空间直角坐标系讲义

1、新课标北师大版课件系列高中数学必修必修2 23.3.1 3.3.1 空间直角坐标系的建立空间直角坐标系的建立 1 1数轴数轴ox上的点上的点m，用代数的方法怎样表示呢？，用代数的方法怎样表示呢？ 2 2直角坐标平面上的点直角坐标平面上的点m，怎样表示呢？，怎样表示呢？ 数轴数轴ox上的点上的点m，可用与它对应的实数，可用与它对应的实数x表示；表示； 直角坐标平面上的点直角坐标平面上的点m，可用一对有序实数，可用一对有序实数(x，y)表示表示xoyaoxxm(x,y)xy 3 3怎样确切的表示室内灯泡的位置？怎样确切的表示室内灯泡的位置？ 4 4空间中的点空间中的点m用代数的方法又怎样表示呢？用

2、代数的方法又怎样表示呢？ 当建立空间直角坐标系后，空间中的点当建立空间直角坐标系后，空间中的点m，可以，可以用有序实数（用有序实数（x，y，z）表示）表示oyxzmxyz（x，y，z）yxz 如图，如图， 是单位正方体以是单位正方体以o为原点，分为原点，分别以射线别以射线oa,oc, 的方向为正方向，以线段的方向为正方向，以线段oa,oc, 的长为单位长，建立三条数轴：的长为单位长，建立三条数轴：x轴、轴、y 轴、轴、z 轴这时我们轴这时我们说建立了一个说建立了一个空间直角坐标系空间直角坐标系 ，其中点，其中点o 叫做坐标叫做坐标原点，原点， x轴、轴、y 轴、轴、z 轴叫做坐标轴通过每两个坐

3、标轴的平轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为面叫做坐标平面，分别称为xoy 平面、平面、yoz平面、平面、zox平面平面cbadoabc ododxyzo abcabcdo 右手直角坐标系右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向拇指指向 x 轴的正方向，食指指向轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如轴的正方向，如果中指指向果中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系角坐标系 设点设点m是空间的一个定点，过点是空间的一个定点，过点m分别作垂直分别作垂直于于x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴的平

4、面，依次交轴的平面，依次交x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴轴于点于点p、q和和ryxzmo 设点设点p、q和和r在在x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴上的坐标分别轴上的坐标分别是是x，y和和z，那么点，那么点m就对应唯一确定的有序实数组就对应唯一确定的有序实数组（x，y，z）mrqp 反过来，给定有序实数组反过来，给定有序实数组（x，y，z），我们可以，我们可以在在x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴上依次取坐标为轴上依次取坐标为x，y和和z的点的点p、q和和r，分别过，分别过p、q和和r各作一个平面，分别垂直于各作一个平面，分别垂直于x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组轴，

5、这三个平面的唯一交点就是有序实数组（x，y，z）确定的点确定的点myxzmomrqpyxzpmqomr 这样空间一点这样空间一点m的坐标可以用有序实数组（的坐标可以用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点）叫做点m 在此在此空空间直角坐标系中的坐标间直角坐标系中的坐标，记作，记作m（x，y，z）其中）其中x叫做点叫做点m的的横坐标横坐标，y叫做点叫做点m的的纵坐标纵坐标，z叫做点叫做点m的的竖坐标竖坐标yxzabcabcdo oabcabcd是单位正方体以是单位正方体以o为原点，分别以射为原点，分别以射线线oa,oc, od的方向为正方向，以线段的

6、方向为正方向，以线段oa,oc, od的长为单的长为单位长，建立位长，建立空间直角坐标系空间直角坐标系oxyz试说出正方体的各个顶点试说出正方体的各个顶点的坐标并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上的坐标并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上(0，0，0)(1，0，0)(1，1，0)(0，1，0)(1，0，1)(1，1，1)(0，1，1)(0，0，1) 例例1 如下图，在长方体如下图，在长方体 中，中， ， ，写出四点，写出四点d，c，a，b的坐标的坐标cbadoabc 3|oa4|oc2|odd2odd解解： 在在z 轴上，且轴上，且 ，它的竖坐标是，它的竖坐标是2；它的横坐；它的横

7、坐标标x与纵坐标与纵坐标y都是零，所以点都是零，所以点 的坐标是（的坐标是（0，0，2） 点点c 在在y 轴上，且轴上，且 ，它的纵坐标是，它的纵坐标是4；它的横；它的横坐标坐标x与竖坐标与竖坐标z 都是零，所以点都是零，所以点c的坐标是（的坐标是（0，4，0） 同理，点同理，点 的坐标是（的坐标是（3，0，2）4ocaoyxzacbbacd 例例1 如下图，在长方体如下图，在长方体 中，中， ， ，写出四点，写出四点d，c，a，b的坐标的坐标cbadoabc 3|oa4|oc2|odoyxzacbbacd 解：解：点点b在平面上的射影是在平面上的射影是b，因此它的横坐标，因此它的横坐标x与纵

8、坐与纵坐标标y同点同点b的横坐标的横坐标x与纵坐标与纵坐标y 相同在相同在xoy平面上，点平面上，点b 横横坐标坐标x=3，纵坐标，纵坐标y=4；点；点b在在z轴上的射影是轴上的射影是d，它的竖坐标，它的竖坐标与点与点d的竖坐标相同，点的竖坐标相同，点d的竖坐标的竖坐标z=2 所以点所以点b的坐标是（的坐标是（3，4，2） 例例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其的小正方体堆积成的正方体），其中黄色点代表钠原子，黑点代表氯原子中黄色点代表钠原子，黑点代表氯原子

9、21 解解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标位置的坐标 例例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子中色点代表钠原子，黑点代表氯原子21 如图建立空间直角坐标如图建立空间直角坐标系系o-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标后，试写出全部钠原子所在位置的坐标xyzo 上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为上层的原子所在的平面

10、平行于平面，与轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是:（0，0，1），（），（1，0，1），（），（1，1，1），（），（0，1，1），），（ ， ，1）2121 中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是（ ，0， ），（），（1， ， ），（），（ ，1， ），（），（0， ， ）；）；2121212121212121 下层的原子全部在平面上，它们所下层的原子全部在平面上，它们所在位置的竖坐标全

11、是在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)，（1，0，0）,（1，1，0）,（0，1，0）,2121（ ， ，0）.xyzov一般的一般的p(x , y , z) 关于：关于：v（1）x轴对称的点轴对称的点p1为为_;v（2）y轴对称的点轴对称的点p2为为_;v（3）z轴对称的点轴对称的点p3为为_;( ,)xyz(, ,)x yz(, )xy z关于谁对称谁不变关于谁对称谁不变四、四、对称点对称点1、关于轴对称、关于轴对称v一般的一般的p(x , y , z) 关于：关于：v（1）xoy平面平面对称的点对称的点p1为为_;

12、v（2）yoz平面平面对称的点对称的点p2为为_;v（3）zox平面平面对称的点对称的点p3为为_;关于谁对称关于谁对称谁不变谁不变（x,y,-z）（-x,y, z）（x, -y, z）2、关于坐标平面对称关于坐标平面对称3、关于坐标原点对称？关于坐标原点对称？v在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点p（1，2，3）关于）关于y轴的对称点是轴的对称点是_v在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点p（1，2，3）关于）关于x轴的对称点是轴的对称点是_v在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点p（1，2，3）关于）关于z轴的对称点是轴的对称点是_（，）（，）（，）（，）（，）（，）巩

13、固练习巩固练习2v在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点p（1，2，3）关于）关于xoy面面的对称点是的对称点是_v在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点p（1，2，3）关于）关于yoz面面的对称点是的对称点是_v在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点p（1，2，3）关于）关于zox面面的对称点是的对称点是_（，（，）（，），）（，）（，）巩固练习巩固练习2五、五、特殊位置的点的坐标特殊位置的点的坐标原点（0，0，0）x轴上的点（x，0，0）y轴上的点（0，y，0）z轴上的点（0，0，z）xoy平面上的点（x，y，0）yoz平面上的点（0，y，z）zox平面上的点（x，0，z

14、）zxy(0,0,0)(12,0,0)(0,0,5)(0,8,0)(12,8,0)(12,0,5)(0,8,5)(12,8,5)back2.3.22.3.2空间两点间的距离空间两点间的距离问题问题1：长：长a，宽，宽b，高，高c的长方体的对角线，怎的长方体的对角线，怎么求？么求？222cbad cbadopzyxx0y0z0问题问题2：在空间直角坐标系中点：在空间直角坐标系中点p（x，y，z）到点到点xoy平面的距离，怎么求？平面的距离，怎么求？ydxdzdxozyozxoy 问题问题3：在空间直角坐标系中点：在空间直角坐标系中点o（0，0，0）到点到点p（x0，y0，z0）的距离，怎么求？）

15、的距离，怎么求？202020zyxd opzyxdopzyxdx0y0z0opzyxdx0y0z0问题问题4：在空间直角坐标系中，：在空间直角坐标系中，p（x0，y0，z0）到坐标轴的距离，怎么求？到坐标轴的距离，怎么求？202020202020yxdzxdzydzyx 问题问题5 5：给出空间两点：给出空间两点a(xa(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),p(x),p(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )可否类比得到一个可否类比得到一个距离公式？距离公式？1、设o(0,0,0),p(x0,y0,z0)则202020222zyxocoboaopxyzopabc2、空间任意两点a(x1

16、,y1,z1),p(x2,y2,z2)作长方体使a、p为其对角线的顶点由已知得：c(x2,y1,z1),b(x2,y2 ,z1)2222bpcbacap221221221)()()(zzyyxxap即是：空间两点间的距离公式xyzopabc总结总结:在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点p（x1，y1，z1）和点和点q（x2，y2，z2）的距离，怎么求？）的距离，怎么求？212212212)()()(zzyyxxd 公式的记忆方法：同名坐标差的平方和的算术根例求空间两点（， ） （，）的距离分析：利用两点间距离公式可得 练1：p(1,2,-2)和q(-1,0,-1)的距离是_练2：给定空间直角坐标系，在x轴上找一点p，使它与点p0(4,1,2) 距离为分析：设p(x,0,0),由已知求得x=9或-1(9,0,0)或(-1,0,0)330例：在xoy平面内的直线x+y=1上确定一点m，使m到n(6,5,1)的距离最小略解：设m(x,1-x,0),利用距离公式构造出一个二次函数后求最值51) 1(2)01 ()51 ()6(2222xxxmn511minmnx时，当例.平面上到坐标原点的距离为的点的轨迹是单位圆，其方程为 在空间中，到坐标原点的距离为的点的轨迹是什么？试写出它的方程221xy2221xyz轨迹是球面练3:设a(