复数试题及答案

1、一.复数选择题1.1是虚数单位，复数i+心-（）-iA. -y/3-iB. -V3 + Zc. V3-ZD. y/3+i2.若zr021=2 + i,贝収=()A. -1 + 2/B. -1-2/C. 1-2/D. 1+2/3.已知复数2_加一（加一府»为纯虚数，i则实数力=（）A. -1B 0C1D0或14.若复数Z-i = -l+i,则复数Z的虎部为()A. -1B 1CiDi5.己知d.bwR,若a2b + b）i>2 （/为虎数单位），则a的取值范围是（）A. a2或avTB. a>l或a<-2C. 1 < 67 <2D. -2 v a v 16

2、.己知复数Z = |l+/|-Z （i为虚数单位），则 z 二（）A. 1B.-近_iC. y/2iD V2+Z7.若复数Z = l-/,则曰A. 72B. 2C 2>/2D48若复数z =1,则Z在复平面内的对应点位于（）1-zA.第一彖限B.第二彖限C.第三彖限D.第四象限9.已知复数，则石二（）、1 + ZA. -1-/B. -1 + /C 1 + iD. 1-/a;10. 设复数2 = 二，则复数Z的共轨复数亍在复平面内对应的点位于（）1 + 1A. 第一象限B. 第二彖限C. 第三彖限D. 第四象限11. 若Z =（2 +尸）（4 0,则在复平面内，复数Z所对应的点位于（）A.

3、 第一象限B. 第二彖限C. 第三彖限D. 第四象限12. 复数Z对应的向量旋与方= （3.4）共线，对应的点在第三彖限，且忖= 10,则（）A. 6 + 81B. 6 8iC一6 8iD一6 + 8ia 13设Z =则Z的虚部为（）1-/A.B.3C，2已知a + 3/（l + i） = 2 +加（a,bwR ,14.】为虚数单位），则实数a + b的值为（）A.3B. 5C. 6已知复数込满足（l+2,）z = 4+引，则：的虚部是（A. -1B. 1C. -i二多选题16. 1是虚数单位，下列说法中正确的有（）若复数Z满足Z壬=0,则Z = o若复数勺,圣满足忖+ %| = |©

4、; 諒，则z& = o若复数z = ci + ai（aER）,则Z可能是纯虔数若复数Z满足才=3 + 4/，则Z对应的点在第一象限或第三彖限15.A.B.C.D.D.D.17. 若复数£ = =,则（）1-1z的实部与虚部之差为3Z = 4 +iz在复平面内对应的点位于第四彖限A.B.C.D.18. 下列四个命题中，真命题为（）A.若复数Z满足ze/?,则2已RB.若复数z满足丄丘心c.若复数z满足FwR，则WR19.已知复数z = x+）”（x,y丘尺），则A. Z2 >0D.,则 Zi = z2B.z的虎部是yiD. H = >/?+/20.（多选题）已知集合

5、A/ =mm = ineN,其中/为虎数单位, 合M的是（）c.若z = l + 2j,则X = l, y = 2则卜列元素属于集A. （l-/）（l + z）B.=21.卜面关于复数的四个命题中，结论正确的是 A.若复数“R,则ieRB.C.若复数Z满足-/?,则ZeRZC.D.1 + z口（ ）若复数Z满足才wR,D.若复数5，$满足？忆2/?,则zl = z222已知1为虎数单位，复数 = v 则以卞真命题的是（）2-1A r"j r A. Z的共轨复数为-4B. Z的虚部为<3 33C. 国=3D. Z在复平面内对应的点在第一彖限23. 下列关于复数的说法，其中正确的是

6、（）A. 复数z = a+bi（a,b e R）是实数的充要条件是b = 0B. 复数乙二a+bib e R）是纯虚数的充要条件是bHOc.若©,圣互为共轨复数，则Z忆2是实数D. 若乙，乞互为共轨复数，则在复平面内它们所对应的点关于）'轴对称24. 下列结论正确的是（）A. 已知相关变量（兀刃满足回归方程y = 9.4x + 9.1,则该方程相应于点（2, 29）的残差 为"B. 在两个变量）'与X的回归模型中，用相关指数刻画回归的效果，R2的值越大，模型 的拟合效果越好c.若复数z = l+i,则|z| = 2D.若命题：3xoeR , Xq-xo +

7、l<0,则 >P： Vxg /?, x2-x+l>025. 任何一个复数z = a + bi （其中d、bwR, i为虚数单位）都可以表示成：Z = r（cos6>+zsm）的形式，通常称之为复数Z的三角形式法国数学家棣莫死发现：z" = r （cos0+isin0）n = r" （cos/?+zsiii/z）（/? g Nj ,我们称这个结论为棣莫 JI：定 理根据以上信息，下列说法正确的是（）A. | Z |=害C.复数Z的实部为-127.以下为真命题的是（）A.纯虚数Z的共轨复数等于一ZB. 当 r = 1,= y 时，z3 =1c.当日，歼时

8、，GJ-号D.当厂=1, 0 = 时，若“为偶数，则复数乙”为纯虚数26. 已知复数込满足42-1） = 1 （1为虚数单位），复数Z的共轨复数为石，则（）_ l + 2iB. "-丁D.复数Z对应复平面上的点在第二彖限B.若石+ ?2=0,则WC. 若+ z2 G R ,则Z与$互为共轨复数D.若Zi-Z2=09则5与E互为共轨复数28. 对于复数Z = a+bi(a,beR)f下列结论错误的是() A.若 d = 0,则 a + bi 为纯虎数B.若 a-bi = 3 + 2i,则 a = 3,b = 2C. 若b = 0,则a + bi为实数D.纯虚数z的共辘复数是z29. 已

9、知复数Z满足？辽+ 2况=3 +加，awR,则实数。的值可能是()A. 1B. -4C. 0D. 530. 对任意Z】，°, "C ,下列结论成立的是()A. 当加,neN* 时，有 zmzn = Z"B. 当Z2C时，若才+乙；=0,则勺=0且Z2 =0C. 互为共轨复数的两个复数的模相等，且d. Z=电的充要条件是h|=|【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1. B【分析】由复数除法运算直接计算即可.【详解】故选：B.解析：B【分析】由复数除法运算直接计算即4.【详解】1 + 73/ -1-r故选：B.2 . C【分析】根据复数单位的專的周期性

10、和复数除法的运算法则进行求解即可.【详解由已知可得，所以.故选：C解析：C【分析】 根据复数单位1的幕的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可.【详解】故选:C3 . C【分析】结合复数除法运算化简复数，再由纯虚数定义求解即可【详解解析:因为为纯虚数,所以，解得,故选:C.解析：C【分析】结合复数除法运算化简复数Z ,再由纯虚数定义求解即可【详解】解析：因为Z =厂”=0沪7）为纯虚数，所以m = 1,故选：C.4 . B【分析】，然后算出即可.【详解】由题意，则复数的虚部为 I她：B解析：B【分析】2=二土，然后算出即可.I【详解】由题意乙=土！=上”.=土1 = 1+几则复数Z的虚部为Ii

11、 ii -1故选:B【分析】根据虚数不能比较大小可得，再解一元二次不等式可得结果.【详解因为，所以，所以或.故选：A【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较大小得是解题关键，属于基础题.解析：A【分析】根据虚数不能比较人小可得d = b ,再解一元二次不等式可得结果.【详解】因为 a.bR , a' -b+(a-b)i >2 ,所以 a = b , ci2-ci-2>0所以a>2或“<一1.故选：A【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较人小得a = b是解题关键，属于基础题.6 . D【分析】先对化简，求出，从而可求出【详解解：因为，所以，故选：D解析：D【分析】先对

12、z = |l + z|-z化简，求出Z,从而可求出召【详解】解：因为 = |1 + zj z =+1 i = i,所以 Z = y/2 + i 故选：D7 . A【分析】将代入，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解.【详解由，得，则，故选:A.解析：A【分析】将Z = l-/R入亠，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解.l-z【详解】由 z = l-/,得丄=口 =二 = _一，l-Z i I 则已=|-H=J(-=近, 故选：A.8 . B【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可【详解 所以，在复平面内的对应点为，则对应点位于第二象限 故选：B 解析：B【分

13、析】 利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可【详解】1 + 21 ,1 =1-1(l + 2i)(l + i) -3 + 31331所以,Z在复平面内的对应点为则对应点位于第二彖限2 2 2 2故选:B9. B【分析】根据复数的除法运算法则求出复数，然后根据共辄复数的概念即可得解.【详解】 由题意可得，则.故答案为：B 解析：B【分析】根据复数的除法运算法则求出复数Z ,然后根据共轨复数的概念即可得解.【详解】由题意可得z = zfL=,则石=i+i.1 + z (l + i)(l-°'7故答案为：B10 . D【分析】先求出，再求出，直接得复数在复平面内对应的点【详解因

14、为，所以，在复平面内对应点，位于第四象限.故选：D解析：D【分析】先求出Z,再求出亍，直接得复数Z在复平面内对应的点【详解】因为-=n7=1+/,所以2=1-八召在复平面内对应点(1，一1)，位于第四象限.故选：D11. D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而 可得出结果.【详解】9则复数对应的点的坐标为，位于第四象限.故选：D.解析：D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结呆.【详解】vz =(2 + /3)(4-/) = (2-/)(4-/) = 7-6/, 则复数Z对应的点的坐标为(7,-6),位于第四

15、彖限. 故选：D.12. D【分析】设，根据复数对应的向量与共线，得到，再结合求解.【详解】设，则复数对应的向量, 因为向量与共线， 所以， 又，所以，解得或，因为复数对应的点在第三象限，所以，所以，解析：D【分析】设z = a + biWwR,bwR),根据复数乙对应的向量旋与厶= (3,4)共线，得到 4o = 3b,再结合国=10求解.【详解】设 Z = a + bi(ci w R、bw R), 则复数乙对应的向量况=仏b), 因为向量旋与ci = (3,4)共线,所以4a = 3b,又 |z| = 10,所以a2+b2 =100 ci = 6或Vb = 8因为复数Z对应的点在第三彖限,

16、所以 Z = 6 8/, z = 6 + 8/， 故选:D13 . C【分析】根据复数的除法运算，先化简复数，即可得出结果.【详解因为，所以其虚部为.故选:C.解析：c【分析】根据复数的除法运算，先化简复数，即可得出结果.【详解】2 + z (2 + z)(l + f) 2 + 3/-113.=II l-i (!-/)(! + /)22 2所以其虚部为?故选：C.14 . D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得6b值即可求解【详解，故则故选：D 解析：D【分析】 利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b值即可求解【详解】a + 3,(1 +。= 2 + 勿，故。一 3 + 3, = 2 +

17、加则 d 3 = 2,/? = 3 a + b = 8 故选：D15 . B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共觇复数的概念求得,则答案可求.【详解由，得/ 则的虚部是1 故选：.解析：B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轨复数的概念求得石，则答案可求.【详解】由(l+2i)z = 4+引,4 + 3/ 得f厂_ (4 + 3/)(1-2/) _ 10-5/.(1 + 20(1-2°51 9二 Z = 2 +八解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数Z,再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】z的实部为4,虚部为-1,则相差5,z对应的坐标为(4,-1),故

18、z在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD正确， 故选：AD.18 . AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解对选项A ,若复数满足，设，其中，则，则选项A正确；对选项B ,若复数满足，设，其中，且，则”则选项B正确；对选项C ,若复数满足，设解析：AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A,若复数z满足"R，设 y 其中ciwR，则 *R,则选项A正确;对选项B,若复数Z满足-eR，设丄=0,其中gR ,且dHO,ZZ则z = G R,则选项B正确；a对选项C,若复数Z满足reR，设归、则才=IgD 但z = iR.则选项C错误； 对选项D,若

19、复数S $满足SQwR，设© Z2=if则石z2=-1gR, 而Z2=-iZ则选项D错误；故答案选：AB【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轨复数，特值法为解决本题的关键, 属于简单题.19. CD【分析】取特殊值可判断A选项的正误；由复数的概念可判断B、C选项的正误；由复数 模的概念可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，取，贝ij, A选项错误；对于B选项，复数的虚部为，B选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A选项的正误：由复数的概念可判断B、C选项的正误；由复数模的概念 可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，取Z = i,则r=-l<0, A选项

20、错误；对于B选项，复数Z的虔部为'，B选项错误；对于c选项，若Z = l+2z,则x = l, y = 2, C选项正确；对于d选项，国=JF + y?, d选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基 础题.20 . BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解根据题意，中，时，；时，；时，；时选项A中，；选项沖，；选项C中，；选项D中,解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，M =加”7 = i”，wN中，” =时，in =

21、1: = 4k + l(k wN)时，i” =i； n = 4k + 2(kwN)时,i“=i； n = 4k + 3(kwN)时，in = -i, .-.A/ = -1,1,选项 A 中，(1i)(l+i) = 2 空M；选项 B 中，=(1z) =-ieM ；1 + i (l + /)(l-z)选项 D 中，(1-i)2 =-2ieM 故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.21 . AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解A选项,设复数，则，因为，所以，因此，即A正确；B选项，设复数，则，因为，所，

22、若，则；故B错；C选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数 z = ci + bi(a,bE R),贝ij z一bi(a,b w R),因为 y R ,所以b = 0,因此込=a丘R ,即A正确；B 选项，设复数z = a + bi(a,bwR),则 z2 =(a + bi = a2-b2+ 2abi,因为z'wR.所ab = O ,若a = O,Z?HO,则乙电R；故B错；C选项，设复数z = a + bi(ct.beR)9则丄=一=；一需=/_十_Z a + hl 6T+/T6T+/T 6T+b因为-eR9所以一

23、丄=0,即b = 0,所以z = aeR；故C正确；zCT +b D 选项，设复数可=“ + bi(ci.h e R) 9 o = © + di(c,d e R), 则 隔=(a+bi)(c+di) = (acbd)+(加+fec)i,t(a = 1 f c = 2因为 g e R ,所以ad + bc = 0 ,若 , 小能满足cid + bc = O ,但 H z八b = l a =-2故D错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.22 . AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出,再逐项判断后可得正确的选项.【详解,故”故A

24、正确.的虚部为，故B错，故C错，在复平面内对应的点为，故D正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出Z,再逐项判断后可得正确的选项.【详解】3 +2/(3 + 2i)(2 + i)4 +7/47i47z, a _ .2-z55555Z的虚部为I,故B错，| |= 丁16 + 49=应工3,故c错，、1 155(4 7Z在复平面内对应的点为，故D正确.故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数z = a+biaybeR)的虚部为b,不是加，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轨复数.23 AC【分析】根据复数的有关概念

25、和充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立,故正确;对于:若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共辘复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解：对于A：复数z = a+bi(aybeR)是实数的充要条件是b = 0,显然成立，故人正确；对于B：若复数Z = a + bi(a,bwR)是纯虎数则a = 0且bHO,故B错误；对于C：若互互为共轨复数，设勺=c/+勿仏b丘尺)，则乙2=a-bi(a,bwR),所 以勺 =(«+Z?/)(«-Z?Z)= 6f2 -b2i2 = a2

26、+F 是实数，故C 正确：对于£：若勺，$互为共轨复数，设乙严a+bi(ci,bwR),则o=a_bi(a,bwR),所 对应的坐标分别为(。上)，(G-b),这两点关于x轴对称，故D错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关 键，属于基础题.24. ABD【分析】根据残差的计算方法判断A,根据相关指数的性质判断B,根据复数的模长公式 判断C,根据否定的定义判断D.【详解】当时，则该方程相应于点(2, 29)的残差为，则A正确；在两个变量解析：ABD【分析】根据残差的计算方法判断A,根据相关指数的性质判断B,根据复数的模长公式

27、判断C,根 据否定的定义判断D.【详解】当x = 2时，$ = 9.4x2 + 9.1 = 27.9,则该方程相应于点(2, 29)的残差为29 27.9 = 1.1,则 A 正确：在两个变量y与x的回归模型中，用的值越人，模型的拟合效果越好，则b正确;Z = 1 - 同=+(_1) = y/2 则 c 错误；由否定的定义可知，D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了残差的计算，求复数的模，特称命题的否定，属于中档题.25 . AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可 判断B选项的正误；计算出复数，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项 的正误.【

28、详解对于A选项贝匚可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫邛定理可判断B选 项的正误；计算出复数亍，可判断C选项的正误；计算出才，可判断D选项的正误.【详解】对于 A 选项，z = r(cos8+isin&),则 z2=r2 (cos2+1sin2),可得Z2| = |r2 (cos2+/sin2)| = r2, |2 = |r(cos+zsin)|' = r2, A 选项正确;对于B选项，当r = 1, e = g时，F = (coszsin)3 = cos34-/sin3 = cos<T+/sm = -l, B 选项错误；对

29、于 C 选项，当? = 1, & = £ 时，z = cos + /sm=丄则 z = i» C 选3332222项正确；对于 D 选项，z" = (cos& +ism。)" = cosn0 + isinnO = cos + /sm ,4 4取“ = 4,贝川为偶数，则z4二cos;r+jsin/r = 1不是纯虚数，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轨复数的运算，考查计算能力，属于中 等题.26 . BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解因为复数满足,所以所以

30、”故A错误；”故B正确；复数的实部为，故C错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】:,再逐项验证判断.因为复数乙满足Z(2 1)二1,利用复数的除法运算化简为Z =【详解】因为复数Z满足z(2-l) = l,i z（2 + z） 12.所以Z-（2_i）（2 + i） _5 + 5Z卡，故A错误;复数込的实部为J,故C错误;1 21 复数Z对应复平面上的点-7，二在第二彖限，故D正确.I 5 3丿故选：BD【点睛】 本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基 础题.27 . AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A选项；根据实数、复数的运算、以及

31、共觇复数的定 义即可判断BCD选项.【详解解：对于A ,若为纯虚数，可设，则，即纯虚数的共觇复数等于，故A正确；对于B解析：AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A选项：根据实数、复数的运算、以及共轨复数的定义即可判 断BCD选项.【详解】解：对于A,若Z为纯虚数，可设乙=勿0工0),贝心=_仃=_2，即纯虚数乙的共轨复数等于-乙 故A正确：对于 B,由 Z + Z2 = 0,得出 ZL = -Z2 ,可设石=l + i,则 Z2=-l-Z,则 1 + /，此时© H Z?，故B错误；对于 C,设=a + bi,z2 =c+di,则zL + Z2 =(« + c) + (Z?+r7)Z eR,则b + d = 0,但不一定相等，所以勺与。不一定互为共轨复数，故C错误；对于D,石一0=0,则Z=乏，则$与：互为共轨复数，故D正确.故选：AD.【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和 共辘复数的定义，属于基础题.28 . AB【分析】由复数的代数形式的运算,逐个选项验证可得.【详解解