河海大学理学院高等数学91二重积分的概念与性质

1、 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第九章 重积分 高等数学（上）高等数学（上） 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第一节 二重积分的概念与性质 高等数学（下）高等数学（下）柱体体积柱体体积= =底面积底面积高高特点：平顶特点：平顶. .柱体体积柱体体积= =？特点：曲顶特点：曲顶. .),(yxfz d曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出 高等数学（下）高等数学（下）步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyod),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的

2、底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，.),(lim10iiniifv 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 高等数学（下）高等数学（下）播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 高等数学（下）高等数学（下） 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 高等数学（下）高等数学（下） 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 高等数学（

3、下）高等数学（下） 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 高等数学（下）高等数学（下） 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 高等数学（下）高等数学（下） 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 高等数学（下）高等数学（下） 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画

4、演示 高等数学（下）高等数学（下） 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域d，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在d上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(ii将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniim xyo4步步:划分划分,取点取点作乘积作乘积,求和求和,取极限取极限. 高等数学（下）高等数学（

5、下）定定义义 设设),(yxf是是有有界界闭闭区区域域 d上上的的有有界界函函数数，将将闭闭区区域域d任任意意分分成成 n个个小小闭闭区区域域1 ，,2 ，n ，其其中中i 表表示示第第 i个个小小闭闭区区域域，也也表表示示它它的的面面积积， 在在每每个个i 上上任任取取一一点点),(ii ， 作作乘乘积积 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ， 并并作作和和 iiniif ),(1， 二、二重积分的概念 高等数学（下）高等数学（下）如如果果当当各各小小闭闭区区域域的的直直径径中中的的最最大大值值 趋趋近近于于零零时时， 这这和和式式的的极极限限存存在在， 则则称称此此极极限限为为函

6、函数数),(yxf在在闭闭区区域域d d 上上的的二二重重积积分分， 记记为为 ddyxf ),(， 即即 ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . 高等数学（下）高等数学（下）与定积分概念对比与定积分概念对比4定积分定义： 上定义，上定义，在在baxf,)(bxxxan 121) 1划划分分： iiiiixfxx ）（）取取点点作作乘乘积积： ,21 10:3niiixf）（）求求和和 100lim:4niiixf）（）取取极极限限 baniiidxxfxf)(lim:4100）（）取取极极限限 高等数学（下）高等数学（下）(1) 在在二二重重积积分分定定义义中中，对对闭闭区区

7、域域的的划划分分是是任任意意的的. (2)当当),(yxf在在闭闭区区域域上上连连续续时时，定定义义中中和和式式的的极极限限必必存存在在，即即二二重重积积分分必必存存在在.对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时当被积函数大于零时,二重积分是曲顶柱体的体积二重积分是曲顶柱体的体积当被积函数小于零时当被积函数小于零时,二重积分是曲顶柱体的体积二重积分是曲顶柱体的体积的负值的负值 总之，总之，二重积分是曲顶柱体体积的代数和二重积分是曲顶柱体体积的代数和 高等数学（下）高等数学（下）注注：在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网在直角坐标系下用平

8、行于坐标轴的直线网 来划分区域来划分区域 d， dddxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为若在若在 d 上，上，f const a，则则的面积daadxdy特别地，特别地，a 1，可得，可得的面积ddxdy 高等数学（下）高等数学（下）定积分性质定积分性质41)线性性：42)区间可加性： 3)44)单调性： f,g连续时，可改为。45)估值th：46)积分中值th： bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(, 常常数数， cabcbaabdxba 1 babadxxgdxxfgf)()( baabmdxxfa

9、bmmmxf)()()(,)( 有有上上下下界界 baabfdxxfxf)()()( 连连续续 高等数学（下）高等数学（下）性质性质 当当 为常数时为常数时，k.),(),( dddyxfkdyxkf 性质性质 ddyxgyxf ),(),(.),(),( dddyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质 高等数学（下）高等数学（下）性质性质 对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 ddddyxfdyxfdyxf 性质性质 4若在若在d上上),(),(yxgyxf .),(),( dddyxgdyxf 特殊地特殊地.),

10、(),( dddyxfdyxf )(21ddd 则有则有gf , 高等数学（下）高等数学（下） 设设m、m分分别别是是),(yxf在在有有界界闭闭区区域域 d上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 为为 d 的的面面积积，则则 性质性质 5设设函函数数),(yxf在在有有界界闭闭区区域域 d上上连连续续， 为为d的的面面积积，则则在在 d 上上至至少少存存在在一一点点),( 使使得得 性质性质 6（二重积分中值定理）（二重积分中值定理） dmdyxfm),( ),(),(fdyxfd（二重积分估值定理）（二重积分估值定理） 高等数学（下）高等数学（下）例例 1 1 不不作作计计算算，估估计计

11、deidyx )(22的的值值， 其其中中d是是椭椭圆圆闭闭区区域域： 12222 byax )0(ab .在在d上上 2220ayx , ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知,222)(adyxede 解解 dedyx)(22 ab.2aeab 区区域域d的的面面积积 , ab 高等数学（下）高等数学（下）例例 2 2 估估计计 dxyyxdi16222 的的值值，其其中中 d： 20, 10 yx.区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在d上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxm),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故42

12、52 i. 5 . 04 . 0 i解解 高等数学（下）高等数学（下）例例 3 3 判判断断 122)ln(yxrdxdyyx的的符符号号.当当1 yxr时时, 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;于是于是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解 高等数学（下）高等数学（下）例例 4 4 比较积分比较积分 ddyx )ln(与与 ddyx 2)ln(的大小的大小, 其中其中 d 是三角形闭区域是三角形闭区域, 三顶点各为三顶点各为(1,0),(1,1), (2,0).解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在 d内内有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此