第四讲715909404

1、第第2章章 函数的极限与连续性函数的极限与连续性微积分微积分i第第2章章 函数的极限与连续性函数的极限与连续性2.3 无穷小量、无穷大量及阶的比较无穷小量、无穷大量及阶的比较无穷小量的定义无穷小量的定义 若若lim( )0,xf x则称则称( )f x在在x 时时是一个无穷小量，简称无穷小是一个无穷小量，简称无穷小(infinitesimal).注意：注意：必须说明自变量的变化过程。必须说明自变量的变化过程。例例2.3.1 (1) 0 x 当当 时，时，2x和和1sinxx都是无穷小。都是无穷小。(2) 1x 当当 时，时，1x 和和lnx都是无穷小。都是无穷小。(3) 0 x当当 时，时，x

2、是无穷小。是无穷小。(4) x 当当 时，时，xe是无穷小。是无穷小。(5) x 当当 时，时，1/ x是无穷小。是无穷小。2.3.1 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量无穷大量的无穷大量的直观直观定义定义 正无穷大量：正无穷大量：在某个变化过程中在某个变化过程中“无限增大无限增大”的变量。的变量。 负无穷大量：负无穷大量：在某个变化过程中在某个变化过程中“无限减小无限减小”的变量。的变量。 无穷大量：无穷大量：在某个变化过程中绝对值在某个变化过程中绝对值“无限增大无限增大”的的变量。变量。下面给出上面三个概念的下面给出上面三个概念的严格严格定义。定义。 设函数设函数 在点在点 的某个去心邻

3、域内有定义，的某个去心邻域内有定义，( )f x0 x若对若对于任意于任意0m ，都存在都存在 当当 0 ，00 |xx时，就有时，就有( )( ( ),f xm f xm 则称函数则称函数 在在 时是正时是正 ( )f x0 xx(负负)无穷大量，简称正无穷大量，简称正(负负)无穷大，记作无穷大，记作若当若当 时，时， 是正无穷大量，是正无穷大量， 0 xx|( )|f x则称函数则称函数( )f x0lim( )xxf x 0(lim( ).xxf x 0 xx的无穷大的无穷大(量量)，是是记作记作0lim( ).xxf x 注注1： 对于对于 这些变化过程可以类似这些变化过程可以类似 0

4、0,xxx 似给出相应定义。似给出相应定义。 例例2.3.2 (1) x 当当 时，时，xe和和lnx都是正无穷大。都是正无穷大。(2) 0 x当当 时，时，lnx是负无穷大。是负无穷大。(3) 0 x 当当 时，时，1/ x是无穷大量。是无穷大量。注注2：回忆无界的定义。回忆无界的定义。 无界与无穷大量的关系无界与无穷大量的关系 无穷大量无穷大量 无界无界 无界无界 无穷大量无穷大量 be careful ! 例例2.3.3 对于函数对于函数( )sin .f xxxx 当当 但是，但是，( )f x无界。无界。时，时，( )f x不是无穷大量。不是无穷大量。因为，存在因为，存在(),nxn

5、n()0.nf xx 当当 时，时，无穷小的运算性质定理无穷小的运算性质定理 (1) 若在若在 x的某一变化过程中，的某一变化过程中，( ), ( )f x g x都是无穷小，都是无穷小，则在此变化过程中，则在此变化过程中，( )cf x(c为任意常数为任意常数),( )( )f xg x和和( ) ( )f x g x都是无穷小。都是无穷小。(2) 若在若在 x的某一变化过程中，的某一变化过程中，( ), ( )f x g x都是无穷大，都是无穷大，则在此变化过程中，则在此变化过程中，( )cf x(c为任意非零常数为任意非零常数)和和( ) ( )f x g x都是无穷大。都是无穷大。(3

6、) 若在若在 x的某一变化过程中，的某一变化过程中，( )f x是无穷大，是无穷大，则在此则在此变化过程中，变化过程中，1/( )f x是无穷小。是无穷小。(4) 若在若在 x的某一变化过程中，的某一变化过程中，( )f x是无穷小，是无穷小，( )g x是有是有界变量，界变量，则在此变化过程中，则在此变化过程中，( ) ( )f x g x是无穷小。是无穷小。注：注： (1) 两个无穷小的商两个无穷小的商未必是未必是无穷小。无穷小。(2) 两个无穷大的和以及商两个无穷大的和以及商未必是未必是无穷大。无穷大。(3) 无穷大与有界变量的积无穷大与有界变量的积未必是未必是无穷大。无穷大。例例2.3

7、.4 (1) 0 x当当 时，时，3/4x是无穷小，是无穷小，1sinx有界，所以有界，所以3/41sinxx是无穷小。是无穷小。(2) 2sin( ).xxf xxx 当当 时，时，21xxx是无穷小；是无穷小；21x是是无穷小，无穷小，sinx有界，所以有界，所以2sinxx是无穷小。是无穷小。根据性质根据性质(1)，两无穷小之和为无穷小可得两无穷小之和为无穷小可得( )f x是无穷小。是无穷小。无穷小无穷小与与极限极限的关系的关系 若若lim( ),xf xax 则当则当 时，时，( )( )g xf xa是无穷小是无穷小. 用函数极限性质直接得出用函数极限性质直接得出.2.3.2 阶的

8、比较阶的比较 在同一变化过程中，不同无穷小趋于零的快慢可在同一变化过程中，不同无穷小趋于零的快慢可以不同，不同无穷大量增大的快慢可以不同。因此，以不同，不同无穷大量增大的快慢可以不同。因此，引入阶引入阶(order)的概念定量描述。的概念定量描述。定义定义x 设当设当 时，时，( ), ( )f x g x都是无穷小。都是无穷小。(1) 若若 ( )lim0,( )xf xcg xx 则称当则称当 时，时，( )( )f xg x与与是是同阶无穷小同阶无穷小。 特别地，若特别地，若 ( )lim1,( )xf xg xx 则称当则称当 时，时，( )( )f xg x与与是是等价无穷小等价无穷

9、小，记作，记作( )( ) ().f xg xx (2) 若若 ( )lim0,( )xf xg xx 则称当则称当 时，时，( )( )f xg x是是的的高阶高阶(2) 若若 ( )lim0,( )xf xg xx 则称当则称当 时，时，( )( )f xg x是是的的高阶高阶无穷小无穷小，记作，记作( )( ( ) ().f xo g xx(3) 若存在正数若存在正数 m，使得在，使得在附近有附近有( ),( )f xmg x则记作则记作( )( ( ) ().f xo g xx例例2.3.5(1) 由上一讲知由上一讲知 00sintanlimlim1,xxxxxx201coslimxx

10、x0 x 所以当所以当 时，有时，有21sin, tan,1 cos.2xxxxxx(2) 0 x 当当 时，时，2sin()xx与与都是无穷小量，且都是无穷小量，且22200sin()sin()limlim0.xxxxxxx所以，所以， 2sin()( ) (0).xo xx1.2(3) 0 x 当当 时，时，1sinxxx与与都是无穷小量，且都是无穷小量，且1|sin| 1.x所以，所以， 1sin( ) (0).xo xxx例例2.3.6 设设k为任意正整数。为任意正整数。2200(1)11c1limlim.kkkxxxkxxxkxx11100(1)1(1)11limlim.1(1)(1

11、)kkxxkkxxxkxxx0 x 所以当所以当 时，有时，有(1)1,kxkx1(1)1.kxxk例例2.3.7100ln(1)limlimln(1)ln1.xxxxxex因此有，因此有， ln(1)(0).xx x此外，此外， 1(0).xex x自行推导自行推导. 这两个例题的这两个例题的结论很重要！结论很重要！定理定理x 若当若当 时，时，( ),( )xx都是无穷小，都是无穷小， 则它们是则它们是等价无穷小的等价无穷小的充要条件充要条件是是( )( )xx是是( )x的高阶无的高阶无穷小。穷小。证明：证明：x 当当 时，时，( )( )xx( )lim1( )xxx( )( )lim

12、0( )xxxx( )( )( ( ).xxox等价无穷小的等价无穷小的运算替代性质运算替代性质x 若当若当 时，时，( )( ), ( )( ),f xx g xx且且( )lim,( )xxax则则( )lim.( )xf xag x证明：证明：( )( )( )( )limlim( )( )( )( )xxf xf xxxg xxxg x( )( )limlim( )( )xxf xxxx注意：处于加减项的无穷小注意：处于加减项的无穷小不能不能用等价无穷小替代，用等价无穷小替代，在使用时要格外注意在使用时要格外注意。例例2.3.8 计算计算 30tansinlim.xxxx解：解：0 x

13、 当当 时，时，21tan,1 cos.2xxxx所以所以3300tansintan (1cos )limlimxxxxxxxx200tan1coslimlimxxxxxx111.22 若采用如下解法：若采用如下解法：0 x 当当 时，时，tan,sin.xxxx所以所以3300tansinlimlim0 xxxxxxxx( )lim( )xxg x11.aa ( )( )limlim( )( )xxf xxxx无穷大量的阶的比较无穷大量的阶的比较定义定义x 设当设当 时，时，( ), ( )f x g x都是无穷大。都是无穷大。若若 ( )lim0,( )xf xg xx 则称当则称当 时，

14、时，( )( )f xg x是是的的低阶无穷大低阶无穷大,或者或者 ( )( )g xf x是是的的高阶无穷大。高阶无穷大。例例2.3.9 (1) x 当当 时，时，x是是x2的低阶无穷大，因为的低阶无穷大，因为2lim0.xxx(2) x 当当 时时, 4x是是2x的高阶无穷大，因为的高阶无穷大，因为2lim0.4xxx无穷大量比阶用来描述无穷大量的变化速度。无穷大量比阶用来描述无穷大量的变化速度。轻松一下！轻松一下！2.4 连续函数及其性质连续函数及其性质连续函数是微积分课程的主要研究对象。连续函数是微积分课程的主要研究对象。2.4.1 函数的连续与间断函数的连续与间断定义定义 设函数设函

15、数 在点在点 的的某个邻域某个邻域内有定义，内有定义，( )f x0 x并且并且00lim( )()xxf xf x，则称则称 在点在点 连续连续(continuous).( )f x0 x注注1：定义中的两个条件缺一不可：定义中的两个条件缺一不可. 例例注注2：在孤立点不讨论函数的连续性。：在孤立点不讨论函数的连续性。例如例如( )f x xx仅在仅在 x = 0有定义。有定义。注注3：条件：条件2的等价描述的等价描述.000():()().xfxf xxf x定义定义若若00lim()0 xxfx ， 则则 在点在点 连续。连续。( )f x0 x注注4：函数的连续性是：函数的连续性是逐点

16、考察逐点考察的。的。1sinxx在在 x = 0.例例2.4.1* 考虑函数考虑函数,( ),.xxf xxx0lim ( )xf x0(0).f( )f x在在 x = 0连续。连续。00,x0lim( )xxf x不存在不存在，所以，所以( )f x在任意点在任意点x 0不连续。不连续。此例说明微积分定义的函数连续与几何上的此例说明微积分定义的函数连续与几何上的“不断不断开开”是可以相悖的。是可以相悖的。对应于函数的左对应于函数的左(右右)极限，可以定义左极限，可以定义左(右右)连续。连续。定义定义 若若00lim( )()xxf xf x，则称则称 在点在点 左连续左连续；( )f x0

17、 x若若00lim( )()xxf xf x，则称则称 在点在点 右连续右连续.( )f x0 x由函数极限的性质可知，由函数极限的性质可知， 在点在点 连续的连续的充分必要充分必要( )f x0 x条件是在条件是在 x0 既左连续，又右连续。既左连续，又右连续。设设i是一个开区间，若是一个开区间，若( )f x在在i中的每个点都连续，中的每个点都连续，则称则称( )f x在在i内连续，记作内连续，记作( )( ).f xc i记号记号( ) , f xc a b表示表示( )f x在闭区间在闭区间a, b上连续，即上连续，即( )f x在在(a, b)内连续，内连续，在点在点a右连续，点右连

18、续，点b左连续。左连续。例例2.4.2sin(,),xc 0,),xc arcsin 1,1.xc间断及间断点的分类间断及间断点的分类若函数若函数 在点在点 不连续，不连续，( )f x0 x则称则称 是是 的一个的一个( )f x0 x间断点间断点(discontinuity point)。sgn( )yx221xxyx1yx间断点可以分为两大类：间断点可以分为两大类：设设 是是 的一个间断点，的一个间断点，( )f x0 x若若0lim( )xxf x和和0lim( )xxf x都存在，都存在，则称则称 是是 的的第一类第一类( )f x0 x间断点；间断点；否则称为否则称为 的的第二类第

19、二类间断点。间断点。( )f x特别地，特别地， 若若 是是 的第一类间断点，且的第一类间断点，且( )f x0 x0lim( )xxf x0lim( )xxf x，则称则称 是是 的的可去可去间断点。间断点。( )f x0 x此时，可利用此时，可利用( )f x定义一个新的函数定义一个新的函数000( ),( )lim( ),xxf xxxf xf xxx 在在 连续。连续。( )f x0 x例例2.4.3 (1) 1x 是是22( )1xxf xx的可去间断点。的可去间断点。1lim( )3.xf x定义定义22,1,( )13,1,xxxf xxx 在在 连续连续.( )f x1x 2.

20、x例例2.4.3 (2) 0 x 是是sgn( ) x的第一类间断点。的第一类间断点。(3) xx ，是是()xx 的第一类间断点。的第一类间断点。(4) 0 x 是是1/ x的第二类间断点。的第二类间断点。例例2.4.4(5) 0 x 是是1sinx的第二类间断点。的第二类间断点。讨论讨论 ( )tanxf xx的间断点及类型。的间断点及类型。需要讨论的点：需要讨论的点：(1) tan x = 0 的点的点:(),xnn(2) tan x的间断点的间断点:().2xnn(1) x0 = 0.0lim( )1.xf x可去间断点。可去间断点。(2) 0(0).xnn0lim( ).xxf x

21、第二类间断点。第二类间断点。(3) 0().2xnn0lim( )0.xxf x可去间断点。可去间断点。2.4.2 连续函数的性质连续函数的性质利用函数连续的定义可以验证，六种基本初等函数利用函数连续的定义可以验证，六种基本初等函数(常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数反三角函数反三角函数)在在定义域内部处处连续定义域内部处处连续。定理定理 设函数设函数( ), ( )f x g x在点在点x0都连续，则都连续，则(1) ，( )( )f xg x在点在点x0连续；连续；(2) ( )( )f xg x在点在点x0连续；连续；(3) 若若 0

22、()0,g x则函数则函数( )( )f xg x在点在点x0连续。连续。函数函数函数函数该定理可以由函数极限的性质直接推出。该定理可以由函数极限的性质直接推出。定理定理 (复合函数的连续性复合函数的连续性) 设函数设函数( )g t在点在点t0连续，连续，( )f x在点在点00( )xg t连续，则复合函数连续，则复合函数( ( )f g t在点在点t0连续。连续。定理定理 初等函数在其定义域内部处处连续。初等函数在其定义域内部处处连续。very important !例例2.4.52exp()(,),xc 10,1,xxc定理定理 (反函数的连续性反函数的连续性) 设函数设函数( )yf

23、 x在区间在区间a, b连连续续且严格单调且严格单调，其值域是，其值域是c, d，则反函数，则反函数1( )xfy在区间在区间c, d连续。连续。定理定理 若函数若函数 在点在点 连续，且连续，且( )f x0 x0()0( 0),f x则存在则存在0,在区间在区间00,xx上上( )0( 0).f x 注注1：该定理可以从函数极限保号性推出。：该定理可以从函数极限保号性推出。注注2：该性质是局部性质，不能推广到整个定义域。：该性质是局部性质，不能推广到整个定义域。1/21sin(0,),xcx2ln(2)(2, 2).xc2.4.3 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质本小节介绍闭区

24、间上连续函数的三个重要性质，其本小节介绍闭区间上连续函数的三个重要性质，其证明将在微积分证明将在微积分ii课程中给出。课程中给出。定理定理 (有界性有界性) 设设( ) , ,f xc a b则则( )f x在在a, b上有界，上有界，即即0,m使得使得|( )|( , ).f xm xa bm-m定理定理 (最值性最值性) 设设( ) , ,f xc a b则则, , ,a b 使得使得( )min( ), ( )max( ).a x ba x bff xff x 即闭区间上的连续函数在该区间上即闭区间上的连续函数在该区间上必取到最大值和最小值。必取到最大值和最小值。定理定理 (零点定理零点定理) 设设( ) , ,f xc a b( ) ( )0,f a f b 则则( , ),a b使得使得( )0.f推论推论 (介值定理介值定理) 设设( ) , ,f xc a b( )( ),f af b则对于则对于f (a)和和f (b)之间的之间的每个每个,存在存在( , ),a b使得使得( ).f证明概要证明概要: 取取( )( ),g xf x