南航理学院复变函数与积分变换167;36

1、6 6 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数内内 容容 简简 介介 本节研究解析函数的无穷次可导性，并导本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点与实变函数有本质区别。一点与实变函数有本质区别。求求导导得得两两边边在在积积分分号号下下对对对对积积分分公公式式0000)()(21)(zdzdzzzzfizfc cdzzzzfizf200)()(21)( cdzz

2、zzfizf300)()(2!2)( ), 2 , 1()()(2!)(100)( ndzzzzfinzfcnn 形式上，形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。以下将对这些公式的正确性加以证明。.,)(), 2 , 1()()(2!)(,)(000)(1dzdzfcndzzzzfinzfnzfcnn 而而且且它它的的内内部部正正向向简简单单闭闭曲曲线线的的内内围围绕绕的的解解析析区区域域为为在在其其中中阶阶导导数数为为它它的的的的导导数数仍仍为为解解析析函函数数解解析析函函数数 定理定理证明证明 用数学归纳法和导数定义。用数学归纳法和导数定义。zzfzzfzfdznz )()(lim)(

3、.100000的的情情形形先先证证 cdzzzzzfizzf 00)(21)( cdzzzzfizf00)(21)( 由由柯柯西西积积分分公公式式 cccdzzzzzzzfidzzzzfdzzzzzfzizzfzzf)()(21)()(21)()(000000 令为令为i ccdzzzzzzzzfidzzzzfi20020)()(21)()(21 ccdszzzzzzfzdzzzzzzzzfi200200)(21)()(21 0( )( )1,( ),min,2z cf zcf zcmf zm dzzzd 在 上解析，在 上连续则取则有dzzzdzzzzzzdzzdzz21,211,00000

4、 ）（*)()(21)()(lim)( 200000 czdzzzzfizzfzzfzf 从从而而有有显显然然，的的长长度度）,0lim(03 icldmlziz .2)()(的情形的情形的方法可证的方法可证式及推导式及推导再利用再利用 n000030()()()lim2!( ),2()zcfzzfzfzzf zdzizz 依次类推，用数学归纳法可得依次类推，用数学归纳法可得 cnndzzzzfinzf100)()()(2!)( .,)()(无无穷穷次次可可导导内内解解析析即即在在具具有有各各阶阶导导数数内内在在内内解解析析平平面面上上在在定定理理表表明明 ddzfdzzf一个解析函数的导数仍为解析函数。一个解析函数的导数仍为解析函数。 czcdzzedzzzrzc225)1()2)1(cos)11: 求求下下列列积积分分值值例例1iizidzzzzzc12)(! 42)(cos!152)1(coscos)1541)4(5 ）（在全平面处处解析在全平面处处解析解解的的内内部部不不相相交交且且在在取取处处不不解解析析在在cccizcizcizzez21221122,:.)1()2 21222222)1()1()1(czczczdzzedzzedzze 212222)()()()(czczdzizizedz