专题04导数法-高中物理八大解题方法含解析

1、高中物理解题方法之导数法江苏省特级教师戴儒京在物理解题中用导数法，首先要把物理问题化归为数学问题。 在分析物理状态和 物理过程的基础上，找到合适的物理规律，即函数，再求函数的导数，从而求解 极值问题或其他问题，然后再把数学问题回归到物理问题，明确其物理意义。例1、两等量同种电荷在两点电荷连线的中垂线上电场的分布y坐标轴上的点的合成以两点电荷的连线的中点为原点，以两点电荷的连线的中垂线为y轴，则各点的 电场强度可表示为：QQ yE =2k（二2） cos"2k（c 2）22l yl y l2 y2因为原点的电场强度E0 =0，往上或往下的无穷远处的电场强度也为 0，所以, 从O点向上或

2、向下都是先增大后减小，这是定性的分析。那么，在哪儿达到最 大呢，需要定量的计算。方法1用三角函数法求导数E创几）如中把“冷代入得一爷罰2 "冷V2i令 z = sin2 二 cost，求导数 z = 2sin 二 cos2 ：sin =sin(2cos2- sin 2 二)，欲使z = 0，需 sn - - 0 (舍去)或 2cos2 v - sin2 - 0 即 tan 71 - 2，此处,将其代入得Emax4,3kQ方法2.用代数法求导数E = 2k(丁汇)一2一2-，令 z 二 y (I 2 y 2 )弋，对 z 求导数得 I +y Jl2+y2上J；9Iz- (12 y2)

3、2 -3y2(|2y2) 2 ,令其分子为0，得y 彳，代入得2Em4 3 kQo3图象用ExceI作图，得到关于等量同种电荷的电场在其中垂线上的分布的图象，图象 的横轴y表示各点到原点的距离(以两点电荷的连线的中点为原点)，纵轴表示 中垂线上各点的电场强度。图2.两等量正点电荷的电场强度在y坐标轴上的分布此图象也验证了以上所得的结果：图象中令1=5，则当y ? 口 =3.5处2 2电场强度最大。例2、电源输出功率最大问题的研究例题如图所示，R为电阻箱，(V为理想电压表.当电阻箱读数为Ri=2Q时，电压表读数为Ui=4V;当电阻箱读数为R2=5 Q时，电压表读数为U2=5V.求：(1) 电源的

4、电动势E和内阻r。(2) 当电阻箱 R读数为多少时，电源的输出功率最大？最大值Pm为多少？图3电路图(R -r)24r，由上式可知时P有最大值P4r=9W【解析】由闭合电路欧姆定律：E =Ui Ul rR1U2E = + r联立上两式并代入数据解得：E = 6V ,r =1(2)解法1.代数法，电功率表达式：卩=琵皆将上式变形为:e2' _ '解法2导数法，电功率表达式：P2 R，根据求导公式(-) U V ；UV(R + r)v v得导数：P'(P)_E2 (R + r)2E2R2(R+r)_E2 (R + r) (rR)当时(R + r)4(R+r)4，导数的分子为

5、零，即此时有极大值，将R = r = 11代入P式得最大值P m = E 9W4r本题的物理意义可用图4图象说明：图4电源输出功率与外电路电阻的关系图象的最高点为电源的输出功率最大，其余的，对同一个输出功率，可以有 两个电阻值。例3证明：在碰撞中，完全非弹性碰撞动能损失最大大家知道，碰撞分弹性碰撞和非弹性碰撞两类。弹性碰撞，动能和动量都守恒， 非弹性碰撞，动能不守恒了 ,但动量还是守恒的。在非弹性碰撞中，有一种叫完| 全非弹性碰撞，两个物体相碰后不分开，连在一起了，动能损失最大，动能不守 恒，但动量还是都守恒的。为什么在完全非弹性碰撞中，动能损失最大呢？很多 同学知其然不知其所以然，本文解决知

6、其所以然的问题。弹性形变是指撤去外力后能够恢复原状的形变，能够发生弹性形变的物体我们说 它具有弹性。碰撞是在极短的时间内发生的，满足相互作用的内力大于大于外力 的条件，因此不管系统是否受到外力，一般都满足动量守恒。因此弹性碰撞是同 时满足动量守恒和动能守恒的碰撞。一般意义上的碰撞，仅满足动量守恒，碰撞过程中物体往往会发生形变， 还会发 热、发声，系统有动能损失，由于一般只研究碰撞发生在同一水平直线上的情况， 系统在碰撞前后的重力势能不变，因此动能损失也对应着机械能的损失，通常情 况下是机械能转化为内能。非弹性碰撞即物体发生碰撞后不反弹， 区别于大多数 的弹性碰撞，碰撞过程中会有动能损失。如图1

7、所示，设质量为mi的小球，速度为w，与质量为m2的小球，速度为V2, 发生碰撞，VIV2ce代入得厶Ek1 2my22m2v2-m1v1'22(m1v1 m2v2 -gw')22m2,求厶Ek对V11的导数，得=Ek'(V1')(m1v1 m2v2 _ m1v1') m1=-m1v1'm2令=Ek'(v1') =0,解得论'严 叫2 ,即当心叽 叫2时，厶Ek有最大 mi| +m2mi| + m2值。将代入解得v2'=吋1 m"2，即vj = v2'，两小球粘合在一起时，也就是完mi| +m2全非

8、弹性碰撞情况 下，动能 损失最大。将代入解得动 能损失 最大为Ek m axmim2(vv2)22(gm2)例题.某同学利用如图6所示的装置研究碰撞问题。图中两摆摆长相同 I =1m，悬 挂于同一高度，a、B两摆球均很小，质量相等皆为m。当两摆均处于自由静止 状态时，其侧面刚好接触。向右上方拉动 B球使其摆线伸直并与竖直方向成45° 角，然后将其由静止释放。求A球上升最大高度的最大值和最小值各是多少？上 摆的最大角度的最大值和最小各值各是多少？ 解：B球的初始高度为h，碰撞前B球的速度为Vb.在不考虑摆线质量的情况下,根据题意及机械能守恒定律得:h =1 (1 -cos45 )-mv

9、B = mgh 2弹性碰撞时，动量守恒有动能守恒有1 2 1 2 1 2mvBmvA'mvB' 2 2解得 va'二 vb， vb ' = 0，1根据mgd FmvA'2，得hh1，为A球上升的最高高度。根据h2 =l(1 -cos )，得二2 = 3 =45°，为A球上摆的最大角度。完全非弹性碰撞，即A、B两球粘合在一起时，动量守恒有 mvB =2mv'，解得v'根据mgh = 1 mV'?二丄mgh?，得h3二1，为A球上升的最大高度的最小值。244根据h3 =1(1 COS%)，得K =22°，为A球上摆

10、的最大角度的最小值。例4电磁感应问题如图，质量为M的足够长金属导轨abed放在光滑的绝缘水平面上。一电阻不计， 质量为m的导体棒PQ放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc构成矩形。 棒与导轨间动摩擦因数为 卩，棒左侧有两个固定于水平面的立柱。导轨be段长为L,开始时PQ左侧导轨的总电阻为R,右侧导轨单位长度的电阻为 R°。以ef 为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上， 右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小 均为B。在t=0时，一水平向左的拉力F垂直作用在导轨的bc边上，使导轨由静 止开始做匀加速直线运动，加速度为 a。(1) 求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式；(2) 经

11、过多长时间拉力F达到最大值，拉力F的最大值为多少？(3) 某过程中回路产生的焦耳热为 Q,导轨克服摩擦力做功为 W,求导轨动能 的增加量。【答案】(1) 感应电动势；二BLv导轨做初速为零的匀加速运动，V =at， S = -at22；二 BLat回路中感应电流随时间变化的表达式BLv BLatBLatR 总R 2R0(1at2)R Roat"2(2) 导轨受外力F,安培力FA，摩擦力Ff。其中Fa =BIL2 2B L at2R R0atFf二"Fn=J(mg BIL) - ' (mg2 2B L at )R R0at2由牛顿定律F Fa Ff二Ma二 Ma FA

12、 Ff-Ma mg (1；二)B2L2at2R R0at上式中，当R = %at，即t = . R时外力F取极大值。 tYaR(1+P)B2L2 I aJM吨(2何(3) 设在此过程中导轨运动距离s，由动能定理W合二E合二 Mas由于摩擦力Ff二(mg Fa)，所以摩擦力做功W = "mgs 川 JWA 二'mgs 小丄Q. W 七 s Jmg.MaEk 二 Mas(WlQ)。»mg【点评】本题考查电磁感应，匀变速运动，牛顿定律等知识点以及分析判断能力 及极值的计算等数学方法。难度：难。2 2B L ay =RRq at,然后根据两B2 l 2at在式子“乔融的极值

13、的计算中'答案用了变形 式之积一定时，两式相等时其和最小的数学方法，因分母最小，分式取最大值。 也可以用导数法求极值。设上式的分母为x = - Roat，取导数：tx'（t）= -茸+ Roa，令其等于0，解得极值条件为t =。代入得x = 2jaRR ， t aR为此时，y = ，2Fmax=Ma 他 On a2 Y RR例5交流电如图（a），在同一平面内固定有一长直导线 PQ和一导线框R，R在PQ的右侧。 导线PQ中通有正弦交流电流i，i的变化如图（b）所示，规定从Q到P为 电流的正方向。导线框R中的感应电动势齣图A. 在t =T时为零4B. 在t =T时改变方向2C. 在

14、t =T时最大，且沿顺时针方向2D. 在t =T时最大，且沿顺时针方向【解析】根据法拉第电磁感应定律，感应电动势E ，即E为门的导数,At有门二BS,S不变，门与B成正比，所以，E与i的导数成正比，据此可以画出E-t图象如下：从图象可以看出：A. 在t =T时为零，正确；4B. 在t =-时改变方向，错误；2C. 在t =-时为负最大，且沿顺时针方向，正确；2D. 在t二T时为正最大，且沿逆时针方向，D错误。【答案】20. AC【点评】E-t图象是正弦函数(或余弦函数)图象，说明电动势 E随时间非均匀变化。E -t函数是门-t函数的导数函数。例6带电粒子在磁场中的运动粒子速度选择器的原理图如图

15、所示， 两水平长金属板间有沿水平方向、 磁感 应强度为Bo的匀强磁场和方向竖直向下、电场强度为 Eo的匀强电场。一束质量 为m、电荷量为q的带电粒子，以不同的速度从小孔 0处沿中轴线射入此区域。 研究人员发现有些粒子能沿中轴线运动 并从挡板上小孔P射出此区域，其他还 有些带电粒子也能从小孔P射出，射出时的速度与预期选择的速度的最大偏差量 为=,通过理论分析知道，这些带电粒子的运动可以看作沿中轴线方向以速度为1的匀速直线运动和以速率：2在两板间的匀强磁场中做匀速圆周运动的合运动，：1、： 2 ；均为未知量，不计带电粒子重力及粒子间相互作用。(1)若带电粒子能沿中轴线运动，求其从小孔 0射入时的速

16、度 o ；(2) 增加磁感应强度后，使带电粒子以(1)中速度.0射入，要让所有带电粒子均 不能打到水平金属板，两板间距 d应满足什么条件？(3) 磁感应强度为Bo时，为了减小从小孔P处射出粒子速度的最大偏差量 ,从而提高速度选择器的速度分辨本领，水平金属板的长度L应满足什么条件？XXXXXX 爲XXXXXXXXX 1X 1 x 1L2L例1题图【解答】(1)带电粒子能沿中轴线运动受力平衡，则qvoBo = qE，解得 v°EoBo(2)设磁感应强度增为B,对速度为vi的匀速直线分运动，有qviB =qEo，解得 wEo .Bvo匀速圆周分运动的速率v2 =v0 -v1由向心力公式qv

17、宀竽，解得"晋说#BoB当B=2Bo时，半径有最大值“議 要让所有带电粒子都不能打到金属板，应满足号2rm，即 d孟要提高速度选择器的速度分辨率，就要使不能沿轴线运动的偏离轴线有最大 的距离，圆周运动完成半周期的奇数倍，则L =v°(2n -1)|(n =1,2,3,)圆周运动的周期T =2mqB°故应满足的条件 l =(2“ -町证。(门=i,3,)qBo【拓展】从此题目谈起，笔者提出并回答以下问题，以进一步理解此题。在得出r( 2)后，即有当B = 2B0时，半径有最大值rm2，这q BoB B4qBo是为什么？【解答】这个是求极值问题，本来是数学问题，在物理

18、题中，物理老师也要解答。这就是高考要求的“用数学方法处理物理问题的能力”。这里要用导数法求极值：令y11 B - BoBoB 一 B2 = BoB2根据求导公式u u'v -uv' ()=vv2，2得 “BoB -(Bo)2BBoBoB (-B 2Bo)bobBoB令其分子为。，得一专話1亏)式取极值的条件是B = 2Bo，将此条件代入则得rmEo4qB2例7振动和波问题图甲为一列简谐横波在t=0 . 10s时的波形图，P是平衡位置为x=1m处的质点,Q是平衡位置为x=4m处的质点，图乙为质点 Q的振动图像，贝9()A. t=0 .15s时，质点Q的加速度达到正向最大B. t=

19、0 . 15s时，质点P的运动方向沿y轴负方向C从t=0 . 10s到t=0 . 25s，该波沿x轴正方向传播了 6mD.从t=0 . 10s到t=0 . 25s，质点P通过的路程为30cm乙答案：AB分析法：题考查振动图像和波动图像的综合应用。由图乙可知t=0 .15s时,质点Q到达波谷，其加速度达到正向最大，A选项正确；图甲表示0. 10s时的波形图，t=0 . 10s时由图乙可知质点 Q正经过平衡位置向下振动，结合图甲可 知这列波向左传播（因为波向左传播，Q才处在“上坡”的位置，其运动方向才 向下）。又由图甲可知波长为8m由图乙可知周期为0. 20s，波速v=X /T=40m/s, 从0

20、. 10s到0. 15s时间段内，波向左平移s=vt=2m。画出此时的波形如下图（将 波向左平移2m从图可以发现，此时质点P的运动方向沿y轴负方向，B选项正确；从t=0.10s 到t=0 . 25s，该波沿x轴负方向传播的距离s=vt=6m, C选项方向判断错误；从 t=0 . 10s到t=0 . 25s，经过的时间为0. 15s,等于-即0. 05s的3倍，质点Pg = - 4虫=做变速运动，通过的路程不能用亠来计算（从平衡位置或正负最大位移处开始计时，才能这样算），实际路程不等于30cm （此处有的同学禁不住冋：不是30cm,是多少呢？且往下看）。答案选择 AB【函数导数法】a .y = -A 2（- + -）二，波函数基本函数式是j L（因为本题波向左传播，所以式中负号改为正号）由图甲可知波长为2二8m振幅为A=10cm由图乙可知周期为T=0. 20s，所y = -10sin 2X+-） -以本题波函数可以写为.一一 =:A选项:Q点的振动方程是= -10sin(10fl+-x4) =4lOsin 10兀对式求导数得速度函数1.一：=1丄d 对式求导数得加速度函数_ iooojI 士：工将t=0 . 15s代入式得t = 1000.二一二：'| ,是正最大，所以A正确;B选项：开开P点的振动方程是片二-10sin(10+-xl)=-lO