基本不等式知识点和基本题型

1、基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式(1)若 a,b R，则 a2 b2 2ab(2)若 a,b R，则 ab2、基本不等式一般形式（均值不等式）3、基本不等式的两个重要变形若a,bR*，则 a b2 2a b22. ab（1）若 a,b R*，则 S ab2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值;(2)若 a,bR，则 ab2a b2当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值;特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“=”4、求最值的条件:5、常用结论(1)2 （当且仅当x 1时取“=”）(2)(3)ab当且仅当a b时取“=”）(4)a, bR，则 abb)a2

2、b22(5)a, bR*，则 ya ba2 b22 2当且仅当x 1时取“=”）a2、已知a,b, c为两两不'相等的实数，求证：3、已知a b c 1，求证:a2 . 2 2b c4、已知a,b,c R，且abc 1，求证已知a,b,c R，且abc1,求证：6、选修45：不等式选讲设a,b,c均为正数，且abc1,证明:(IX设a，b均为正数，证明不等式"bb2 ab22 cab bcca13(1a)(1b)(1c) 8abc11111 -1 8abc)abbc12 a2 2b cca;(n)b13c a2ab2 a2b7、选修4 5:不等式选讲:33已知a b 0，求证

3、：2a b6、柯西不等式特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“=”(1)若a,b,c,d R，则(a2 b2 )(c2d2)(acbd)2(2)若a1,a2,a3,bi,b2,b3 R，则有:(a122a2a32)(1d2 b22 b32) (ab玄2匕2a3b3 )2(3)设a1,a2, an与db, ,b是两组实数，则有22222佝 a2an )(b12 b22bn2)(a1bl a2b2a b )2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域2 1（1） y 3x 2x2(2) y x(4 x) (3) y x!(x 0)( 4)y

4、x (x 0)xx题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知x 2，求函数y2x442x 4的最小值；变式1:已知x2，求函数y2x4的最小值;2x4变式2：已知x2，求函数y2x4的最大值;2x 454练习：1、已知x ，求函数y 4x 2 的最小值;44x 5542、已知x，求函数y 4x 2 的最大值;44x 5题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）1、当I1-1'-'-时，求 y x（8 2x）的最大值;变式1:当1二时，求 y4x（8 2x）的最大值；变式2：设0x 3，求函数2y 4x（32x）的最大值。2、若0x2，求 yx(63x）的最大值；变式：若0 x

5、 4，求y . x（8 2x）的最大值;平方，利用基本不等式）3、求函数y 2x 1 5 2x（- x -）的最大值；（提示:2 2变式：求函数y 4x 311 4x（ x 口）的最大值;题型五：巧用“ 1”的代换:求最值问;题-的j1、已知a, b0, a2b1，求t1最小值；ab法一：法二：变式1:已知a,b0,a2b2，求t11的最小值;0,28ab变式2：已知x, y1，求xy的最/J、值;xy1变式3：已知x, y0，且19，求xy的最小值。xy变式4：已知x, y0，且丄94，求xy的最小值；xy11变式5： (1 )若x, y 0且2x y 1，求x的最小值；（2）若a,b,x,

6、 y R且yxy的最小值;变式6：已知正项等比数列 an满足：a7 a62a5，若存在两项am, a.,使得.aman-的最小值;n题型六：分离换元法求最值（了解）2x 7x 10/（x 1）的值域;x 11、求函数y变式：求函数yx281-(x 1)的值域;2、求函数yx -的最大值；（提示：换元法）2x 5变式:求函数y口的最大值;4x 9题型七：基本不等式的综合应用a1、已知 log 2 a log2b 1，求 3的最小值2、（2009天津）已知a,b 0 ,求丄a1 2、ab的最小值; b变式1： （2010四川）如果a求关于a, b的表达式a2ab寸的最小值;变式2 : （2012湖

7、北武汉诊断）求 4m 2n已知，当0,a1时，函数y loga（x 1） 1的图像恒过定点若点A在直线mx yn 0上,的最小值;3、已知x, y 0，x 2y 2xy8，求2 y最小值;变式1:已知a,b0 ,满足ab求ab范围;变式2：（2010山东）已知x, y1ry1 一-，求xy最大值；（提示：通分或三角换兀）3变式3：（2011浙江）已知x, yxy1，求xy最大值;4、（ 2013年山东（理）设正实数x, y, z满足x2 3xy 4y2 z 0,则当翌取得最大值时，zx的最大值为（1 ）z（提示：代入换元，利用基本不等式以及函数求最值）变式：设x, y, z是正数，满足x 2y

8、 3z20，求L的最小值;xz题型八：利用基本不等式求参数范围1、（ 2012沈阳检测）已知 x, y(x1y)(一x旦）9恒成立，求正实数 a的最小值;y12、已知x y z 0且 一x y（提示：分离参数，换元法）恒成立，如果n N，求n的最大值；（参考:x z4）14变式：已知a,b 0满则- 一 2，若a b c恒成立，求c的取值范围；a b题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式（a,b,c,d R,当且仅当 a -;即玄小 be 时等号成立）若 a,b,c,d R，则（a2 b2）（c2 d2） （ac bd）2 c d2、二维形式的柯西不等式的变式（1）Ja2b2Jc2d2

9、ac bd，（a,b,c,d R,当且仅当 a -;即ad be时等号成立）c d（2）；a2b2 c2d2ac| |bd （a,b,c, d R,当且仅当-;即adbc时等号成立）c d2a b（a b）（c d） G，ac . bd ） ，（a,b,c,d 0,当且仅当；即ad be时等号成立）c d3、二维形式的柯西不等式的向量形式，（当且仅当0,或存在实数k,使a k时,等号成立）2 2 2 2 2 若 a1,a2,a3, bi,b2,bs R，则有： 佝a?83)(16b?2bs )佝a2b2a3b3 )2（ai,bi R,当且仅当別电竺时等号成立）b1b2ba5、一般n维柯西不等式

10、设 a1,a2, an与d,b2,bn是两组实数，则有：佝2 a222 2 2an )(b, b22bn )(a1b1 a2b2一三维柯西不等式鯨r,当且仅当十an时等号成立）and)2题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设 x, y,z R，若 X22 2y z 4，则x 2y 2z的最小值为时，(x, y, z)析: (x 2y 2z)2(X2y2 z2)12 ( 2)2224 936 x 2y 2z最小值为2244x,y,z3333yz62212 ( 2)2 222、设x, y,z R, 2xy 2:z6 ,求x22y2z的最小值 m，并求此时x, y,z之值。Ans:m 4;(x, y,z)4(,24)3333、设x, y,z R , 2x3yz3,求x2(y1）2z2之最小值为，此时y（析：2x 3y z 32x3(:y1) z0）4、（2013年湖南卷（理）已知a,b,ca 2b 3c 6,则 a24b2 9c2的最小值是(An s:12)1, x 2y 3z