高二人教版数学选修11练习：2章末小结 Word版含答案

1、高中数学选修精品教学资料圆锥曲线是高考的重点内容之一,主要考查以下几方面：1考查椭圆、双曲线、抛物线的几何性质、待定系数法求圆锥曲线方程,圆锥曲线定义的应用等,尤其是离心率是高考的热点,题型上选择,填空、解答题都有可能出现；2双曲线的渐近线是一种独特的性质,也是高考考查的重要内容,充分运用渐近线方程,简化解题过程；3直线与圆锥曲线位置关系问题是高考的热点,涉及直线与圆锥曲线的关系中的求弦长、焦点弦长及弦中点问题、取值范围、取值等问题题型以解答题的形式出现居多,这类问题往往综合性强,注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识相综合专题一圆锥曲线定义的应用

2、利用圆锥曲线的定义解题的策略：(1)在求轨迹方程时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的定义,写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决 总之,圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用,要注意灵活运用例1如图,直线ab过抛物线y22px(p0)的焦点f,且点a,b在抛物线准线上的射影分别为 a1,b1,则a1fb1的大小为()a.6b.4c.3d.2解析： 由抛物线的定义可知|af|aa1|,|bf|bb1

3、|,且 aa1,bb1都平行于 x 轴,aa1fafa1a1fo,bb1fbfb1b1fo,a1fb1afa1bfb1122.答案：d变式迁移变式迁移1已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1,则抛物线 y24x 上一动点 p 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是(a)a2b3c.115d.3716解析：如图,可知直线 l2：x1 为抛物线 y24x 的准线,由抛物线的定义知,p 到 l2的距离等于 p 到抛物线的焦点 f(1,0)的距离,故本题可化为： 在抛物线 y24x 上找一个点 p,使得 p到点 f(1,0)和到直线 l1的距离之和最小,则最小值为 f(1,0)到直线

4、l1：4x3y60 的距离,即 dmin|406|52.例 2已知圆 c 的方程为(x3)2y24,定点 a(3,0),求过定点 a 且和圆 c 外切的动圆圆心 p 的轨迹方程解析：因为圆 p 与圆 c 外切,如图所以|pc|pa|2,即|pc|pa|2,因为 0|pc|pa|ac|,所以由双曲线的定义,点 p 的轨迹是以 a,c 为焦点,2 为实轴长的双曲线的左支,其中 a1,c3,所以 b2c2a2918.故所求轨方程为 x2y281(x0)变式迁移变式迁移2一动圆和两圆 x2y21,x2y28x120 都外切,则动圆圆心轨迹为(c)a圆b椭圆c双曲线一支d抛物线解析：c1：x2y21,c

5、2：(x4)2y24,设动圆圆心为 p,半径为 r,因为动圆与两定圆都外切,所以|pc1|r1,|pc2|r2,所以|pc2|pc1|1,故 p 点轨迹为以 c1、 c2为焦点的双曲线的一支专题二圆锥曲线的方程与性质的应用圆锥曲线的方程与性质的应用主要体现在已知圆锥曲线的方程研究其几何性质,已知圆锥曲线的性质求其方程重在考查基础知识、基本思想方法,属于低中挡题目,其中对离心率的考查是重点例 3(2013新课标全国卷)设椭圆 c：x2a2y2b21(abc)的左、右焦点分别为 f1、f2,p是 c 上的点,pf2f1f2,pf1f230,则 c 的离心率为()a.36b.13c.12d.33解析

6、：因为 pf2f1f2,pf1f230,所以|pf2|2ctan 302 33c,|pf1|4 33c.又|pf1|pf2|6 33c2a,所以ca1333,即椭圆的离心率为33,选 d.答案：d变式迁移变式迁移3 已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 f,右顶点为 a,点 b 在椭圆上,且 bfx 轴,直线ab 交 y 轴于点 p.若ap2pb,则椭圆的离心率是(d)a.32b.22c.13d.12解析：如图,由于 bfx 轴,故 xbc,ybb2a,设 p(0,t),ap2pb,(a,t)2c，b2at,a2c,eca12.专题三直线与圆锥曲线的位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关

7、系,主要涉及判定直线与圆锥曲线的交点个数、求弦长、最值等问题,它是圆锥曲线的定义、性质与直线的基础知识的综合应用,涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法直线与圆锥曲线的位置关系主要有：(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题,应注意数形结合；(2)有关弦长问题,应注意运用弦长公式及根与系数的关系；(3)有关垂直问题,要注意运用斜率关系及根与系数的关系,设而不求,简化运算特别提醒：涉及直线的斜率不确定时,要讨论斜率不存在的情况,消元后一元二次方程二次项有字母,则要讨论系数为零的情况例 4如图,直线 l：yxb 与抛物线 c：x24y 相切于点 a.(1)求实数 b 的值；(2)求以点

8、a 为圆心,且与抛物线 c 的准线相切的圆的方程分析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想解析：(1)由yxb，x24y得 x24x4b0,因为直线 l 与抛物线 c 相切,所以(4)24(4b)0,解得 b1.(2)由(1)可知 b1,故方程即为 x24x40,解得 x2,代入 x24y,得 y1.故点a(2,1),因为圆 a 与抛物线 c 的准线相切,所以圆 a 的半径 r 等于圆心 a 到抛物线的准线 y1 的距离,即 r|1(1)|2,所以圆 a 的方程为(x2)2(y1)24.变式迁移变式迁移4(2015东北三校联考)在平面直角

9、坐标系 xoy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆x22y21 有两个不同的交点 p 和 q.求 k 的取值范围；解析：由已知条件,直线 l 的方程为 ykx 2代入椭圆方程得x22(kx 2)21,整理得12k2x22 2kx10.由8k2412k24k220,解得 k22或 k22.即 k 得取值范围为，22 22，.专题四圆锥曲线的综合应用例 5设 f1,f2分别为椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点,过 f2的直线 l 与椭圆 c相交于 a,b 两点,直线 l 的倾斜角为 60,f1到直线 l 的距离为 2 3.(1)求椭圆 c 的焦距；(2)如果af

10、22f2b,求椭圆 c 的方程解析：(1)设焦距为 2c,由已知可得 f1到直线 l 的距离3c2 3,故 c2.所以椭圆 c 的焦距为 4.(2)设 a(x1,y1),b(x2,y2),由题意知 y10,y20,直线 l 的方程为 y 3(x2)联立y 3（x2） ，x2a2y2b21，得(3a2b2)y24 3b2y3b40.y1y24 3b23a2b2,y1y23b43a2b2.af22f2b,所以y12y2.代入可得y24 3b23a2b2,2y223b43a2b2.2可得 3a2b232.又 a2b24,得 a3.而 a2b24,所以 b 5.故椭圆 c 的方程为x29y251.变式

11、迁移变式迁移5已知点 m(2,0),n(2,0),动点 p 满足条件|pm|pn|2 2.记动点 p 的轨迹为 w.(1)求 w 的方程；(2)若 a,b 是 w 上的不同两点,o 是坐标原点,求oaob的最小值解析：(1)依题意,点 p 的轨迹是以 m,n 为焦点的双曲线的右支,所求方程为：x22y221(x 2)(2)当直线 ab 的斜率不存在时,设直线 ab 的方程为 xx0,此时 a(x0, x202),b(x0,x202),oaob2.当直线ab的斜率存在时,设直线 ab的方程为ykxb,代入双曲线方程x22y221 中,得：(1k2)x22kbxb220,依题意可知方程有两个不相等

12、的正数根,设 a(x1,y1),b(x2,y2),则4k2b24（1k2）（b22）0，x1x22kb1k20，x1x2b22k210，解得|k|1,又oaobx1x2y1y2x1x2(kx1b)(kx2b)(1k2)x1x2kb(x1x2)b22k22k2124k212.综上可知,oaob的最小值为 2.专题五求轨迹方程求轨迹方程的常用方法：(1)直接法直接利用条件建立 x 、y 之间的关系 f(x,y)0.(2)待定系数法已知所求曲线的类型,求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数(3)定义法先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接定出动点的轨迹方程

13、(4)代入转移法 动点 p(x,y)依赖于另一动点 q(x0,y0)的变化而变化,并且 q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用 x、y 的代数式表示 x0,y0,再将 x0、y0代入已知曲线得要求的轨迹方程例 6已知o 的半径为 3,直线 l 与o 相切,一动圆与 l 相切,并与o 相交的公共弦恰为o 的直径,求动圆圆心的轨迹方程分析：问题中的几何性质十分突出,如何利用切线、直径、垂直、圆心这些几何性质是关键,动圆圆心满足的条件是关注的焦点解析：如图,设动圆圆心为 m(x,y),o 与m 的公共弦为 ab,m 与 l 切于点 c,取过 o点且与 l 平行的直线为 x 轴,过 o 点且垂直于

14、 l 的直线为 y 轴,建立直角坐标系则|ma|mc|.ab 为o 的直径,mo 垂直平分 ab 于 o.由勾股定理得|ma|2|mo|2|ao|2x2y29,而|mc|y3|, x2y29|y3|.化简得 x26y,这就是动圆圆心的轨迹方程方法总结： 直接法求轨迹方程的步骤是 “建系,设点,列式,化简” ,建系的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上),这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化,找出一个关于动点的等量关系例 7一动圆与已知圆 o1：(x3)2y21 外切,与圆 o2：(x3)2y281 内切,试求动圆圆心的轨迹方程分析：运用圆锥曲线的定义和圆的几何性质判断轨迹形状后,再根

15、据已知求解解析：两定圆的圆心和半径分别为 o1(3,0),r11；o2(3,0),r9.设动圆圆心为 m(x,y),半径为 r,则由题设条件可得|mo1|1r,|mo2|9r.|mo1|mo2|10.由椭圆的定义知：m 在以 o1、o2为焦点的椭圆上,且 a5,c3.b2a2c225916,故动圆圆心的轨迹方程为x225y2161.方法总结：若根据条件得出动点的轨迹特征符合某一基本轨迹的定义,可由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程例 8设双曲线y2a2x231 的焦点分别为 f1、f2,离心率为 2.(1)求此双曲线的渐近线 l1,l2的方程；(2)若 a、b 分别为 l1、l2上的动点,且 2

16、|ab|5|f1f2|,求线段 ab 的中点 m 的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线分析：(1)双曲线方程易得 a、c 的关系,再代入离心率(2)设出 a、b 坐标,再代入 2|ab|5|f1f2|,再由 m 为 ab 的中心求得轨迹方程。解析：(1)ea23|a|2,a21.渐近线 l1、l2的方程为：y33x 和 y33x.(2)|f1f2|4,2|ab|5|f1f2|,|ab|10.a 在 l1上,b 在 l2上,设 a( 3y1,y1),b( 3y2,y2), 3（y1y2）2（y1y2）210.设 ab 的中点 m(x,y),则 x3y1 3y22,yy1y22.y1y22x3,y1y22y,代入得 1