关于^新^全新^…n^的多种推导证明方法

1、关于前n个自然数的平方和公式的证明方法湘西州花垣县边城高级中学-张秀洲在数列教学过程中，大家都能熟练掌握前n个自然数的平方和公式：Sn 12 22 32 42 "I n2 1n(n 1)(2n 1),但多数学生不知道如何去证明与推 导，为了能让学生了解书本知识，并能有所拓展，特总结如下几种证明方法， 一方面解决学生的疑惑，另一方面能使学生举一反三，有所创新。在和学生探讨证明方法时，许多学生想到了用数学归纳法。方法一：数学归纳法当n 1时，左边二12 1,右边二1 1 (1 1) (211)1 左边=右边 6 n 1时，原式成立.当n 2时，左边二12+22 5 ,右边二1 2 (2

2、1) (221)5 左边二右边6n 2时,原式成立.假设 n k时，12 22 32 HI k2 1k(k 1)(2k 1)成立，则n k 1时,左边二右边 n k 1时，原式成立.对任意 n N , Sn 12 22 32 42 | n2 ：n(n 1)(2n 1)都成立。数学归纳法步骤简单、计算方便。但是，归纳法只适用于知道了这个公式“长什么样”后进行理论证明.当初第一个推导出这个公式的人，肯定不是用归 纳法，而是通过等式左边的12 22 32 42 HI n2 , 一步步把右边的 1n(n 1)(2n 1) “从无到有”地推算出来的.6方法二：观察规律法记 S(n) 1 2 3 4 5

3、n n§(n) 12 22 32 42 52 n2n12345n136101515143055发现规律n12345n方法三：代数推导法 由公式(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ,得3332231(0 1)030130111333223322j(1 1)13 113 11113 13 1 1333223323j(2 1)23 21 3 2 1123 23 2 1、rj33223324(3 1)3 3313311333331将III33322332n (n 1 1) (n 1)3 (n 1)1 3 (n 1) 11 (n 1)3 (n 1)3 (n 1) 1(n 1)3 n3

4、 3n2 3n 1以上n+1个等式累加，得：方法四：巧用“1”法方法五：构造法(利用组合公式cnm Cm1 C1)把上述n个等式累加得：方法六：平面几何法图中有n个正方形(边长每次加1)(我只画出5个)，都置于图中最大的矩形中。矩形的宽即n,矩形白长：1 2 3 III n 艺产 史丁矩形面积:232n n n nn 22左下部空余部分（矩形与全部正方形的差）可以分为n-1条。每条宽度均为1。从上向下数第i条长度=1+2+3+ +i=i(L2 L_22一 一i2 i则第i条面积也为.一。 2所有n-1条的总面积：为便于书写，记12 +22+ 32+-Tn2=t2显然，大矩形面积=全部正方形面积

5、+空余部分面积，则即：12 22 32 42n2 n(n 1)(2n 1)6方法七：三角阵法2 2r33中3 444WrHJHAf* * * * " * *+,此三角阵中各项和为：12 22 32 42 HI n2再逆时针旋转60° ：1 2 3 g二码 此三角阵中各项和为：12 22 32 42 HI n2 再逆时针旋转60 ：tt * * - 43w - - 43 却"二二T 321此三角阵中各项和为：12 22 32 42 HI n2将这3个三角阵相加： 2n 12n 1 这个三角阵有nn项，则这三个三角阵的和为：n(n 1)(2n 1).22又因为前三个三角阵中各项的和相等， 则每个三角阵中各项和为:n(n 1)(2 n 1)即 12 22 32