重积分——重积分的概念与性质

1、18.1 重积分的概念与性质重积分的概念与性质 28.1.1 重积分的定义重积分的定义 回顾在第五章中用定积分计算物体的质量回顾在第五章中用定积分计算物体的质量问题，假定物体的密度是连续变化的问题，假定物体的密度是连续变化的。 首先考虑一根长度为首先考虑一根长度为l 的细直杆的质量。的细直杆的质量。 不妨假定它在轴上占据区间不妨假定它在轴上占据区间0，l，设其线设其线密度为密度为( ) x010( )lim( )(1) lniimx dxxi i11,max iiiii nxxxx其其中中3 如果我们所考虑的物体是一平面薄板，不如果我们所考虑的物体是一平面薄板，不妨假定它占有妨假定它占有xoy

2、坐标面上的区域坐标面上的区域d，并设其，并设其面密度函数为面密度函数为 = (x,y)常数。常数。这里这里 (x,y)0 0且在且在d上连续。上连续。yxo ),(ii i 01lim( ,)(2)niiim i iiin 其其中中也也表表示示小小闭闭区区域域的的面面积积, , 是是 个个小小闭闭区区域域直直径径中中的的最最大大值值。4 如果我们考虑的物体占据三维空间如果我们考虑的物体占据三维空间o-xyz的闭区的闭区域域，其体密度函数为，其体密度函数为 = (x,y,z)常数常数,则其质量则其质量可表示为可表示为01lim( ,)(3)niiiimv i iiivvn 其其中中也也表表示示分

3、分割割区区域域 所所得得各各个个小小闭闭区区域域的的体体积积, , 是是 个个小小闭闭区区域域直直径径中中的的最最大大值值。5定义定义8. 1. 1设设f(x,y)是有界闭区域是有界闭区域d上的有界函上的有界函数，将区域数，将区域d任意分割成任意分割成 n 个小区域个小区域12,nii 其其中中表表示示第第个个小小闭闭区区域域, ,也也表表示示它它的的面面积积。1,)(1,2, ),( ,)(1,2, ),( ,)iiniiiiiinfinf i iiiii任任取取点点( (作作积积并并求求和和。 如果当各小区域直径的最大值如果当各小区域直径的最大值 趋于零时，上趋于零时，上述和式的极限存在，

4、则称此极限为函数述和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在在闭区域闭区域d上的二重积分，记作上的二重积分，记作01( , )lim( ,)niiidf x y df i i( , ),df x y d 即即6 niiiidfdyxf10),(lim),( 由二重积分的定义可知，平面薄板的质量由二重积分的定义可知，平面薄板的质量是面密度函数在薄板所占闭区域上的二重积分是面密度函数在薄板所占闭区域上的二重积分01( , )lim( ,)niiidmx y d i i7定义定义8. 1. 2 设设 是是rn中一个可求体积（中一个可求体积（n=2时为时为面积）的有界闭区域，面积）的有界闭区域，f

5、(x)是在是在 上有定义的有上有定义的有界函数，将界函数，将 分割为彼此没有公共内点的任意分割为彼此没有公共内点的任意闭子域闭子域123,niiiiv 用用 表表示示各各中中直直径径的的最最大大值值,(,(或或) )表表示示的的体体积积( (或或面面积积) )。=1=1(1,2, ),()(1,2, ),()()iiinniiiiiixinf xvinf xvf x i i任任取取点点作作积积并并作作和和( (或或8 如果当如果当 0时，上述和式的极限存在，并且时，上述和式的极限存在，并且该极限与该极限与 的分割方式及的分割方式及xi的取法无关，我们称的取法无关，我们称该极限值为函数该极限值为

6、函数f(x)在在 上的上的n(重重)积分，记为积分，记为()f x dx 其中其中f(x)称为被积函数，称为被积函数， 称为积分区域，称为积分区域，也称函数也称函数f(x)在在 上可积。上可积。特别地，当特别地，当n=2时函数时函数 f(x)= f(x,y) (x,y) d，()( , )df x dxf x y d 即为函数即为函数f(x,y) 在在d 上的二重积分，上的二重积分，d 称为称为面积元素面积元素。9 当当n=3时函数时函数 f(x)= f(x,y,z) (x,y,z) ，()( , , )f x dxf x y z dv 即为函数即为函数f(x,y,z) 在在 上的三重积分，上

7、的三重积分，dv称称为体积元素为体积元素。 有了上述定义，空间立体的质量也可以通有了上述定义，空间立体的质量也可以通过密度函数的三重积分来表示，即过密度函数的三重积分来表示，即01( , , )lim( ,)niiiimx y z dvv i i可以证明可以证明定理定理8.1.1 (1)（充分条件）若（充分条件）若f(x)在在 上连续，则它在上连续，则它在 上可积；上可积；(2)（必要条件）若必要条件）若f(x)在在 上上可积，则它在可积，则它在 上有界。上有界。108.1.2 重积分的性质重积分的性质 我们仅给出二重积分的性质，三重积分我们仅给出二重积分的性质，三重积分的性质完全类似。的性质

8、完全类似。 假设性质中涉及的函数在相应区域上均可假设性质中涉及的函数在相应区域上均可积，积，d、d1、d2都是平面上的有界闭区域。都是平面上的有界闭区域。(1)1dddd(2) (关于被积函数的线性可加性）若关于被积函数的线性可加性）若 、 为常为常数，则数，则( , )( , )( , )( , )dddf x yg x y df x y dg x y d 表示表示d的面积的面积11(3)（关于积分区域的可加性）（关于积分区域的可加性）1212,ddddd 若若且且与与无公共内点，则无公共内点，则12( , )( , )( , )dddf x y df x y df x y d(4)（积分不

9、等式）如果在（积分不等式）如果在d上有上有f(x,y) g(x,y) ,则则( , )( , )ddf x y dg x y d 特别地，有特别地，有( , )( , )ddf x y df x y d 12(5)（估值定理）设（估值定理）设m、m分别是分别是f(x,y)在有界闭在有界闭区域区域d上的最大值和最小值，上的最大值和最小值， 表示表示d的面积，的面积，则则( , )dmf x y dm (6)（中值定理）设函数（中值定理）设函数f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域d上连续，上连续， 表示表示d的面积，则至少存在一点的面积，则至少存在一点( , )，使，使( , )( , )df x

10、 y df 下面仅给出结论下面仅给出结论(5)、(6)的证明。的证明。1322112,ln()1xyxyd 不不用用计计算算 判判断断二二重重积积分分例例的的符符号号。2121:d先先作作出出积积分分区区域域解解xyo1:1,2dxy在在积积分分区区域域上上22,1,xy除除四四个个顶顶点点外外 全全部部落落在在圆圆周周之之内内112xy因因而而在在区区域域上上有有22ln()0 xy 。:于于是是有有22112ln()0 xyxyd 。1423)2()ddxydxyd比比较较与与例例的的大大小小。(1) d1：x轴、轴、y轴及轴及x+y=1所围；所围；(2) d2：(x 2)2+(y 1)2

11、 2解解 (1)因为在区域因为在区域d1上上 1123)()(dddyxdyx。 0 x+y 1， (x+y)3 (x+y)2根据性质根据性质5，得，得xyo1115 2232)()(dddyxdyx。 2(2)(2,1),2d因因为为区区域域是是以以为为圆圆心心 以以为为半半径径的的圆圆域域1 2xyo 从图形易知在从图形易知在d上除上除切点外，处处有切点外，处处有x+y 1 (x+y)2 (x+y)3所以有所以有(x2)2+(y1)2 2该圆域与直线该圆域与直线x+y=1相切。相切。16例例3 利用二重积分的性质，估计积分的值。利用二重积分的性质，估计积分的值。1:,)14(2222 yx

12、ddyxd 解解,cos ,sin (02 ),dxy 在在 的的边边界界上上12222 14),( yxyxyxf因为因为 fx=2x，fy=8y，所以有驻点所以有驻点(0,0) 。先求先求f (x,y)=x2+4y2+1在在d上上的最大值、最小值。的最大值、最小值。 2sin32 1sin4cos22 )( xyof(0,0)=1。17 显然，在边界上显然，在边界上f(x,y)的最小的最小值为值为2，最大值，最大值5。 ddyx 5)14(22 于是于是f (x,y)在在d上的最小值为上的最小值为1，最大值为最大值为5，积分区域的面积为，积分区域的面积为 。所以有所以有xyo2( , )2

13、3sinf x y )( 188.2 二重积分的计算法二重积分的计算法 利用二重积分的定义直接计算二重积分利用二重积分的定义直接计算二重积分一般很困难，计算二重积分的基本途径是将一般很困难，计算二重积分的基本途径是将二重积分转化为累次积分，然后通过计算两二重积分转化为累次积分，然后通过计算两次定积分来计算二重积分次定积分来计算二重积分。198.2.1 利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分 设设f(x,y)是定义在平是定义在平面区域面区域d上的非负连续上的非负连续函数，以函数，以d为底面，以为底面，以曲面曲面f(x,y)为顶面，以为顶面，以d的边界曲线为准线而母的边界曲线为准线而母线

14、平行于线平行于z 轴的柱面为轴的柱面为侧面所围成的立体称为侧面所围成的立体称为曲顶柱体曲顶柱体。如何求该曲顶柱体的体积呢？如何求该曲顶柱体的体积呢？xzyod),(yxfz 1、曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积- 二二重积分的重积分的几何意义几何意义20 xzyo),(yxfz d (1)分割分割 用一组曲线网将用一组曲线网将d分成分成n个小闭区域个小闭区域 1, 2 , , n ，分别以这些小区域的边界为准分别以这些小区域的边界为准线作母线平行于线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将原来的曲轴的柱面，这些柱面将原来的曲顶柱体分割成顶柱体分割成n个细曲顶柱体。个细曲顶柱体。21xzyod),(yxf

15、z (2) 近似近似 当这些小区域的直径当这些小区域的直径di很小时，由于很小时，由于f(x,y)连续，对于同一个小区域上的不同点，连续，对于同一个小区域上的不同点，f(x,y)的变化很小，细曲顶柱体可近似地看作平的变化很小，细曲顶柱体可近似地看作平顶柱体顶柱体i ),(ii iiiifv ),( 22(3) 作作和和式式(4) 取取极极限限 nniiiidddfv,max(,),(lim2110 niiiifv1),( xzyo),(yxfz d曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积 ddyxfv ),(由二重积分定义立即得到由二重积分定义立即得到这也是二重积分的几何意义。这也是二重积分的几何意义。2

16、31例例解解222drxy d 3222,23,drrxy ddr 利利用用二二重重积积分分的的几几何何意意义义 说说明明等等式式。其其中中 是是以以原原点点为为中中心心 半半径径为为 的的圆圆域域。222drxy d 积积分分等等于于222,xoyrrzrxy在在面面上上以以原原点点为为中中心心 半半径径为为 的的圆圆域域为为底底以以 为为半半径径的的上上半半球球面面为为曲曲顶顶的的半半球球体体的的体体积积 即即31 423r 。323r 242.区域的不等式组表示区域的不等式组表示(举例举例)例例 下列不等式组各表示什么区域下列不等式组各表示什么区域220(1)10yxyx 221(1)1

17、122xyxx 1(2)01xyx22220(3)1zxyxy22221(4)1xyzxy01(2)01yx25例例 下列图形怎么用不等式（组）表示下列图形怎么用不等式（组）表示263、二重积分的计算法二重积分的计算法用用几何观点几何观点讨论。讨论。应用应用 “ “定积分定积分”中求中求“平行截面面平行截面面积为已知的立体的体积积为已知的立体的体积”的方法计算这个曲顶柱体的的方法计算这个曲顶柱体的体积。体积。 bxaxyxd ),()(:21 (1)设设f (x,y) 0，f(x,y)在在d上连续。上连续。x型型o a b xyd)(2xy )(1xy o a b xy)(2xy )(1xy

18、d27)(0 xa)(2xy o a x0 b xyz),(yxfz )(1xy 在区间在区间a,b上任取一点上任取一点x0，作平行于作平行于yoz面面的平面的平面x = x0。 )()(000201),()(xxdyyxfxa 这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 1(x0), 2(x0)为底、曲线为底、曲线z =f (x0,y)为曲边的曲边为曲边的曲边梯形，其截面面积为：梯形，其截面面积为： 先计算截面面积。先计算截面面积。28 一般地，过区间一般地，过区间a,b上任上任一点一点x且平行于且平行于yoz面的平面面的平面截曲顶柱体所得截面面积为：截曲顶柱体

19、所得截面面积为：。 )()(21),()(xxdyyxfxa 于是于是，应用计算平行截面面积为已知的应用计算平行截面面积为已知的立方体体积的方法立方体体积的方法，得曲顶柱体体积为得曲顶柱体体积为 badxxav)( 这个体积也就是所求二重积分的值这个体积也就是所求二重积分的值，从而从而有等式有等式)1(),(),()()(21 baxxddxdyyxfdyxf baxxdxdyyxf),()()(21 )(2xy o a x b xyz( )a x),(yxfz )(1xy 29 上式右端的积分叫做先对上式右端的积分叫做先对y、后对后对x的二次积分。的二次积分。 baxxdyyxfdx)()(

20、21),( 。即即)1(),(),()()(21 baxxddyyxfdxdyxf 就是说，先把就是说，先把x看作常数，把看作常数，把f(x,y)只看作只看作y的函的函数，并对数，并对y计算从计算从 1(x)到到 2(x)的定积分；的定积分； 再把计算所得的结果（是再把计算所得的结果（是x的函数）对的函数）对x计算在区计算在区间间a,b上的定积分。上的定积分。这个先对这个先对y、后对后对x的二次积分也常记作的二次积分也常记作30(2)d如如果果积积分分区区域域 可可以以用用不不等等式式y型型dycyxy ),()(21 来来表表示示dyoxdc)(1yx yoxdc)(1yx )(2yx )(

21、2yx d31 计算时先把计算时先把y看作常数，因此看作常数，因此f(x,y)是是x的的一元函数，一元函数， 在区间在区间 1(y) x 2(y)上对上对x积分积分,得到一得到一个关于个关于y的函数的函数, 再在区间再在区间c y d上对上对y积分积分,。 这就是把二重积分化为先对这就是把二重积分化为先对x 、后对、后对 y的二次积分的公式。的二次积分的公式。 ddyxf ),(21( )( )( , )(2)dycydyf x y dx dcyydydxyxf)()(21),( 3221( )( )( , )( , )(1)bxaxdf x y ddxf x y dy 应用公式应用公式(1)

22、 时，积分区域必须是时，积分区域必须是x型区域。型区域。21( )( )( , )( , )(2)dycydf x y ddyf x y dx 应用公式应用公式(2) 时，积分区域必须是时，积分区域必须是y型区域。型区域。 x型区域型区域d的特点是：穿过的特点是：穿过d内部且平行于内部且平行于y轴轴的直线与的直线与d的边界相交不多于两点。的边界相交不多于两点。 y型区域型区域d的特点是：穿过的特点是：穿过d内部且平行于内部且平行于x轴的直线与轴的直线与d的边界相交不多于两点。的边界相交不多于两点。33 若积分区域若积分区域d既不是既不是x型区型区域也不是域也不是y型区域，型区域，d，此时要，此

23、时要将积分区域将积分区域d分成分成几部分几部分，使，使得每一部分是得每一部分是x型区域或型区域或y型区型区域，再利用积分关于区域的可域，再利用积分关于区域的可加性可得整个区域上的积分。加性可得整个区域上的积分。yox 若积分区域若积分区域d既是既是x型区域也是型区域也是y型区域，则。型区域，则。2211( )( )( )( )( , )( , )bxdyaxcydxf x y dydyf x y dx 这表明二次积分可以交换积分次序。这表明二次积分可以交换积分次序。123( , )( , )( , )( , )ddddf x y df x y df x y df x y d 344 二重积分计算的一般方法二重积分计算的一般方法 要依被积函数及积分区域两方面的情况选要依被积函数及积分区域两方面的情况选定积分顺序。定积分顺序。化为两次单积分化为两次单积分 (1) 作图，确定作图，确定d的类型。的类型。 (2) 选定积分顺序。选定积分顺序。 (3) 定出积分上下限。定出积分上下限。 (4) 计算定积分。计算定积分。 确定积分顺序之后，积分的上下限是依确定积分顺