第二章多元函数微分法及其应用第三节多元函数微分法

1、第三节第三节 多元函数微分法多元函数微分法一一 复合函数微分法复合函数微分法二二 隐函数微分法隐函数微分法一一 复合函数微分法复合函数微分法1 链式法则链式法则定理定理)(tu )(tv t如果函数如果函数及及都在点都在点可导，可导，),(vufz ),(vu函数函数在对应点在对应点具有连续偏具有连续偏导数，导数，)(),(ttfz t则复合函数则复合函数在对应点在对应点可导，可导，dtdvvzdtduuzdtdz 且其导数可用下列公式计算：且其导数可用下列公式计算：zuvtdtdzuz dtduvz dtdv,21vuvvzuuzz 01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 ,dtd

2、utu ,dtdvtv 证证()( ),uttt 则则);()(tttv tt 设 获得增量，设 获得增量，.lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. .如如dtdzuvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数dtdzuz dtduvz dtdvwz dtdw 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：函数的情况：).,(),(yxyxfz ,xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz ),(yxu ),(yxv ),(yx

3、xy如果如果及及都在点都在点对对具有具有和和的偏导数，的偏导数，),(vufz ),(vu且函数且函数在对应点在对应点具有连续偏导数，具有连续偏导数，),(),(yxyxfz ),(yx则复合函数则复合函数在对应点在对应点的两个偏导数存在，的两个偏导数存在， 且可用下列公式计算且可用下列公式计算uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv zwvuyxxz 类似地再推广，类似地再推广，),(),(),(yxwyxyxfz ),(yx在对应点在对应点的两个偏导数存在，的两个偏导数存在，则复合函数则复合函数),(wvuf在对应在对应点点),(wvu

4、处一阶偏导数连续，处一阶偏导数连续，uz xu vz xv wz xw yz uz yu vz yv wz yw 、),(yxu 、),(yxv ),(yxww ),(yxxy都在点都在点具有对具有对和和的偏导数，的偏导数，设设且可用下列公式计算且可用下列公式计算 特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw两者的区别两者的区别区别类似区别类似解解 xz uzxu vzxv veusin ),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cos

5、sin vexveuu).cossin(vvxeu y veucos 1 解解dzdt v ttetettcossincos .cos)sin(costttet z duu dt z dvvdt zt teu )sin(t tcos 例例3 3设设(1),xyzxy 求求,zzxy解解令令1,uxy vxy则则vzu zx 1vvu 1() (1)xyxy xxy (1)ln(1)xyxyxy 同理同理zy 1() (1)xyxy yxy (1)ln(1)xyxyxy zuu x zvv x ylnvuu 1 例例4 4设设2(,),zf xy x y计算计算2,zx y 其中其中f二阶二阶偏

6、导数连续。偏导数连续。解解令令2,uxy vx y为方便起见记为方便起见记1( , ),f u vfu 2112( , ),ff u vfvu v 同理有同理有21122,fff则则zfufvxu xvx 1f 在计算含有抽象复合函数的偏导数是应当注意在计算含有抽象复合函数的偏导数是应当注意1 1）要学会分析函数的复合关系）要学会分析函数的复合关系2 2）将导数的四则运算复合运算分开做，不宜混为）将导数的四则运算复合运算分开做，不宜混为一谈一谈. .2f 2xy3) 3) 在计算高阶偏导数时在计算高阶偏导数时, ,要注意要注意12,ff仍保持仍保持f的的复合关系复合关系. .2122zfxyf

7、x yy 1fy 111ffufvyuyvy222ffufvyuyvy21112fx f2321112222(2)2xffxxy fx yf2222fxfxyy 11f 12f 2x22122fx f22xf 221222()xy fx f例例5 5 设设( ,),yzxf xx 求求222,.zzx yx 解解zffxxxf 12yfxffx22zfxx 122yffx1f 22yfx 11122()yx ffx21222()yyffxx21111222322yyfxfffxx二阶偏导连续二阶偏导连续f11ffxx 222yy ffxxx 122()yx ffx2zx y fy 1fxy 2

8、21y ffxxy 21fx 121xfx 21fx 221yfx x 12222yffx例例6 6设函数设函数( )f u二阶可导，二阶可导，2(),yzx fx 求求2.zx y 解解zx 注意这里出现的抽象函数注意这里出现的抽象函数( )f u为变量为变量()yux 的一元函数的一元函数. .2xf 2xf 12zyfxffxx 2xf2x fx 2()yx 2xfyf 22zfxx yy ffyy 12xfx f 1yfx yffx222, 1ln,ln),(dtzdtvtuvutfz求求设设 1fdtdz 例例7 7 解解 其中其中),(vutf二阶偏导数连续。二阶偏导数连续。t12

9、f ttln23f 131211ln21fttftf 22dtzd221ft )ln21(232221fttftf t1 32)ln1(2ftt ttln2 )ln21(333231fttftf 2222213121111ln42ftftfttftf 解解 xw1f2f yz zxw2)(21yzffz zf 1 zf111f zf212f xy21f22f xy1211xyff 2yf )(2221xyffyz .)(22221211yfzfxyfzxyf zfyzyf 22例例9设设),(xyxfz 求求其中其中)(uf二阶可导。二阶可导。解解 xzffx )(2xy fxyf 22xzf

10、 )(2xy fxy 2fxy )(2xy fxy 32 yzfx x1f 22yzf x1222222yzyxzx 222222yzyxzx fxy 2fxy 20 2 2 全微分形式不变性全微分形式不变性),(vufz dvvzduuzdz 、),(yxu ),(yxv 设函数设函数具有连续偏导数，具有连续偏导数，当当时，时，则有全微分则有全微分如果如果vu,是自是自变量，变量，由于由于dyyzdxxzdz dxxvvzxuuz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 全微分形式不变形的实质：全微分形式不变形的实质：dvvzduuzdz 它的全

11、微分形式是一样的它的全微分形式是一样的.zvu、vu、是自变量是自变量的函数，的函数，的函数，的函数，或中间变量或中间变量无论无论一阶全微分形式不变性一阶全微分形式不变性例例1010利用全微分形式不变性可以计算较复杂函数的利用全微分形式不变性可以计算较复杂函数的一阶一阶( (偏偏) )导数导数. .设设( , , ,),zf x y u w ( , ),( , , )ug x y wh x y u求求,.zzxy解解dz 12f dxf dy12312()f dxf dyfg dxg dy312()fg dxg dy4123()fhdxh dyh du412(fh dxh dy312()h g

12、 dxg dy1234f dxf dyf duf dw13141431()ff gf hf h g dx23242432()ff gf hf h g dy13141431zff gf hf h gx 23242432zff gf hf h gy . .12312()f dxf dyfg dxg dy412(fh dxh dy312()h g dxg dy1 一个方程的情形一个方程的情形二二 隐函数的微分法隐函数的微分法0),( yxf1）yxffdxdy 隐函数存在定理隐函数存在定理1),(yxf),(00yxp设函数设函数在点在点的某一邻域内具有连续的偏导数，的某一邻域内具有连续的偏导数，,

13、 0),(00 yxf, 0),(00 yxfy且且0),( yxf),(00yxp),(xfy 一一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数则方程则方程在点在点的某的某的函数的函数),(00 xfy 它满足条件它满足条件0)(,( xfxf并有并有解法解法1令令则则,arctanln),(22xyyxyxf ,),(22yxyxyxfx ,),(22yxxyyxfy yxffdxdy .xyyx 解法解法2视方程中视方程中y为为x函数，函数， 方程两边对方程两边对x求导求导)(222yx yyx 2221 xy2xyyx .xyyxy 解解令令

14、1),(22 yxyxf则则,2xfx ,2yfy , 0)1 , 0( f, 02)1 , 0( yf函数的一阶和二阶导数为函数的一阶和二阶导数为yxffdxdy , 00 xdxdy,yx 22dxyd2y xy y 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd0),( zyxfzxffxz zyffyz 隐函数存在定理隐函数存在定理2),(zyxf),(000zyxp设函数设函数在点在点的某一邻域内有连续的偏导数，的某一邻域内有连续的偏导数，, 0),(000 zyxf, 0),(000 zyxfz且且0),( zyxf),(000zyxp),(yxfz 在点在点的某一邻域内恒能唯一

15、确定一个单值连续且具有连续的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏偏则方程则方程导数的函数导数的函数),(000yxfz 它满足条件它满足条件且且, 0),(,( yxfyxf并有并有2)解法一解法一视方程视方程02 zxyeze中中z为为yx,的函数，的函数，方程两边分别关于方程两边分别关于yx,求偏导数，求偏导数，xye y 2zx ze xz 0 xz2xyzyee xye x 2zy ze yz 0 yz2xyzxee dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( 解法二解法二, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzex

16、yz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe解法三解法三解法解法1令令则则,4),(222zzyxzyxf ,2xfx , 42 zfzzxffxz 22xz 2)2(z 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz xz )2()(xz ,2zx 对关系式对关系式x2z2 xz xz 40 两边关于两边关于x再求再求一次偏导数，一次偏导数，2xz 2xz 222xzz 224xz 0 22xz zxz 2)(12,2zxxz .)2()2(322zxz 解法解法2视方程视方程04222 zzyx中的中的z为为、xy的函数，

17、的函数，方程两边对方程两边对x求偏导数，求偏导数，,2zxxz x2z2 xz xz 40 0 思路：思路：解解令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz 把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得yx xz uf vf 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 0vf )1(xz ),(xzxyyz uf )1( yx),(yxyzxz 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx ),(xyzzyxfz 1vf 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff uf )1( zy),(zyxzxy ),(xyzzyxfz 2 2 方程组所确定的隐函数组及其导数方程

18、组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. . 0),(0),(vuyxgvuyxf ),(),(yxvvyxuu由由 f f、g g 的偏导数组成的行列式的偏导数组成的行列式vuvuggffvugfj ),(),(以两个方程确定两个隐函数的情况为例以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , , 即即称为称为gf,的的雅可比雅可比( jacobi )行列式行列式.定理定理3.3.,0),(0000 vuyxf的某一邻域内具有连续偏的某一邻域内具有连续偏设函数设函数),(0000vuyxp),(, ),(vuyxgvuyxf则方程组则方程组0),(,