勾股定理经典例题(全解版)

1、类型一：勾股定理的直接用法1、在 RtAABC 中，/ C=90°(1)已知 a=6, c=10,求 b,(2)已知 a=40, b=9,求 c； (3)已知 c=25, b=15,求 a.思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1)在4ABC 中，/ C=90(2)在4ABC 中，/ C=90° ,(3)在4ABC 中，/ C=90° ,a=6, c=10,b=J二一q=8 a=40, b=9,c=八 =41c=25, b=15,a=V。=20精选文档举一反三【变式】:如图/ B=/ACD=90° ,AD

2、=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少 【答案】一/ ACD=90AD =13, CD=12AC2=AD 2 CD2 =132-122二25AC=5又. / ABC=90 ° 且 BC=3由勾股定理可得AB2=AC2 BC2=52-32=16 AB= 4AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在&4EC中，/8 = 60°,43=30.求：bc的长思路点拨：由条件/§ = 60口，想到构造含3。口角的直角三角形，为此作乂灯,8°于d,则有口 B£) = -AB=BAD = 30° ,2,再由勾股定理计

3、算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作儿于D,则因4二£。乙切口三90口一60°三3。口(BA的两个锐角互余)BD = -AB=A5口2(在益中，如果一个锐角等于-那么它所对的直角边等于斜边的一半).根据勾股定理，在 及84Ao中，AD= 7301? = 6后根据勾股定理，在 选A工CD中，CD= JAC2- AD2 =力O3-15（3=65- 5C = 5D + W=65 + 15 = 80举一反三【变式1】如图，已知：NC三90©, AM = CM ,泌_LdF于p.求证：BF，=AP，BC，.解析：连结BM,根据勾股定理，在 出匕EMP中，BP2 =

4、 BM2-PM2 .而在及44Mp中，则根据勾股定理有MP2 = AM2- AP2 .一 一:,- 一 ：/! I 又. AM = CM （已知），.一二 一 L 匚 I .在XF 中，根据勾股定理有.上IO【变式2】已知:,/ A=60 ° ,分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AB=4 , CD=2。求：四边形 ABCD的面积。AC,或延长 AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。. / A=/60° , / B=90° AE=2AB=8 , CE

5、=2CD=4/ E=30 ° 。BE2=AE2-AB2=82-42=48,be=T=45d DE=412 =2、回。1 1二 S 四边形 abcd =Saabe -Sa cde =AB ' BE-2 CD , DE= DE2= CE 2-CD2=42-22=12类型三：勾股定理的实际应用RE（一）用勾股定理求两点之间的距离问题A点出发，沿北偏东 60。方向走了 5叩后m到达B点，然后再沿3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地北偏西30°方向走了 500m到达目的地 C点。（1）求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。解析：（1）过B点作B

6、E/AD/ DAB= / ABE=60 °,30° + /CBA+ /ABE=180 °/ CBA=90 °即 ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m , AB=5口口底H由勾股定理可得：AC 3 = BC 3 + AB J所以+ -r-1.-：.-T1,(2)在 RtAABC 中，BC=500m, AC=1000m/ CAB=30 °/ DAB=60/ DAC=30即点C在点A的北偏东30°的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？CH.

7、如图所示，点D在【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于离厂门中线0.8米处，且 CDXAB,与地面交于 H.解：OC = 1米（大门宽度一半），OD = 0.8米 （卡车宽度一半）在RtAOCD中，由勾股定理得:CD=J«_CZJ2_O 或=0.6 米,CH= 0 .6 + 2 .3 = 2 .9 （米）2 .5 （米）.因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.（二）用勾股定理求最短问题A、4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄 B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现

8、计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如 图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结 论.解析：设正方形的边长为 1,则图（1）、图（2）中的总线路长分别为AB+BC+CD =3, AB+BC+CD =3图（3）中，在RtAABC中AC =标万舒二血同理,- -，图（3）中的路线长为 ：-；图（4）中，延长 EF交BC于H,则FHXBC, BH=CH30。班=-由/ FBH=2及勾股定理得:史EA = ED = FB= FC= 3乖e EF= 1 -2FH = 1-

9、$，此图中总线路的长为4EA+EF = 1+ 43 咫 2JS2'3>2.828>2.732图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线.举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm, B C是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.解:(提问：勾股定理).ac= 2a = 10. 77( cm)(勾股定理)答：最短路程约为10.77cm.类型四：利用勾股定理作长为 赤 的线段立,直角边为点和1的直角三角形斜边5、作长为收、用、出的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为 1的等腰直角三角形，斜边长就等于

10、长就是用,类似地可作 右。作法：如图所示ACB,使AB为斜边；1的直角,砧A。斜边为生* ;皿”这样斜边疑、幽、'邑、.娟的长度就是(1)作直角边为1 (单位长)的等腰直角(2)以AB为一条直角边，作另一直角边为(3)顺次这样做下去，最后做到直角三角形a/3a/5、 、 、 。举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析：可以把 师 看作是直角三角形的斜边,为了有利于画图让其他两边的长为整数，3和1。而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3 ,作ACXOA且截取AC=1 ,以OC为半径,以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为 航。类型五：

11、逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1 .原命题：猫有四只脚.（正确）2 .原命题：对顶角相等（正确）3 .原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.（正确）4 .原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.（正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2 .逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3 .逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.？（正确）4 .逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（正确）总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果AABC的三边分别为a、b、c

12、,且?t足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ,判断A ABC的形状。思路点拨：要判断A ABC的形状，需要找到 a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b 2+c2+50=6a+8b+10c ,故只有从该条件入手，解决问题。解析：由 a2+b 2+c2+50=6a+8b+10c ,得：a2-6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0, （a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0。（a-3）2>0, （b-4）2> 0, （c-5）2>0oa=3, b=4, c=5。32+42=52, a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得A ABC是直角三角形。总结

13、升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常要用到。举一反三【变式1】四边形ABCD中，/ B=90° , AB=3 , BC=4 , CD=12 , AD=13 ,求四边形 ABCD的面积。【答案】：连结AC . / B=90° , AB=3 , BC=4 . AC2=AB 2+BC2=25 （勾股定理）AC=5 AC2+CD 2=169, AD 2=169AC2+CD 2=AD 2/ ACD=90（勾股定理逆定理）【变式2】已知： ABC的三边分别为 m2n2,2mn,m2+n 2（m,n为正整数，且m >n）,判断 ABC是否为直角三

14、角形分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明：a2+ b2=c2即可证明：.一 ： I '1 I所以 ABC是直角三角形.AB。【变式3】如图正方形 ABCD , E为BC中点，F为AB上一点，且BF=请问FE与DE是否垂直？青说明。DE ±EFo证明：设 BF=a,贝U BE=EC=2a, AF=3a , AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;DE 2=CE 2+CD 2=4a2+16a2=20a2。连接DF （如图）DF 2=AF 2+AD 2=9a2+16a2=25a2。df2=ef2+de2,FE± DE o经典例题精析类型一：勾股

15、定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3: 4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理 列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是3x, 4x,根据题意得：（3x） 2+ （4x） 2= 202化简得x2= 16;，直角三角形的面积= 上X 3xX 4x= 6x2= 96总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。举一反三【变式1】等边三角形的边长为 2,求它的面积。【答案】如图，等边 ABC,作ADLBC于D2则

16、：bd=2bc （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合） AB=AC= BC= 2 （等边三角形各边都相等）BD = 1在直角三角形 ABD 中，AB2 = AD2+BD2,即：AD2=AB2- BD2= 4-1 = 3AD = '1Sa abc= Z BC - AD = F"注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为乖a,则其面积为二a。【变式2】直角三角形周长为 12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x, v,根据题意得：无+) + 5 = 12(1)八,一由(1)得：x+y = 7,(x+y) 2= 49, x2+2x

17、y+y 2= 49 (3)(3)(2),得：xy= 121 1，直角三角形的面积是 之xy= 2 x 12=6 (cm2)【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1 , n+2, n+3 ,求n。思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长 n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：(n+1 ) 2+ (n+2) 2= (n+3) 2化简彳导:n2= 4，n=±2,但当 n = 2 时，n+1 = 1<0 ,，n = 2总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜 边的情况下，首先要先

18、确定斜边，直角边。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是()A、8,15, 17B、4,5,6C、5,8,10 D、8,39,40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用 c2=a2+b2的变形：b2= c2 a2= (ca) (c+a)来判断。例如：对于选择 D,82w ( 40+39) X ( 4039),.以8, 39, 40为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。【答案】：A【变式5】四边形ABCD中，/ B=90° , AB=3 , BC=4, CD=12 , AD=13 ,求四边形 ABCD的面积。BC+ 2 AC - CD=3

19、6解：连结AC / B=90 ° , AB=3 , BC=4.AC2=AB2+BC2=25 (勾股定理).AC=5. AC2+CD2=169, AD 2=169/ ACD=90 ° (勾股定理逆定理)1 1.AC2+CD2=AD 2S 四边形 abcd =Saabc+Saacd =AB ,类型二：勾股定理的应用2、如图，公路 MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN=30° ,点A处有一所中学，AP=160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度

20、为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于 100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段 AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 精选文档A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作ABMN ,垂足为B。在 RtMBP 中，. / ABP = 90° , / APB=30° , AP= 160,JAB=2aP=80。(在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半)点 A

21、到直线MN的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶到点 C处学校开始受到影响，那么 AC=100(m), 由勾股定理得：BC2= 1002-802 = 3600/. BC=60。同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD=100(m), BD = 60(m),CD = 120(m)。拖拉机行驶的速度为：18km/h = 5m/st = 120m+ 5m/s = 24&答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。总结升华：勾股定理是求线段的长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件，则可以

22、通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走 “捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 步路(假设2步为1m),却踩伤了花草。解析：他们原来走的路为 3+4 = 7(m)设走“捷径”的路长为xm,则£ =万+ M = 5故少走的路长为 7 5= 2(m)又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了 4步路。【答案】4【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为 形称为单位正三角形。1的正三角形，这样的三角(1)(2)(3)直接写出单位正三角形的高与面积。图中的平行四边

23、形 ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少?求出图中线段 AC的长(可作辅助线)精选文档【答案】(1)单位正三角形的高为2 ,面积是224(2)如图可直接得出平行四边形 ABCD含有24个单位正三角形,o24 X- =(3)过A作AKBC于点K (如图所示)，则在RtAACK中,类型三：数学思想方法(一)转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决.3、如图所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC , D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且 DE，DF,若BE=12 , CF=5.求线段 EF的长。B思路点拨：现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形 的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD .解：连接AD .因为/ BAC=90° , AB=AC . 又因为 AD为 ABC的中线，所以 AD=DC=DB . AD ± BC.且/ BAD= / C=45° .因为/ EDA+ /ADF=90 ° , 又因为/ CDF+ / ADF=90 ° .所以/ EDA= /C