广东海洋大学第二学期高数试题与答案

1、姓名：GDOU-B-11-302广东海洋大学2014 2015学年第 二 学期学号：试题共5页加白纸3张1.设a2.3.高等数学课程试题题 号一一二四五六七八九十总分阅卷教师各题分数241428286100实得分数课程考试A卷 闭卷号：考查UB卷口开卷填空（3X8=24分）1, 2,1 , b x, 1, 0 , a b ,贝Ux 2, 0,0, 1, 0 ,则 a b曲面z2x2y2在点（1,1,处 处的切平面方程为24.将xoz平面上的曲线x2z-1绕x轴旋转一周所得的旋转曲面的方4程为:5.函数Z ln（ 3 x2y2）的驻点为I3*I；6.设L为连接（1,0）到点（0,1）的直线段，则

2、1（yx）ds LII1 xn：7.哥级数二的收敛半径为nII8.微分方程 y e 3x的通解为 y I：二.计算题（7X2=14分）1 .设z y ln( x2 y2),求dz.2 .设函数z f (x, y)是由方程z2导数的函数，求上，一. x x3 .计算下列积分(7X4=28分)1 .(y x2)dxdy ,其中 D是由 yD域。-一 (1,1)_2 .证明曲线积分(0.0)(2xy y2)dx无关，并计算积分值。3 . 计算口(1 x)dydz (2 y)dzdxx2 y2 z29的外侧。4 .计算 12dxdy，其中DD 1 x y4 .计算题(7X4=28分)3yzxa3所确定

3、的具有连续偏0, y x2及x 1所围成的闭区(x22xy )dy在整个xoy平面内与路径(3 z)dxdy,其中 是球面x2 y225围成的闭区域1 .判别级数(1)ni是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条n 1.2 n2件收敛？2 .将函数f(x)展开为x的哥级数。x 33 .求微分方程dy 2y6满足初始条件yx02的特解。dx4 .求微分方程y yex的通解。5 .证明 0 dy : f(x)dx0 (x)f(x)dx (6 分)2014-2015学年第二学期高等数学A卷(参考答案及评分标准课程号：19221101X21.填空（3X8=24分）2；2.1, Q 23.4.4.y2 z24

4、5.(0,0)；6.7.3；8.le 3x9cxc2计算题(14 分)1. x2xy22 ,x yln( xdz2xy22x ydx2y2x2,二,(4 分) yln( x2y2)2y222x ydy (3分）2.令 F(x,y,z)3yz（1 分），得Fx1,Fz3z23yFxFz3z23y(4分)2则一x6z(3z23y)2(3z2 6z3y)3. (2分）.计算下列积分7X4=28 分)1.原式1dx02 x 0(yx2)dy1 12(2yx2y)2xdx010(-x4)dx 21102.设 P(x,y)2xyy 2,Qx, y)x22xy ,有-P y2x2y所以曲线积分与路径无关。（

5、4分）1原式二 o（1 2y）dy0 （3分）4.四.2.4.3.设V表示围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式有4分原式4分原式1.令Unlimnv（1)n因此级数1因为1 x所以f (x)设 P(x)(1 x)x(2 y)yU)dv 3 分zV( 3)dv1083分rdr r1 ln( 12r2)ln 262 n2,贝1J UnUn'1 ,且 lim Un1、收敛。（3分）2 n22 n211，“， L 一， 发散，所以级数 n1八. 一发放。（3分）2 n22,3.1)n1，条件收敛2n(3分)Qx)P( x )dx2dxe 八 2x2x=e 3e代入初始条件得1分)x3d可)3

6、6,P( x )dxQ x )edx2dx6e dx CC所以特解为(4分)C2x(3分)(2分)(2分)2特征方程为r0,特征根为门0,2所以对应的齐次方程的通解为c2e(4分)x 一设y ae是y yex的特解，则3张(3分) -,v 1 v所以原方程的通解为y cic2ex -ex五.积分区D域为：0 y0 x y ,更换积分次序有y0 dy 0 f (x)dxo dxf(x)dy x0 (x)f (x)dx(6 分)GDOU-B-11-302广东海洋大学20132014学年第二学期班级：高等数学课程试题姓名：题 号一一二四五六七八九十总分阅卷教师各题分数211428325100实得分数

7、课程考试 A卷 闭卷号：考查 UB卷 口开卷填空（3X7=21分）r1一一1.设，a 1,0, 1 ,b 0,1,1，贝U a b 2.过点1,1,1且与x轴垂直相交的直线方程为 学号：3.过1,0,1与平面x 2y z 1平行的平面方程为 4 .函数z x2 y2 2x的驻点为n n5 .哥级数的收敛半径为1 6n6.曲线zx2 2y2,x z 0在xoy面上的投影曲线的方程为试题共5页加白纸7.微分方程 y y满足 y（0） 2的特解为二.计算题（7X2=14分）1 .设 z sin - 5求 dz. y2.设z f（x,y）是由方程ez x yz 0所确定的具有连续偏导数的函数， 求上，

8、上.x y3 .计算下列积分（7X4=28分）1 . x yd ，其中D是由x轴y轴以及直线2x y 2所围成的闭区域。 （2,1）.一，2 .证明曲线积分（00） （x 2y）dx （2x y）dy在整个xoy平面内与路径无关， 并计算积分值。3 . 计算6xdydz ydzdx 3zdxdy ,其中是某边长为2的正方体的整个 边界曲面的外侧。4 .计算°ex2y2d ，其中D是由x2 y2 4围成的闭区域。4 .计算题（8X4=32分）21 .判别级数nn是否收敛。n 1 e2 .将函数f（x） e3x展开为x的哥级数。3 .求微分方程y y 2x的通解。4 .求微分方程y 5y

9、 6y 6的通解。5 .证明 °dy ：ex sinxdx o xex sinxdx（5 分）GDOU-B-11-302广东海洋大学20132014学年第二学期高等数学试题参考答案和评分标准课程考试 A卷 闭卷号：口考查UB卷口开卷题 号一二二四五六七八九总分阅卷教师各题分数211428325100实得分数.填空（3X7=21分）1 .设，a 1,0, i ,b 0,1,1，贝ua b i, 1,12 .过点1,1,1且与x轴垂直相交的直线方程为 x 1,y z3 .过1,0,1与平面x 2y z 1平行的平面方程为 x 2y 3z 24 .函数z x2 y2 2x的驻点为1,0 n

10、5 .哥级数 x的收敛半径为_Jn 1 6n6 .曲线v2 2、,2 V 0在xoy面上的投影线方程为x2 x 2y 0,z 0z x 2 y , x z 0一/7 .微分方程 y y 满足y 02 的特解为 y 2e x二.计算题（7X2=14分）1.设 z sin -,求 dz.y2.设z f(x, y)是由方程ez x yz0所确定的具有连续偏导数的函数,求二一x y两边对x求导(1)z z . ze 1 y x x0, x(3)两边对y求导,0,卫y.计算下列积分（7X4=28分）1. x yd ,其中D是由x轴y轴以及直线2x y 2所围成的闭区域。0 y 2 2x0 x 112 2

11、x(x y)d 0 dx 0 (x y)dy (3) D=3 (2,1).一，2.证明曲线积分(0 0)(x 2y)dx (2x y)dy在整个xoy平面内与路径无关,并计算积分值。解：设 P x 2y,Q 2x y,则-Q 2(2)x y解：区域D可表示为(2)所以曲线积分与路径无关（2）3.2113原式二°xdx o(4 y)dy =计算 06xdydz ydzdx 3zdxdy（3）其中 是某边长为2的正方体的整个边界曲面的外侧。解：设V是由 围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式原式=(回,且)dvV x y z10dvV10V10g23= 80(1)4.计算Dex2 y2d

12、 ，其中D是由x2 y2 4围成的闭区域解：区域D在极坐标下可表示为02 ,0 r 2,(2)22 2原二 derrdr00e4 1(3)(2)四.计算题（8X4=32分）1.判别级数2nn是否收敛。i e3n 1n-(4)解：lim e-2n nne所以级数收敛(4)2 .将函数f(x) e3x展开为x的哥级数。n解：ex-(4)n o n!2n nf(x) e3x", x(4)n o n!3 .求微分方程y y 2x的通解。解：y y o的通解为y cex,(2)设原方程的通解为y c(x)e x ,代入方程得c(x) 2xex ,得 c(x) 2 x 1 e x c(4)原方程

13、的通解为y 2x 2 cex(2)4 .求微分方程y 5y 6y 6的通解。(2)(2)解：特征方程为2 56 0,特征根为1 2, 2 3对应的齐次方程的通解为yge2xc2e3xy 1是方程的一个特解，(2)原方程的通解为y 1 C1e2x ae3x(2)五.证明 0dy 0yex sinxdx 0Xex sinxdx(5 分)证明：设区域D为0 x y则 0 yex sin xdDy xdy e sin xdx 00(2)区域D可表示为xxxe sin xd dx e sin xdy = x e sin xdx 0 xD0班级：广东海洋大学20122013学年第 二 学期高等数学课程试题

14、姓名：题 号一一二四五六七八九十总分阅卷教师各题分数211428325100实得分数课 程考试 A卷 闭卷号：考查 UB卷 口开卷填空（3X7=21分）i.设，a 0,1,2 ,b2,0*，若 a b =2，贝u a b 2.过点1,0,1且与平面2x 3y z2平行的平面方程为学号：3 .设曲线L : x 4cos t, y 4sin t,(0t 2 ),则？(x2 y2)3ds =4 .函数z ln Jx2 y2的驻点为 5 .哥级数xl的收敛域为n1 3n6 .曲线z x2 y2,y z 1在xoy面上的投影线方程为 姓名试题共6页加白纸7 .微分方程 y sin 2x 满足y 0 1

15、的特解为 .计算题（7X2=14分）x1 .设 z ey,求 dz.2 .设z f（x,y）是由方程e2z 2xyz 0所确定的具有连续偏导数的函数,求上，上. x y3 .计算下列积分（7X4=28分）1 . 2x 3yd ,其中D是由两坐标轴以及x y 2所围成的闭区域。 D2 .设曲线积分：（2x ky）dx （x 3y）dy在整个xoy平面内与路径无关， 求常数k ,并计算积分值。3 . 计算xdydz 2ydzdx 4zdxdy，其中 是圆锥体z xx y,0 z 1的整个 表面的外侧。4 .计算D1 x2 y2d ，其中D是由x2 y2 1围成的闭区域。4 .计算题（8X4=32分

16、）31 .判别级数】是否收敛。n1 3n2 .将函数f（x） xcos2x展开为x的哥级数。3 .求微分方程y y x的通解。4 .求微分方程y 3y 2y 2的通解。5 .设级数Un2收敛，证明级数a-J发散。（5分）n 1n 1 nGDOU-B-11-302广东海洋大学20112012学年第 二 学期高等数学课程试题答案和评分标准课 程考试A卷 闭卷号：考查UB卷口开卷题 号一二二四五六七八九十总分阅卷教师各题分数211428325100实得分数.填空(3X7=21分)1 .设,a 1,0, 1 ,br 1,2,0 ,贝Uab= , a b 2, 1,22 .过点1,1, 1且垂直于直线上

17、二 U 4的平面方程为2122(x 1) (y 1) 2(z 1) 03 .设曲线 L: x 3cost,y 3sin t,(0 t 2 ),则、(x2 y2)ds = 541 y4 .改变积分次序；dx；f(x,y)dy=0dy0f(x, y)dxn5 .哥级数 x的收敛半径为 1n1 2n6 .函数z sin(x y)在点(0, 0)处的梯度为1,17.微分方程y cos3x的通解为yy1cos3x qx C29二.计算题(7X2=14分)1 .设 z ln(1 x2 y2),求 dz.解： 一号i,x 1 x yydz dx dy (2)x y= 2x2 y.22 dx 22 dy1 x

18、 y 1 x y2 .设z f(x,y)是由方程z3 xz2数，求二，二.x y1 x y(1)yez 1所确定的具有连续偏导数的函解：在方程两边对x求偏导数,(1)2 Z 2Z z Z3z z 2xz ye 0xx x得,2z3z2 2xz yez(2)(1)在方程两边对y求偏导数,c 2 z c Z Z Z Z c3z 2xz e ye 0y yyy 3z2 2xz yez(2)(1).计算下列积分(7X4=28分)1. xyd ,其中D是由直线y0, x 0以及x y 1所围成的闭区域解：区域D可表示为0 y 1 x,0 x 1,(1)(3)11 xxyd 0 dx ° xyd

19、yD11一 x(1 02、2 .x) dx124- 一(1,2)2.设曲线积分00)(x+ky)dx(x(2)(1)y)dy在整个xoy平面内与路径无关，求常数k,并计算积分值解：设 P x ky,Q x y,则-Q (2)x y3.4 1上k,所以k 1x y原式=1xdx 2(1 y)dy =1 002计算 o 2xdydz ydzdx 3zdxdy,其中(2)是球面x2 y2 z2 1的外侧。解：设V是由 围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式原式二(卫) 二 -(3z)dv(3)V x y z=V6dv= 6V(2)=6g4 gl3 =8(1)4.cos(x2 y2)d ,其中 D是由

20、 x2Dy2 4围成的闭区域解：区域D在极坐标下可表示为02 ,0r 2,(2)原=2 d cosr2gdr 00,2 1一 sin 4d0 2(3)(1)sin 4(1)四.计算题（8X4=32分）1.0判别级数二Xn1 2n 1是否收敛,若收敛,是绝对收敛，还是条件收敛。解：|=发散，（2）n 1 2n 1 n1、2n 1 单调减少,lim r-1 0,(3)2n 1n 2n 1所以 X 收敛，并且是条件收敛。（3）n 1 . 2n 12 .将函数f（x） xe2x展开为x的哥级数。 n解：ex-（4）n 0 n!(2)2nxn 1f (x)xe2x n 0 n!3 .求微分方程y 2y

21、3x的通解。解：y 2y 0的通解为y ce2x,(2)设原方程的通解为y c(x)e2x,代入方程得c(x) 3xe2x 得 c(x) 3xe2x -e2x c24原方程的通解为(4)33 2xy - x ce244.求微分方程y 2y 3y 1的通解。(2)解：特征方程为2 23 0,特征根为13, 2对应的齐次方程的通解为3xyC1exc2e(2)y 3是方程的一个特解，原方程的通解为y3xc1ex c?e(2)五.设级数 Y收敛,n 1证明级数(u11)2也收敛 n(5分)证:nuni12un-nn1 22ununn2un n2(un2 白(2)而Un2收敛, n 1工也收敛。n 1

22、n(1)由比较判别法知，原级数收敛。(2)广东海洋大学 20112012学年第学期高等数学试题答案和评分标准考试 UA卷闭卷号：考查 B卷 口开卷题 号一一二四五六七八九十总分阅卷教师各题分数211428325100实得分数、填空(3X7=21分)rr1.设a 1,2,0, b 1, 1,1,贝Ua b , a b 2 .过点(1,0,1)且与平面x y z 1 0垂直的直线方程为 3 .设曲线 L:x cost, y sint(0 t 2 ),则？(x2 y2)2ds=1 x24 .改变积分次序0 dx 0 f (x, y)dy=5 .函数y x( x )的傅立叶级数在x=处收敛于6 .函数

23、z x2 y2在点(1,1)处的梯度为 7 .微分方程ysin5x通解为y .计算题(7X 2=14分)1 .设 z 2x 2 ,求 dz. x y2 .设z f(x,y)是由方程z xyez 1 0所确定的具有连续偏导数的函数，求二，二. x y.计算下列积分(7X4=28分)1 . (x y) d ,其中D是由直线y 0, y x以及x 1所围成的闭区域。2 .sin(x2 y2)d ，其中D是由x2 y2 1围成的闭区域。D3 .设曲线积分：x y)dx (kx y)dy在整个xoy平面内与路径无关，求常数k ,并计算积分值4 .计算 0xdydz 2ydzdx zdxdy,其中 是区域

24、 0 x 1,0 y 1,0 z 1 的整 个表面的外侧。4 .计算题（8X 4=32分）1 .判别级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条件收ni 3n敛。2 .将函数f（x） x2e3x展开为x的哥级数。3 . 求微分方程y y 3x的通解。4 .求微分方程y y 2y x的通解。5 .设级数un2收敛，证明级数（Un 2）2也收敛。（5分）n 1n 1n试题答案和评分标准一、填空（3X7=21 分） rr，-1 .设a 1,2,0, b 1, 1,1,则a b -1, a b 2, 1, 32 .过点（1,0,1）且与平面x y z 1 0垂直的直线方程为一上y -一 1113 .设曲线

25、 L:x cost,y sint（0 t 2）,则？（x2 y2）2ds = 24 .改变积分次序 0dx° f（x,y）dy=°dy 1f（x,y）dx5 .函数y x（ x）的傅立叶级数在x=处收敛于 06 .函数z x2 y2在点（1,1）处的梯度为2, 27 .微分方程y sin5x通解为y sin 5x qx c252二.计算题（7X 2=14分）1.设z2x求dz.解：1兆干z 4xy-22y (x y )(2)dz dx -z dy x y(2)消Tdx4xy/22(x y )dy(1)2.设z f(x,y)是由方程z xyez 1 0所确定的具有连续偏导数的

26、函数，求上，三. x y解： 在方程两边对x求偏导数， (1)-yez xyez z 0(2)xxz得，-er(1)x 1 xye在方程两边对y求偏导数，-xez xyez 0(2)yyz得，-产T(1)y 1 xye.计算下列积分(7X4=28分)x以及x 1所围成的闭区域1. (x y) d ,其中D是由直线y 0, y解：区域D可表本为0 y x,0 x 1,(1)(3)1 xxyd 0dx 0(x y)dyD1 3 c x dx02_122. sin(x2y2)d ,其中 D 是由 x2y2(1)1围成的闭区域解：区域D在极坐标下可表示为0(2)原= d sin r 2rdr 002

27、11° (- -cos1)d(3)(1)(1 cos1)(1)3.设曲线积分(1,1)(x y)dx (0.0)(kx y)dy在整个xoy平面内与路径无关，求常数k,并计算积分值。解：设P x y,Qkx y,(2)QPk, 1, xy所以k 1(2)1原式=0 xdx10(1 y)dy=14. 计算 0xdydz 2ydzdx zdxdy,其中是区域0 x 1,0 y 1,0 z 1的整个表面的外侧。解：设V是由 围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式原式二V(T(2y)y)dvzD4dvV=44V(1)四.计算题(8X 4=32分)1.判别级数上是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还

28、是条件收ni 3n敛。解:(1)n3n工发散,n i 3n(2)工单调减少，lim 03nn 3n所以 收敛，并且是条件收敛。n i 3n(3)(3)2.将函数f (x) x2e3x展开为x的哥级数。解：exn xo n!(4)3x e(3x)n o n!(2)f(x)2 3x x e(2)3. 求微分方程yy 3x的通解。解：y y 0的通解为y cex,(2)(4)(2)解：特征方程为22 0,特征根为i 2, 2(2)对应的齐次方程的通解为yC|e2xc2ex(2)设原方程的通解为yc(x)ex,代入方程得 c (x) 3xe x ,得 c(x) 3xe x 3e x c原方程的通解为y

29、 3x 3 cex4.求微分方程y y 2y x的通解。(2)是原方程的一个特解原方程的通解为y - x - c1e 2x c2ex(2)24五.设级数 Un2收敛，证明级数(Un 2)2也收敛。(5分)n 1n 1n224Tit：2un un 2n n222 4Un 424、eun un - 2(un =)(2)nn nn而Un2收敛，;也收敛。(1)n 1n 1 n由比较判别法知，原级数收敛。(2)广东海洋大学20102011学年第二学期高等数学I课程试题课 程考试A卷 闭卷号：考查UB卷口开卷题 号一一二四五六七八九十总分阅卷教师各题分数214039100实得分数填空(3X7=21分)_. r.'r1.已知 a=1,2,3, b =-2 , 1, 4,则 a b =12。2 .过点A(1, 2, 3)和点B(-2, 1, -4)的直线方程为x 1 y 2 z 3317(因为 Buv= 3, 1, 7