现代数字信号处理

1、博士研究生入学考试大纲考试科目名称：现代数字信号处理一、 考试要求：要求考生全面系统地掌握现代数字信号处理的理论、算法及实现方法，并且能够综合应用所学的知识分析和解决问题的能力。二、考试内容：1）离散时间信号与系统基础理论a: 线性移不变系统的线性移不变和时域因果稳定性的判定；b：z正变换和其反变换的计算方法；c：z变换的收敛域及z变换的性质；d: DFT的定义、重要性质及应用；e: 基-2 DITFFT和基-2 DIFFFT算法的基本思想及特点（算法思想，运算量，运算流图，结构规则等）。2) 数字滤波器的基本结构及设计方法a：用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器；b：FIR 数字滤波器窗函

2、数的设计方法及特点，窗长对频谱的影响。3) 平稳随机信号a: 平稳随机信号定义及其特征描述；b: 均值、自相关函数计算及平稳性的判断；c: 平稳随机信号通过线性系统输出估计（包括自相关函数和功率譜等）；d: 平稳随机信号的各态遍历性的相关知识。4) 功率譜估计a: 自相关函数的估计方法；b: 经典功率譜估计的基本方法；c: 直接法和间接法估计的质量；d: 平稳随机信号的参数模型；e: AR模型的正则方程与参数计算； 三、试卷结构：题型结构a: 定理、概念应用及基本计算题b: 综合计算、分析题四、参考书目程佩青，数字信号处理教程（第二版），清华大学出版社，2001胡广书，数字信号处理-理论、算法

3、与实现（第二版）下篇，清华大学出版社，2003现代数字信号处理l 沈阳工业大学2009年博士招生（二）一、 填空（每空1分，共15分）1、 单位脉冲响应分别为和的两线性系统相串联，其等效系统函数时域及频域表达式分别是=，=。2、 两个有限长序列和长度分别是和，在做线性卷积后结果长度是。3、 若系统有一个移变的增益，则此系统一定是移变系统。4、 一个因果稳定系统的系统函数的全部极点必须在z平面的单位圆内。5、 滤波器的信号流图表示中，输入节点又称为源节点。6、 FFT算法可以分为两大类，即按时间抽选法和按频率抽选法。7、 设计FIR滤波器时，对窗函数要求窗谱主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带；尽量减

4、少窗谱最大边瓣的相对幅度，这样可使肩峰和波纹减少。8、 对随机信号估计的偏差为；若，则称为的无偏估计；如有，则称为的渐近无偏估计。9、 随机信号的功率谱表现的是信号功率随频率的变换情况。对平稳随机信号X(n)，它的自功率谱是平稳随机信号X(n)自相关函数的傅里叶变换。二、 简答题（每题2分，共20分）1、 什么是周期序列，并判断的周期性。答：周期序列的定义是：对于一个正整数N，如果序列满足，其中m为任意整数，则我们称序列为周期序列，满足该式的最小正整数N即称序列的周期。根据周期序列的定义可以判断，序列是周期序列，其周期大小为14。2、 用DFT计算连续时间信号时可能出现频谱泄露的问题，试述减小

5、频谱泄露的方法。答：减小频谱泄露的方法是提高频谱的物理分辨率，即在采样频率不变的前提下，尽量增加连续时间信号的有效采样点数（采样总时长）和DFT计算的点数，使DFT相邻谱线间隔尽可能的小。3、 说明傅里叶变换与拉普拉斯变换，以及傅里叶变换与z变换之间的关系。答： 连续时间信号的拉普拉斯变换的定义式是：，（其中拉普拉斯算子s是复数，代表的物理含义为模拟角频率）；而的傅里叶变换的定义式是：，可以看出，连续时间信号的傅里叶变换是其拉普拉斯变换在s平面虚轴上的特例，它表明信号各种频率分量（包括幅度和相位）随角频率的分布情况。而对于离散时间序列而言，其z变换的定义式是：，（其中算子z是复数，代表的物理含

6、义为数字角频率）；而的傅里叶变换的定义式是：，可以看出，序列的傅里叶变换是其z变换在z平面单位圆上的特例，它表明信号各种频率分量（包括幅度和相位）随角频率的分布情况。4、 如果IIR滤波器的有理系统函数表示为，则用直接I型结构和直接II型结构分别需要多少级延时单元？答：用直接I型结构需要M+N级延时单元，用直接II型结构需要maxM，N级延时单元。5、 说明频域抽样不失真的条件。答：对于M点的有限长序列，频域抽样不失真的条件是频域抽样点数N要大于等于M，即：NM。6、 FIR滤波器具有线性相位的条件是什么？答：FIR滤波器的单位脉冲响应的长度若为N，则其具有线性相位特征的条件是：（1）I类线性

7、相位FIR滤波器：；或（2）II类线性相位FIR滤波器：。7、 说明无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的特点。答：（1）单位脉冲响应无限长；（2）系统函数具有非0极点；（3）系统具有递归结构；（4）一般都具有非线性相位特性；（5）相同阶数的IIR滤波器比FIR滤波器具有更窄的过渡带；（6）在相同的设计指标要求下，IIR滤波器比FIR滤波器阶数要低。8、 什么是宽平稳随机信号？答：对随机信号X(n)，若其均值EX(n)为常数a，其方差E|X(n)-a|2亦为常数2，同时其自相关函数EX(n1) X*(n2)与n1、n2的选取无关，而仅与n1、n2之差有关，则称X(n)是宽平稳的随机信号。平稳信号

8、满足三个条件：1. 均值为与时间无关的常数，2. 均方有界，3. 自相关函数与信号时间的起始点无关，只和时间差有关。宽平稳信号的方差和均方也是与时间无关的。9、 简述维纳-欣钦定理。答：功率信号x（n）的自相关函数Rx（m）与其功率谱密度函数Px（）互为傅里叶正反变换关系，即。10、 对信号自然截短时，其自相关函数会发生什么变化？答：三、 （15分）求下列序列的z变换及收敛域1、答：2、答：3、答：四、 （15分）有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数次幂，假设没有采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为频率分辨力10Hz，信号最高频率4kHz，确定以下参量：1、 最小记录长度答

9、：2、 抽样点间的最大时间间隔T答：根据Nyquist采样定理：3、 在一个记录中最少点数N答：，由抽样点数必须是2的整数次幂，五、 （10分）画出下列系统函数的信号流图：1、2、六、 （15分）分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的FIR低通滤波器，要求如下：，其中=12s，=1rad（已知汉宁窗函数为）七、 （10分）已知平稳信号X(n)的自相关函数，求其功率谱。l 沈阳工业大学2010年博士招生（一）一、 填空（每空1分，共15分）1. 单位脉冲响应分别为和的两线性系统相串联，其等效系统函数时域及频域表达式分别是=，=。2. 两个有限长序列和长度分别是和，在做线性卷积后结果长度是。3.

10、 线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是单位采样响应h（n）=0（n<0）。4. 对于第m级运算，一个DIT蝶形运算的两节点的距离为（共有L级蝶形运算）。5. N阶线性相位FIR滤波器的对称中心为N/2。6. 设序列，其z变换的收敛域为。7. 抽样序列在单位圆上的z变换，就等于其理想抽样信号的傅里叶变换。8. 离散的非周期信号的频谱具有周期性和连续性。9. 设计FIR滤波器时，对窗函数要求窗谱主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带；尽量减少窗谱最大边瓣的相对幅度，这样可使肩峰和波纹减少。10. 随机信号的功率谱表现的是信号功率随 的变换情况。对平稳随机信号X(n)，它的功率谱是 的傅里叶变换。

11、二、 简答题（每题2分，共20分）1、 简述系统的频率响应的意义。2、 用DFT计算连续时间信号时可能出现频谱泄露的问题，试述减小频谱泄露的方法。答：减小频谱泄露的方法是提高频谱的频率分辨力，即在采样频率不变的前提下，尽量增加连续时间信号的有效采样点数（采样总时长）和DFT计算的点数，使尽可能的小。3、 试述线性卷积与圆周卷积的关系。4、 如果IIR滤波器的有理系统函数表示为，则用直接I型结构和直接II型结构分别需要多少级延时单元？5、 分别说明信号时域和频域抽样能够不失真恢复的条件。6、 FIR滤波器具有线性相位的条件是什么？答：7、 说明无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的特点。答：8、

12、什么是宽平稳随机信号？答：对随机信号X(n)，若其均值EX(n)为常数a，其方差E|X(n)-a|2亦为常数2，同时其自相关函数EX(n1) X*(n2)与n1、n2的选取无关，而仅与n1、n2之差有关，则称X(n)是宽平稳的随机信号。9、 简述维纳-欣钦定理。答：功率信号x（n）的自相关函数Rx（m）与其功率谱密度函数Px（）互为傅里叶正反变换关系，即。10、 解释随机信号的各态历经性或遍历性。三、 （10分）已知线性移不变系统的输入为，系统的单位抽样响应为，试求系统输出。1、，2、，四、 （10分）已知是N点有限长序列，。现将长度变成rN点的有限长序列，试求rN点与的关系。五、 （10分）

13、有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数次幂，假设没有采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为频率分辨力10Hz，信号最高频率4kHz，确定以下参量：1、 最小记录长度2、 抽样点间的最大时间间隔T3、 在一个记录中最少点数N六、 （10分）根据幅度平方函数，确定系统函数。七、 （15分）分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的FIR低通滤波器，要求如下：，其中=12s，=1rad（已知汉宁窗函数为）八、 （10分）讨论乘法调制信号：，其中，是实广义平稳信号，是确定量，相位在均匀分布，与统计独立。试讨论的广义平稳性。l 沈阳工业大学2010年博士研究生招生（二）一、 填空（每空1分

14、，共15分）1. 线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是单位采样响应h（n）=0（n<0）。2. 若系统有一个移变的增益，则此系统一定是移变系统。3. 在滤波器结构中，能够准确实现滤波器零极点的滤波器是 型，能够限制误差传播的滤波器结构是 型。4. 设的z变换为，如果为右边序列，其收敛域为 。5. FIR滤波器具有线性相位的条件是相位函数 或 。6. 如果IIR滤波器的有理系统函数表示为，则用直接I型结构需要 级延时单元，直接II型结构需要 级延时单元。7. 由N个 组成的向量X，称为随机向量。8. 对于随机信号，若其 为常数， 为有限值且为常数， 和，的选取与起点无关，只与，之差有关

15、，则称为宽平稳随机信号。二、 简答题（每题2分，共10分）1、 用DFT计算连续时间信号时可能出现的问题。答：用DFT计算连续时间信号时可能出现频谱泄露的问题。减小频谱泄露的方法是提高频谱的频率分辨力，即在采样频率不变的前提下，尽量增加连续时间信号的有效采样点数（采样总时长）和DFT计算的点数，使尽可能的小。2、 说明无限长单位冲激响应滤波器的特点。答：3、 窗口函数对滤波器理想特性的影响有哪些？1.Hd(w)在截止频率的间断点变成了连续的曲线，使得H(w)出现了一个过渡带，它的宽度等于窗函数的主瓣的宽度。由此可见，如果窗函数的主瓣越宽，过渡带就越宽。2.由于窗函数旁瓣的影响，使得滤波器的幅度

16、频率特性出现了波动，波动的幅度取决于旁瓣的相对幅度.旁瓣范围的面积越大，通带波动和阻带的波动就越大，换句话说，阻带的衰减减小。而波动的多少，取决于旁瓣的多少。3.增加窗函数的长度，只能减少窗函数的幅度频率特性w(w)的主瓣宽度，而不能减少主瓣和旁瓣的相对值，该值取决于窗函数的形状。换句话说，增加截取函数的长度N只能相应的减小过渡带，而不能改变滤波器的波动程度。       随着N的加大，振荡变密，主瓣变窄；主瓣与旁瓣的幅度亦有所加大，但主 瓣与旁瓣的相对比例不变（吉布斯现象）。归纳起来： （1）调整窗口长度N可以控制过渡带的宽度，但不

17、能减小尖峰的大小； （2）改变窗的形状可以减小带内波动和加大阻带衰减。 为了满足工程上的需要，可以通过改变窗函数的形状来改善滤波器的频率特性，而窗函数的选择原则是:a.具有较低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣的幅度。b.旁瓣的幅度下降的速率要快，以利于增加阻带的衰减。c 主瓣的宽度要窄，这样可以得到比较窄的过渡带。通常上述的几点难以同时满足。当选用主瓣宽度较窄时，虽然能够得到比较陡峭的幅度频率响应，但是通带和阻带的波动明显增加;当选用比较小的旁瓣幅度时，虽然能够得到比较平坦和匀滑的幅度频率响应，但是过渡带将加宽。因此，实际中选用的窗函数往往是它们的折衷。在保证主瓣的宽度达到一定要求的条件下

18、，适当地牺牲主瓣的宽度来换取旁瓣的波动减小。以上是从幅度频率特性设计方面对窗函数提出的要求，实际中设计FIR滤波器往往要求是线性相位的，因此要求w (n)满足线性相位的条件，即要求w(n)满足：W(n)=W (N一1一n)4、 简述各态历经性信号的数字特征的物理意义。5、 试说明对信号自然截短时，其自相互函数会发生什么变化。答：三、 （10分）判断下列每个序列是否为周期性的序列，如果是周期的，确定其周期。1、2、3、四、 （10分）求下列序列的z变换及收敛域1、2、五、 （10分）设有两序列，各作15点的DFT，然后将两个DFT相乘，再求乘积的IDFT，设所得结果为f(n)，问f(n)的那些点

19、对应于x(n)*y(n)线性卷积应得到的点。六、 （10分）序列x(n)=14,12,10,8,6,10是周期为6的周期性序列，求其一个周期的傅里叶级数的系数。七、 （15分）一个线性时不变因果系统由下面的差分方程描述。1、 求系统函数及其收敛域；2、 求该系统的单位取样响应；3、 求该系统的频率响应。八、 （10分）设模拟滤波器的系统函数为，用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器的系统函数（）和频率响应（），（令T=1）。九、 （10分）一个简单的两点差分器可用下式来描述：，它可以用来近似计算信号的斜率，设为一零均值，方差为的白噪声信号，试求输出Y(n)的自相关函数和功率谱。l 沈阳工业大学

20、2011年博士招生一、 （20分）填空（每空2分）1. 矩形2. 对3. 设4. 在5. FIR6. 下图7. 若8. 对9. 经典10. 在工程实际中所遇到的功率谱中，既有峰点又有谷点的谱，被称为ARMA谱。二、 （10分）已知，判断：（1）该系统是否为线性系统，为什么？（2）该系统是否为移不变系统，为什么？三、 （10分）求下列序列的Z变换，并求出对应的零极点和收敛域。（1）解：ROC：poles：zeros：（2）为常数。解：设则有ROCY：ROCX=ROCY： poles（均为2阶极点）：zeros：四、 （15分）若的3点序列，的5点序列，如下图2所示：画出：（1）答：（2）答：（3

21、）答：五、 （15分）用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，要求截止频率，阻带起始频率，通带最大衰减，阻带最小衰减，抽样频率。解：已知：，故若以Butterworth滤波器为AF原型，则（1） 预畸变：在采用双线性变换法时有：AF的3dB截止频率阻带起始频率（2） 设计AF（Butterworth）故AF（Butterworth）阶数N=3截止频率由此得归一化的3阶AF（Butterworth）的系统函数反归一化得3阶AF（Butterworth）的系统函数（3） 双线性变换：（20分）设X(t)是一个平稳随机信号，分别为X(t)的自相关函数及功率谱密度，是在内均匀分布的随机变量。令，为常数，X与相互独立。求：（1）的均值：答：（2）的自相关函数：答：（3）分析是宽平稳的吗？答：X(t)平稳，有界，故亦有界，又为常数且与时间起点无关，是宽平稳的。（4）的功率谱密度。答：根据维纳-欣钦定理：六、 （10分）用汉宁窗设计一个线性相位高通滤波器，其中，N=51，汉宁窗函数为。求：h（n）的表达式。解：由可知，理想线性相位高通滤波器的单位采样响应汉宁窗函数为则汉宁窗高通数字滤波器的单位采样响应：l 沈阳工业大学2012年博士招生一、 （8分）填空（每空2分）1. 经典谱估计的间接法中，本功率谱是通过 间接得到的。2. 矩形序列与单位阶跃序列之间的关系为 。3. 若一FIR低通滤波器的