向量在解析几何中的应用

1、 向量在解析几何中的应用 大连市三十六中学数学组 例题例1.已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足，则点P的轨迹是（D） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线点评此题考查轨迹方程和向量的基本运算等知识，属于较简单的题.例2.已知椭圆(ab0)上总存在点P,使,其中F1,F2是椭圆的焦点,那么该椭圆离心率的取值范围是点评此题借助向量语言给出的垂直关系，重点考查椭圆的几何性质.例3. 设椭圆方程为,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B,O是坐标原点,点P满足,点N的坐标为.当l绕点M旋转时,求(1)动点P的轨迹方程;(2)的最大值和最小值. 解析设，代入中消得. 设则 设，

2、则 ，消得 当不存在时，中点为（0，0），满足上述方程. 所以P点轨迹方程是.由P点轨迹方程知 所以，当时，；当时，.点评此题主要考查平面向量的基本运算、直线和圆锥曲线相交问题、轨迹方程的求法和应用、配方法求函数的最值等基本知识，考查了解析几何的基本思想和综合解题能力.C例4.在直角坐标平面中,ABC的两个顶点A,B的坐标分别为A(-1，0),B(1，0)，平面内两点G，M同时满足以下条件：；.试求：ABC顶点C的轨迹方程；过点P(2，0)的直线l与中的轨迹交于点E，F，求的取值范围.BAGMyxO解析 是ABC的外心 A(-1，0),B(1，0)，M在y轴上 G是ABC的重心 设C(x,y)

3、,则. 又 C点轨迹方程是设，代入中消x得 则 设则 = 的取值范围是.点评此题主要考查如何用平面向量的知识解决来平面几何的问题，涉及了向量的几何意义和基本运算，同时考查了直线和圆锥曲线相交问题、求轨迹方程及函数的值域等基本知识，体现了解析几何的基本思想，是一道比较好的综合题.练习1.已知向量,经过原点O以为方向向量的直线与经过定点(0,1)以为方向向量的直线交于P其中R则点P的轨迹方程为 点评此题考查向量的基本运算、直线方程以及交轨法求轨迹方程等知识，涉及的知识点较多，具有一定的综合性.2.如果把直线x-2y+c=0沿向量平移,所得直线与圆相切,则实数c的值是 9或-1 点评此题主要考查直线

4、与圆相切问题，由于平移的介入增加了题目的难度，准确求出平移后直线的方程是本题的关键.yxFQO3. 如图:已知的面积为s,且(1)若,求向量与的夹角的范围(2)设,以O为中心F为焦点的椭圆经过点Q,求Q点的纵坐标(3)在(2)的条件下,当取最小值时,求椭圆的方程.解析(1)由题意得 得. 又 （2）以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系 设椭圆方程为，则. 由得 (3) 在上单调递增，此时，即取最小值时Q点的坐标为由点Q在椭圆上且c=2得，解得所以椭圆方程是.点评此题考查了平面向量的数量积、夹角、向量的坐标运算、利用函数的单调性求最值以及求椭圆的标准方程等知识点，是一道综合性极强的题，对学生的要求较高，考查了综合解题能力.4.已知两点且点P使成公差小于零的等差数列.（1）点P的轨迹是什么图形？（2）若点P的坐标是(x0,y0),设是的夹角，求tan.解析 (1) 设P(x,y), 则, 三者构成公差小于零的等差数列，且即p点轨迹是以原点为圆心,为半径的圆在y轴右侧的半圆. (2)由(1)知， ，点评此题考查了平面向量的数量积、等差数列、求轨迹的方法、三角函数的知识，是一道综合题，看起来比较复杂，