第二章函数22函数的单调性与最值

1、n重点难点n重点：函数单调性的定义n函数的最大(小)值n难点：函数单调性的证明n求复合函数单调区间n知识归纳n一、单调性定义n1单调性定义：设函数f(x)的定义域为i，区间di，若对于任意的x1，x2d，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间d上的增函数对于任意的x1，x2d，当x1f(x2)，则f(x)为区间d上的减函数n2证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明n(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是：n任取x1、x2d，且x10，则f(x)在区间d内为增函数；如果f (x)0，则f(x)在区间d内为减函数n二、单调性的有关结论n1若f(x)，g(x)均为增(减

2、)函数，则f(x)g(x)仍为增(减)函数n3互为反函数的两个函数有相同的单调性n4yfg(x)是定义在m上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数fg(x)为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数fg(x)为减函数n5奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反n三、函数单调性的应用有：n(1)比较函数值或自变量值的大小n(2)求某些函数的值域或最值n(3)解证不等式n(4)作函数图象n四、函数的最大(小)值：n1定义：一般地，设函数yf(x)定义域为，如果存在实数m满足：n(1)对任意x，都有f(x)m(或f(x)

3、m)；n(2)存在x0使得f(x0)m.n称m是函数yf(x)的最大(或最小)值n2求法：n(1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元法，(5)数形结合法，(6)单调性法，(7)导数法n误区警示n1对于函数单调性定义的理解，要注意以下三点n(1)函数的单调性是对某一个区间而言的f(x)在区间a与b上都是增(或减)函数，在ab上不一定单调n(2)单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x1，x2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替n(3)由于定义都是充要性命题，因此若f(x)是增(或减)函数，则f(x1)f(x2)x1x2)n2在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域

4、n一、利用复合函数的单调性解题n对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，那么函数yfg(x)在区间(a，b)上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域.tg(x)yf(t)yfg(x)增增增增减减减增减减减增n证明：函数f(x)在(1，)上为增函数n分析：证明函数的单调性可以用定义证明，也可以用导数证明本例证明f(x)在(1，)上单调递增，用导数证，只须证明f (x)0在(1，)上恒成立，用定义证，由于f(x)有两个不同类型的项，作差后可分别处理讨论符号n证明：方法

5、1：任取x1、x2(1，)，n不妨设x10，ax2x11且ax10，nax2ax1ax1(ax2x11)0，n又x110，x210，答案：c答案：(1,1)nabac bcbancbca dab0，则f(x)的定义域是_；n(2)若f(x)在区间(0,1上是减函数，则实数a的取值范围是_n(2)首先0a1时，a10,3ax为减函数，nf(x)在其定义域上为增函数，n其次a0时，a10,3ax为增函数，nf(x)在其定义域上为减函数，n(1)判断并证明f(x)在r上的单调性；n(2)求f(x)在3,3上的最值n解析：(1)f(x)在r上是单调递减函数n证明如下：n令xy0，f(0)0，令yx可得

6、：nf(x)f(x)，n在r上任取x1、x2且x10，nf(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)n又x0时，f(x)0，nf(x2x1)0，即f(x2)0时，f(x)1，且对任意的a，br，有f(ab)f(a)f(b)n(1)证明：f(0)1；n(2)证明：对任意的xr，恒有f(x)0；n(3)证明：f(x)是r上的增函数；n(4)若f(x)f(2xx2)1，求x的取值范围n解析：(1)证明：令ab0，则f(0)f 2(0)又nf(0)0，f(0)1.n(2)证明：当x0时，x0，nf(0)f(x)f(x)1.nxr时，恒有f(x)0.n(3)证明：设x1x2，则x2x10.nf

7、(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)nx2x10，f(x2x1)1n又f(x1)0，f(x2x1)f(x1)f(x1)nf(x2)f(x1)，f(x)是r上的增函数n(4)由f(x)f(2xx2)1，f(0)1得f(3xx2)f(0)又f(x)是r上的增函数，n3xx20，0 x3.n(2)赋值法是解决抽象函数问题的有效方法，由所给函数关系式在某个范围内恒成立，结合条件和待求问题，恰当赋值是关键一步n(09陕西)定义在r上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2(，0(x1x2)，有(x2x1)(f(x2)f(x1)0，则当nn*时，有()naf(n)f(n1)f(n1)nbf(

8、n1)f(n)f(n1)ncf(n1)f(n)f(n1)ndf(n1)f(n1)0得f(x)在(，0上为增函数n又f(x)为偶函数，所以f(x)在0，)上为减函数n又f(n)f(n)且0n1nn1，nf(n1)f(n)f(n1)，n即f(n1)f(n)1时，f(x)在0,1上为增函数，最小值f(0)，最大值f(1)；n0a1时，f(x)在0,1上为减函数，最小值f(1)，最大值f(0)，n据题设有：f(0)f(1)a，答案：b答案：1m3n由f (x)0得，x1.n因为当x0时，f (x)0；当0 x1时，f (x)1时，f (x)0；所以f(x)的单调增区间是1，)；单调减区间是(，0)和(

9、0,1n(2010安徽)设函数f(x)sinxcosxx1,0 x2，求函数f(x)的单调区间与极值n答案an答案bn答案bn4(文)(09福建)定义在r上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()nayx21 by|x|1n答案cn解析f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在(2,0)上为减函数，而yx31在(2,0)上为增函数故选c.n(理)(09山东)已知定义在r上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()naf(25)f(11)f(80)nbf(80)f(11)f(25)ncf(11)f(80)f(25)ndf(25)f(80)0，nf(x)在2,0上也是增函数，且f(x)0，且f(x)为减函数n同理，f(x)在4,6上为减函数，且f(x)0.如图nf(25