 32 23 3 cmcm2 2b b4 4 cmcm2 2c c3 3 2 2 cmcm2 2d d2 2 3 3 cmcm2 2解析：设一个正三角形的边长为解析：设一个正三角形的边长为x xcmcm, ,则另一个正三角形的边长为则另

2、一个正三角形的边长为(4(4x x) )cmcm, ,则这两个正则这两个正三角形的面积之和为三角形的面积之和为s s3 34 4x x2 23 34 4(4(4x x) )2 23 32 2(x x2)2)2 2442 2 3 3( (cmcm2 2) )答案：答案：d d2 2某公司生产一种产品某公司生产一种产品, ,固定成本为固定成本为 2020 000000 元元, ,每生产一单位的产品每生产一单位的产品, ,成本增加成本增加 100100 元元, ,若总收若总收入入r r与年产与年产量量x x(0(0 x x390)390)的关系的关系是是r r( (x x) )x x3 390090

3、0400400 x x,0,0 x x390,390,则当总利润最大则当总利润最大时时, ,每年生产的产品单位数是每年生产的产品单位数是( () )a a150150b b200200c c250250d d300300解析：由题意可得总利润解析：由题意可得总利润p p( (x x) )x x3 3900900300300 x x2020 000000, ,0 0 x x390390, ,由由p p( (x x) )0 0, ,得得x x300.300.当当 0 0 x x30300 0 时时, ,p p( (x x) )0 0； 当当 300300 x x39390 0 时时, ,p p(

4、(x x) )0 0, ,所以所以当当x x30300 0 时时, ,p p( (x x) )最大最大答案：答案：d d3 3将将 8 8 分为两个非负数之和分为两个非负数之和, ,使其立方和最小使其立方和最小, ,则这两个数为则这两个数为( () )a a2 2 和和 6 6b b4 4 和和 4 4c c3 3 和和 5 5d d以上都不对以上都不对解析：设一个数为解析：设一个数为x x, ,则另一个数为则另一个数为 8 8x x, ,其立方和其立方和y yx x3 3(8(8x x) )3 38 83 3192192x x2424x x2 2且且0 0 x x8 8, ,y y4848x

5、 x192.192.令令y y0 0, ,即即 4848x x1921920 0, ,解得解得x x4.4.当当 0 0 x x4 4 时时, ,y y0 0；当；当 4 4x x8 8 时时, ,y y0 0, ,所以当所以当x x4 4 时时, ,y y取得极小值取得极小值, ,也是最小值也是最小值答案：答案：b b4 4做一个容积为做一个容积为 256256 m m3 3的方底无盖水箱的方底无盖水箱, ,所用材料最省时所用材料最省时, ,它的高为它的高为( () )a a6 6 m mb b8 8 m mc c4 4 m md d2 2 m m解析：设底面边长为解析：设底面边长为x xm

6、 m, ,高为高为h hm m则有则有x x2 2h h256256, ,所以所以h h256256x x2 2. .所用材料的面积设为所用材料的面积设为s sm m2 2, ,则有则有s s4 4x xh hx x2 24 4x x256256x x2 2x x2 22562564 4x xx x2 2. .s s2 2x x2562564 4x x2 2, ,令令s s0 0 得得x x8 8, ,因此因此h h25625664644(m)4(m)答案：答案：c c5 5设底面为正三角形的直棱柱的体积为设底面为正三角形的直棱柱的体积为v v, ,那么其表面积最小时那么其表面积最小时, ,底

7、面正三角形的底面正三角形的边长为边长为( () )a.a.3 3v vb.b.3 32 2v vc.c.3 34 4v vd d2 23 3v v解析：设底面正三角形的边长为解析：设底面正三角形的边长为x x, ,侧棱长为侧棱长为l l, ,则则v v1 12 2x x2 2sinsin 6060l l, ,所以所以l l4 4v v3 3x x2 2, ,所以所以s s表表x x2 2sinsin 60603 3x xl l3 32 2x x2 24 4 3 3v vx x. .令令s s表表 3 3x x4 4 3 3v vx x2 20 0, ,得得x x3 34 4v v, ,又当又当

8、x x(0(0, ,3 34 4v v) )时时, ,s s表表000, ,所以所以x x3 34 4v v时时, ,表面积表面积最小最小答案：答案：c c二、填空题二、填空题6 6某商品每件的成本为某商品每件的成本为 3030 元元, ,在某段时间内在某段时间内, ,若以每件若以每件x x元出售元出售, ,可卖出可卖出(200(200 x x) )件件, ,当当每件商品的定价为每件商品的定价为_元时元时, ,利润最大利润最大解析：由题意知解析：由题意知, ,利润利润s s( (x x) )( (x x30)(20030)(200 x x) )x x2 2230230 x x6 6 000(3

9、0000(30 x x200)200), ,所所以以s s( (x x) )2 2x x230230, ,令令s s( (x x) )0 0, ,解解得得x x115.115.当当3030 x x11115 5时时, ,s s( (x x) )0 0； 当当115115x x20200 0时时, ,s s( (x x) )0 0, ,所以当所以当x x115115 时时, ,利润利润s s( (x x) )取得极大值取得极大值, ,也是最大值也是最大值答案：答案：1151157 7已知某矩形广场面积为已知某矩形广场面积为 4 4 万平方米万平方米, ,则其周长至少为则其周长至少为_米米解析：设

10、广场的长为解析：设广场的长为x x米米, ,则宽为则宽为4040 000000 x x米米, ,于是其周长为于是其周长为y y2 2x x4040 000000 x x( (x x0)0), ,所所以以y y2 21 14040 000000 x x2 2, ,令令y y0 0, ,解得解得x x200(200(x x200200 舍去舍去) ), ,这时这时y y800.800.当当 0 0 x x200200 时时, ,y y0 0；当；当x x200200 时时, ,y y0.0.所以当所以当x x200200 时时, ,y y取得最小值取得最小值, ,故其周故其周长至少为长至少为 80

11、0800 米米答案：答案：8008008 8做一个无盖的圆柱形水桶做一个无盖的圆柱形水桶, ,若要使其体积是若要使其体积是 2727, ,且用料最且用料最省省, ,则圆柱的底面半径为则圆柱的底面半径为_解析：设圆柱的底面半径解析：设圆柱的底面半径r r, ,母线长为母线长为l l, ,则则v vr r2 2l l2727, ,所以所以l l2727r r2 2. .要使用料最省要使用料最省, ,只需使圆柱表面积最小只需使圆柱表面积最小s s表表r r2 22 2rlrlr r2 22 22727r r, ,令令s s表表2 2r r5454r r2 20 0, ,得得r r3 3, ,即当即当

12、r r3 3 时时, ,s s表表最小最小答案：答案：3 3三、解答题三、解答题9.9.某单位用木料制作如图所示的框架某单位用木料制作如图所示的框架, ,框架的下部是边长分别为框架的下部是边长分别为x x, ,y y( (单位：单位：m m) )的矩的矩形形, ,上上部是等腰直角三角形部是等腰直角三角形, ,要求框架围成的总面积要求框架围成的总面积为为 8 8 m m2 2, ,问问x x, ,y y分别为多少分别为多少( (精确精确到到 0.0010.001) )时用料时用料最少？最少？解：依题意解：依题意, ,有有xyxy1 12 2x x2 22 28 8, ,所以所以y y8 8x x

13、2 24 4x x8 8x xx x4 4(0(0 x x44 2 2) ), ,于是框架用料长度为于是框架用料长度为l l2 2x x2 2y y2 22 2x x2 23 32 2 2 2x x1616x x. .l l3 32 2 2 21616x x2 2. .令令l l0 0, ,即即3 32 2 2 21616x x2 20 0, ,解得解得x x1 18 84 4 2 2, ,x x2 24 4 2 28(8(舍去舍去) )当当 00 x x884 42 2时时, ,l l00；当当 8 84 4 2 2 x x400, ,所以所以, ,当当x x8 84 42 2时时, ,l

14、l取得最小值取得最小值此时此时, ,x x8 84 4 2 22.3432.343, ,y y2.828.2.828.即当即当x x约为约为 2.3432.343, ,y y约为约为 2.8282.828 时时, ,用料最省用料最省1010 现有一批货物由海上从现有一批货物由海上从a a地运往地运往b b地地, ,已知轮船的最大航行速度为已知轮船的最大航行速度为 3535 海里海里/ /时时, ,a a地地到到b b地之间的航行距地之间的航行距离约为离约为 500500 海里海里, ,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成, ,轮船每小时轮船每小时的燃料费

15、与轮船速度的平方成正比的燃料费与轮船速度的平方成正比( (比例系数为比例系数为 0.6)0.6), ,其余费用为每小时其余费用为每小时 960960 元元(1)(1)把全程运输成本把全程运输成本y y( (元元) )表示为速度表示为速度x x( (海里海里/ /时时) )的函数；的函数；(2)(2)为了使全程运输成本最小为了使全程运输成本最小, ,轮船应以多大速度航行？轮船应以多大速度航行？解：解：(1)(1)依题意得依题意得y y500500 x x(960(9600.60.6x x2 2) )480480 000000 x x300300 x x, ,且由题意知函数的定义域为且由题意知函数

16、的定义域为(0(0, ,3535 , ,即即y y480480 000000 x x300300 x x(0(0 x x35)35)(2)(2)由由(1)(1)得得y y480480 000000 x x2 2300300, ,令令y y0 0, ,解得解得x x4040 或或x x40(40(舍去舍去) ) 因为函数的因为函数的定义域为定义域为(0(0, ,3535 , ,所以函数在定义域内没有极值点又当所以函数在定义域内没有极值点又当 0 0 x x3535 时时, ,y y0 0, ,所以函数所以函数y y480480 000000 x x300300 x x在在(0(0, ,3535

17、上单调递减上单调递减, ,故当故当x x3535 时时, ,函数函数y y480480 000000 x x300300 x x取得最小值故取得最小值故为了使全程运输成本最小为了使全程运输成本最小, ,轮船应以轮船应以 3535 海里海里/ /时的速度航行时的速度航行b b 级级能力提升能力提升1 1某公司的盈利某公司的盈利y y( (元元) )和时间和时间x x( (天天) )的函数关系是的函数关系是y yf f( (x x) ), ,且且f f(100)(100)1 1, ,这个数据这个数据说明在第说明在第 100100 天时天时( () )a a公司已经亏损公司已经亏损b b公司的盈利在

18、增加公司的盈利在增加c c公司的盈利在逐渐减少公司的盈利在逐渐减少d d公司有时盈利有时亏损公司有时盈利有时亏损解析：因为解析：因为f f(100)(100)1 1, ,所以函数图象在所以函数图象在x x100100 处的切线的斜率为负值处的切线的斜率为负值, ,说明公司的说明公司的盈利在逐渐减少盈利在逐渐减少答案：答案：c c2 2某公司租地建仓库某公司租地建仓库, ,每月土地占用费每月土地占用费y y1 1( (万元万元) )与仓库到车站的距离成反比与仓库到车站的距离成反比, ,而每月库存而每月库存货物的运费货物的运费y y2 2( (万元万元) )与仓库到车站的距离成正比如果在距离车站与

19、仓库到车站的距离成正比如果在距离车站 1010 千米处建仓库千米处建仓库, ,y y1 1和和y y2 2分别为分别为 2 2 万元和万元和 8 8 万元万元, ,那么要使这两项费用之和最小那么要使这两项费用之和最小, ,仓库应建在离车站仓库应建在离车站_千米处千米处解析：依题意可设每月土地占用费解析：依题意可设每月土地占用费y y1 1k k1 1x x, ,每月库存货物的运费每月库存货物的运费y y2 2k k2 2x x, ,其中其中x x是仓库到是仓库到车站的距离车站的距离, ,k k1 1, ,k k2 2是比例系数是比例系数于是由于是由 2 2k k1 11010, ,得得k k1

20、 12020；由；由 8 81010k k2 2, ,得得k k2 24 45 5. .因此因此, ,两项费用之和为两项费用之和为y y2020 x x4 4x x5 5( (x x0)0), ,y y2020 x x2 24 45 5, ,令令y y0 0, ,得得x x5 5 或或x x5(5(舍去舍去) )当当 0 0 x x5 5 时时, ,y y0 0；当；当x x5 5 时时, ,y y0.0.因此因此, ,当当x x5 5 时时, ,y y取得极小值取得极小值, ,也是最小值故当仓库建在离车站也是最小值故当仓库建在离车站 5 5 千米处时千米处时, ,两项费用两项费用之和最小之和最小答案：答案：5 53 3某公司生产某种产品的固定成本为某公司生产某种产品的固定成本为 2020 000000 元元, ,每生产每生产 1 1 吨该产品需增加投入吨该产品需增加投入 100100 元元, ,已知总收益满足函数已知总收益满足函数r r( (x x) )400400 x x1 12 2x x2 2（0 0 x x400400） ，8080 000000（x x400400） ，其中其中x x是该产品的月产量是该产品的月产量( (单位：吨单位：吨) )(1)(1)将利润表示为月产量的函数将利润表示为月产量的函数f f( (x