基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题含答案

1、基本不等式及其应用常点梳理丨咗粉笔1 .基本不等式a 亠 b .若a>0, b>0,则-y> ab,当且仅当时取 二”.这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数.注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1) 各项或各因式均正；(一正)(2) 和或积为定值；(二定)(3) 等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值.(三相等)2.常用不等式2 2(1) a + b N2ab(a, b R).(2) abU a,b 02注：不等式a2+ b2> 2ab和> ab它们成立的条件不同，前者只要求 a、2b都是实数，而后者要求a、b都是正数.其等

2、价变形：ab<( 心 )2.2ab<b (4扃+ a2(a，b同号且不为0).(6)宁兰-(a，be R).< 2 /a2 b2 a b2-工-工(ab 畠 (a,b a 0 )2 2 1 1a ba3 + b3+ c3(7)abcw 3; a,b,c 0a + b + c 31(8)3>. abc； a,b,c 03 利用基本不等式求最大、最小值问题（1）求最小值：a>0, b>0,当ab为定值时，a+ b, a2+ b2有，即a2 2+ b, a + b.（2）求最大值：a>0, b>0,当a+ b为定值时，ab有最大值，即;或a2 + b2

3、为定值时，ab有最大值（a>0，b>0）,即.慕础自测4P住潘丰另小试设a, b R，且a+ b = 3,则2a+ 2b的最小值是（）A.6B.4 2 C.2.2D.2 6解：因为 2a>0, 2b>0,由基本不等式得 2a + 2b>2 2a 2b = 2, 2a+b = 4 2,3当且仅当a= b=号时取等号，故选B.若a>0, b>0,且a+ 2b 2= 0,则ab的最大值为（）A.2B.1C.2D.4A解：Va>0, b>0, a+ 2b = 2,二 a+ 2b = 2>2 2ab,g卩 ab<扌.当且仅当 a1=1,

4、b= q时等号成立.故选A.&小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（avb）,其全程的平均时速为v,则（）A.avvv . abB.v = . aba+ bC. . abv vv 2a+ bD. v = 2解：设甲、乙两地之间的距离为S.2s2ab2ab -avb,. v=v:= ab.S + S a+ b 2 剧 7 ab2 2 2口2ab ab a a a又 v a= a=>= 0,. v>a.故选 A.a+ ba+ ba+ b0 (2014 上海)若实数x, y满足xy= 1,则x2 + 2y2的最小值为解：由xy= 1得x2 + 2y2=x2 +頁2返 当且仅当x

5、=±勺2时等号成立.故填2 2. 点(m, n)在直线x+ y= 1位于第一象限内的图象上运动，则log2m+ log2n 的最大值是.解：由条件知，m>0, n>0, m+ n= 1,m+ n 21所以 mnw： = 4,1当且仅当m= n= 2时取等号，2,故填一2.log2m+ log2 n = log2 mnw Iog24 =典例第析|类型一利用基本不等式求最值(1)求函数y=(x+ 5)( x+ 2)x+ 1(x> 1)的值域.=m+m+5> 2.m - m + 5 = 9,当且仅当m= 2时取等号，故ymin = 9.解:/ x> 1, x+

6、 1>0, 令 m=x+ 1, J则 m>0,且 y=又当m + x或mp 0时，y + x，故原函数的值域是9 ,+x).(m+ 4)( m+ 1)m(2)下列不等式一定成立的是()Agx2+1 >lgx(x>0)C.x2+ 1>2|x|(x R)1B.sinx+ >2(xmkn, k Z) sinx 、/1DRE R)2 1 1 2 1 解：A 中，x + 4>x(x>0),当 x=时，x +4 = x.B 中,sinx+1si nx> 2(sinx (0,1)；1 sinx+亦三2(sinx -1, 0).C 中，x2 2|x|+ 1

7、 = (|x| 1)2 > 0(x R).1D 中，xr+1 (0, 1(x R)故 C 一定成立，故选 C.点拨:ax + bx+ c这里(1)是形如f(x) = a 的最值问题，只要分母x+ d>0,都可以将x+ def(x)转化为f(x)= a(x+ d) + x+d + h(这里ae>0;若aev0,可以直接利用单调性 等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.(1)已知t>0,则函数f(t) =2t 4t+ 1t的最小值为解:/1> 0,f(t) =t2 4t+ 1t=t+1 4

8、>当且仅当t = 1时，f(t)min= 2,故填一 2.(2)已知 x>0, y>0,且 2x+ 8y xy= 0,求:(I )xy的最小值；(n )x+ y的最小值.1,又 x> 0, y>0,8 2解:(I)由 2x+ 8y xy= 0, 得j + y =2 8 厂xy,得 xy> 64,当且仅当x= 4y,即x= 16, y= 4时等号成立.8y(n )解法一：由 2x+ 8y xy= 0,得 x=,： x>0,二 y>2,y2则 x+ y= y+ y2二(y 2) + y10> 18,当且仅当16y2,即y= 6, x= 12时等

9、号成立.8 2解法二：由2x+ 8y xy= 0,得】+厂1,则 x+ y= £+2)(x+ y)= 10+ 2+ 乎10+ 2寸2x = 18,当且仅当 y= 6, x= 12时等号成立.类型二利用基本不等式求有关参数范围 若关于x的不等式(1 + k2)x< k4 + 4的解集是M，则对任意实常数k,总有()A. 2 M , 0 MB.2?M , 0?MC.2 M , 0?MD.2?M , 0 M4k4 + 45解法一：求出不等式的解集：(1 + k2)x< k4 + 4? x<= (k2 + 1)+-512?xw(k2 + 1)+ 2 min = 2廳一2(当

10、且仅当 k2=p51 时取等号).解法二(代入法):将x= 2, x= 0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R.故选A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题， 对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值另外,要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：a>f(x)恒成立? a>f(x)max； (2)av f(x)恒成立? av f(x)min ；(3) a>f(x)有解？ a>f(x)min ；(4)av f(x)有解？ av f(x)max.0 已知函数f(x)= ex+ e_x，其中e是自然对数的底

11、数.若关于x的不等式mf(x)<e_x + m-1在(0，+)上恒成立，求实数 m的取值范围.解：由条件知m(ex+ e-x- 1)<e-x-1在(0，+)上恒成立.令 t= ex(x> 0),则 t > 1,且 mW占土 二t- 1 +1Tt-1对任意t> 1+1成立.-t-1+ 古 + 1> 2 (t-1)t匕 + 1二 3,>-3,11t-1+1当且仅当t = 2,即x= In2时等号成立.故实数m的取值范围是i-X,-3 .类型三 利用基本不等式解决实际问题亘®'围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙

12、（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度 为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180 元/m,设利用的旧墙的长度为x（单位：元），修建此矩形场地围墙的总费用为 y仲 位：元）.将y表示为x的函数；（2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m，则 y = 45x+ 180（x2） + 180 2a = 225x + 360a 360./口 360由已知x* 360,得* 37,2360 所以 y= 225x+360(x> 2).x3602(2)v x> 0

13、,A 225x+ 360>2 225X 3602= 10800, x y= 225x+ 晳-360> 10440,2当且仅当225x=360，即x= 24时等号成立.x答：当x= 24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.匡3 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2m的无盖长方体的沉淀箱，污水从 A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am, 高度为b m,已知排出的水中该杂质的质量分数与 a, b的乘积ab成反比.现有制 箱材料60 m2,问a, b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数 最小（A, B孔面积忽略不计）.解法一：设y为排出

14、的水中杂质的质量分数,k根据题意可知：y=品，其中k是比例系数且k>0.依题意要使y最小，只需ab最大.由题设得：4b + 2ab+ 2a< 60(a> 0, b> 0),即 a+ 2b<30-ab(a>0, b>0).v a+ 2b>2 2ab, 2 2 ab+ ab< 30,得 0v , abw 3 2.当且仅当a = 2b时取“二”号，ab最大值为18,此时得a = 6, b= 3.故当a=6 m, b= 3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.30 ak解法二：同解法一得b<品，代入尸品求解.课时作业|店屆*卜北UAJt仲11.若

15、a> 1,则a+的最小值是()a 12iaA.2 B.a C.3 D._a 1解: v a> 1，A a+ a! = a 1 + 01+ 1>2 _(a " a1+ 1二2+1二3, 当a= 2时等号成立.故选C.2.设a, b R, ab,且a+ b=2,则下列各式正确的是()a2+ b2a2 + b2a2 + b2a2 + b2A.abv 1v 2B.abv 1 w ?C.1v abv2 D.abw 2 w 1解：运用不等式abw号勺abw 1 以及(a + b)2w 2(孑 + b2)? 2w a?+ b2( 由于ab,所以不能取等号)得,abv 1 va2+

16、 b22 ，故选A.23.函数 f(x) =2）上的最小值是（5 4x+ x2-xA.O B.1C.2D.321 +( 4 4x + x )1解：当 XV 2 时，2 x > 0，因此 f(x)= 冇=壬x + (2 x)> 2 /2"x( 2 x)= 2,当且仅当22 x时上式取等号.而此方程有解x=1 (, 2),因此f(x)在(一, 2)上的最小值为2,故选C.4. （2014 福建）要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器，已知 该容器的底面造价是每平方米 20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最 低总造价是（）A.80 元B.120 元C.16

17、0 元D.240 元4解：假设底面的长、宽分别为x m , - m,由条件知该容器的最低总造价为x80y= 80+ 20x+ > 160,当且仅当底面边长x= 2时，总造价最低，且为160元.x故选C.5. 下列不等式中正确的是()A. 若 a, b R，则舟+ 討2 b= 2B. 若 x, y 都是正数，则 lgx+ lgy> 2 Igx Igy4/4C若 x<0,则 x+ x> 2 x x= 4D.若 x< 0,贝U 2x+ 2x> 2 2x 2-x = 2解:对于A , a与b可能异号，A错；对于B, lgx与lgy可能是负数，B错；4；4 1/4对于

18、 C,应是 x+ x= ( x)+x W 2l ( x) 一-x二4, C 错；对于D,若 x<0,则 2x + 2x>2 .2x 2x= 2 成立(x= 0 时取等号).故选 D.6. (2014 重庆)若 log4(3a + 4b) = log2 . ab，则 a+ b 的最小值是()A.6 + 2 3C. 6+ 4 3B.7+ 2 3D. 7+ 4 3解：因为 log4（3a+4b） = log2 ab,所以 log4（3a+ 4b） = Iog4（ab），即 3a + 4b3a+ 4b > 0,4 3=ab,且，即 a>0, b>0,所以匚+ 匸=1（a&

19、gt;0, b>0）, a+ b= （a+,ab> 0,a bb）4 + 3 = 7+ 4b+鴛7+ 2 ：?甲=7+ 4 3，当且仅当4b=曽时取等号.故选D.Y7. 若对任意x>0,2丄Q <a恒成立，则a的取值范围是.x + 3x+ 11解：因为x>0,所以x +丄2(当且仅当x= 1时取等号),XX111所以有 =<=-所以有 X2 + 3x+ 11“ 2 + 3 5x+_+ 3xXx + 3x+ 11的最大值为5,i故填a>-58. (2014四川)设m R，过定点A的动直线x+ my= 0和过定点B的动直线mx y-m+ 3 = 0 交于点

20、 P(x, y)，则 |FA| |PB|的最大值是.解：易知定点A(0, 0), B(1, 3).且无论m取何值，两直线垂直.所以无论P与A, B重合与否，均有|PAf+ |PB|2= AB|2= 10(P在以AB为直径的圆上). 所以 |PA| |PB|< 1(|PAf+ |PB|2) = 5.当且仅当|PA|= |PB|= ,5时，等号成立.故填5.49. (1)已知0VXV3,求x(4 3x)的最大值；(2)点(x, y)在直线x+ 2y= 3上移动，求2X+ 4y的最小值.4解：已知Ovxv空，：Ov3xv4.11 3x+ 4 3x 24x(4 3x) = 3(3x)(4 3x)

21、<1 2 = 3,2当且仅当3x=4 3x,即x = 3时“=”成立.24当x= 3时,x(4 3x)取最大值为3.(2)已知点(x, y)在直线x+ 2y= 3上移动，所以x+ 2y= 3. 2x+ 4y>2 2x 4y= 2 2x+2y= 2 23 = 4 2.当且仅当/ = 4y，lx+ 2y= 3,33即x=2, y=3时“=”成立.3_ 22x+ 4y取最小值为4.2.10. 已知 a>0, b>0,且 2a+ b= 1,求 S= 2 ab 4a b 的最大值.解：va>0, b>0, 2a + b= 1 ,a 4a2+ b2= (2a + b)2 4ab= 1 4ab.且 1 = 2a+ b>2,2ab,即.abw；, ab<©二 S= 2 ab 4a2 b2= 2 ab (1 4ab) = 2 ab+ 4ab 1w ； 1.当且仅当a =寸，b =舟时，等号成立.11. 如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其 他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每 间