正多边形的有关计算

1、正多边形的有关计算【基础知识精讲】一、定理: 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.二、正多边形有关计算(1)正n边形角的计算公式：每个内角等于(n为大于或等于3的整数)；每个外角每个中心角.(2)正n边形的其他有关计算，由于正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素之间的关系，所以，可以把正n边形的计算转化为解直角三角形的问题，这个直角三角形的斜边为外接圆半径R，一条直角边是边心距rn，另一条直角边是边长an的一半(即)；两个锐角分别为中心角的一半(即)和一个内角的一半(即)或(即90°-).【

2、重点难点解析】重点是把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形问题.难点是通过作正n边形的半径和边心距把正多边形的问题转化为解直角三角形的问题.例1.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.解：设此正多边形的边数为n，则各内角为，外角为，依题意得：-100°. 解得n9答：这个正多边形的边数为9.例2.如图7-42，已知：正三角形ABC外接圆的半径为R，求它的边长，边心距、周长和面积.解：连结OB，过O作OMBC于MBOM60°，OBM30°OMOBR，3BMRa3BC2BMRP33a33RS33SBOC3×R·

3、R2例3.一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求它们边长的比.解：如图7-43，设O，O分别是正三角形ABC，正六边形EFGHIJ的中心，分别作ODBC于D，作OKGH于K，连OB，OG，则在RtODB中，BOD60°，BDa3，r3ODBD·ctg60°a3，S36SODB6×BD·OD 6××a3×a3a32.在RtOKG中，GOK30°，GKa6r6OKGK·ctg30°a6S612SOGK12××GK×OK 12××a32&#

4、215;a6a62S3S6，a23a26，即a3a2例4.求证：正n边形的面积Sn等于其周长Pn与边心距rn的积的一半.证明：如图7-44，设O是正n边形ABC的内切圆，其中AB与O相切于D，连OA，OD，OB，知ODAB且ODrn，SOAB·AB·OD··rn.正n边形有n个如同OAB的等腰三角形，SnnSOABn···rnPnrn.【难题巧解点拨】例1.已知：如图7-45，O半径为R，求O内接正八边形的边长a8，边心距r8和中心角.解：连结OA、OB，并作OKAB于点K，中心角AOB45°在RtAOK中，AKO

5、90°，OAR，AOK22.5°故AKOA×sinAOKR·sin22.5°，AK0.3827Ra8AB2AK0.7654R r8OKOA·cosAOKR·cos22.5°0.9239R说明(1)正多边形的半径、边心距和边长的一半组成的一个直角三角形，有关正多边形的计算常常归结为解这个直角三角形.(2)若正n边形的半径为R，则它的中心角，边长an2R·sin，边心距raR·cos.例2.已知如图7-46，等边ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积.解：设BC切O于M，连OM，OB

6、，则OMBC，在RtOMB中，BOM60°BMBCaOMBM·ctgBOMa·ctg60°a连结OE，作ONEF于N，则OEOMa在RtONE中，EON45°，OEaENOE·sinEONa·aEF2ENaS正方形DEFGEF2(a)2说明解这类问题是正确画出图形，构造直角三角形，在本题中，由于正三角形内切圆O的半径既是正三角形的边心距，又是正方形的半径，所以求出O的半径是个突破口.【课本难题解答】例.已知：半径为R的圆内接正n边形的边长为an，求证：同圆内接正2n边形的面积等于nRan，利用这个结果，求半径为R的圆内接正八

7、边形的面积(用代数式表示).提示：如图7-47，连结OA，OB，OAAB，则OAAB，四边形OAAB的面积等于AB·OARan半径为R的圆内接正2n边形的面积等于nRan半径为R的正八边形的面积等于4Ra42R2【命题趋势分析】正多边形的有关计算是正多边形和圆的一个重点命题内容，主要在各类考试中的填空和选择题中.【典型热点考题】例1.已知正六边形的半径为3cm，则这个正六边形的周长为cm.(2000年江苏南通)分析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用P66an求出周长.例2.已知正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为( ).A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正

8、十二边形 (2000年浙江台州)分析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选(B).例3.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )A. B. C. D.(2000年北京石景山)分析：分别求出正三角形、正方形的边长，知应选(A).【同步达纲练习】一、填空题1.正n边形的半径和边心距把正n边形分成个全等的直角三角形.2.正三角形的半径为R，则边长为，边心距为，面积为.若正三角形边长为a，则半径为.3.正n边形的一个外角为30°，则它的边数为，它的内角和为.4.如果一正n边形的一个外角等于一个内角的三分之二，则这个正n边形的边数n .5.正六边形的边长为1，则它的半径为，面积为

9、.6.同圆的内接正三边形、正四边形、正六边形的边长之比为.7.正三角形的高半径边心距为.8.边长为1的正六边形的内切圆的面积是.二、选择题1.正方形的外接圆半径与内切圆的半径之比是( )A.1 B.21 C.1 D.122.两圆半径之比为23，小圆的外切正六边形与大圆的内接正六边形面积之比为( )A.23 B.49 C.1627 D.433.正三角形的外接圆半径是4cm，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形外接圆半径长为( )A.8cm B.4cm C.2cm D. cm三、计算题1.已知一个正n边形的外接圆半径和内切圆半径分别为20cm，10cm，求：这个多边形的边长和面积.2.已知O的半径为R，求它的内接正三角形的内切圆的内接正方形的周长.【素质优化训练】1.如图7-48所示，已知三个等圆A、B、C两两外切，E点为A、C的切点，EDBC于D，圆的半径为1，求DE的长.2. 证明：如果延长正六边形的各边，使其两两相交，顺次连结各交点，则得一个新的正六边形，而它的面 积等于原正六边形面积的三倍.【知识探究学习】如图7-49，ABCD为正方形，E、F分别在BC、CD上，且AEF为正三角形，四边形ABCD为AEF的内接正方形，AEF为正方形ABCD的内接正三角形。(1)试猜想与的大小关系，并证明