等腰三角形分类讨论思想

1、等腰三角形有关角度问题 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（    ）A. 30°                B. 75°    &#

2、160;            C. 105°               D. 30°或75°简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。当75°是底角时，则顶角的度数为180°75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就

3、等于75°。所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D。说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。 变式1:已知等腰三角形的一个外角为100°，则其顶角为_。简析：（1） 若外角与顶角相邻，则其顶角为80° ；（2）若外角与底角相邻，则其顶角为20°。变式2:如果等腰三角形中一个角是另一个角的两倍，那么它的底角是_度简析：（1）若底角是顶角的2倍，则其底角为72° ；（2）若顶角是底角的2倍，则

4、其底角为45°。例2 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。等腰三角形有关边的计算问题例题：已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_。简析：已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6，则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，这个三角形的底边长就是5，则此时周长等于17。故这个等腰三角形的周长等于16或17。

5、说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪条是底哪条是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。变式1：等腰三角形的一边长为6，周长为14，那么它的腰长为_。简析： 当底边为6时，则腰长为4；当腰长为6时，则底边为2；变式2：等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为_。简析： 当底边为2时，则腰长为3；当腰长为2时，则底边为4，但此时不能构成三角形，所以腰长只为3.说明：求出来的解应满足三角形三边关系例2 .若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应

6、有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是cm，底边长为cm，可得 或解得 或 即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。 平面直角坐标系中的等腰三角形问题例1.在平面直角坐标系中，已知A（2，-2），在y轴上确定点P，使AOP为等腰三角形，求点P的坐标.【解析】由于题目中没有明确等腰三角形的顶角顶点，所以需要对此进行分类讨论(如图)。点A、O、P均有可能为等腰三角形顶角的顶点。若点A为顶点，则点P坐标为（0，-4）；若点O为顶点，则点P坐标为（0， ）， 或（0， ）；若点P为顶点，此时，OA

7、为底边，点P在线段OA的中垂线上，则点P坐标为（0，-2）.所以，点P的坐标 为（0，-4），（0， ）， （0， ），（0，-2）。例2. 如图，在平面直角坐标系中，OABC是矩形，点A、C坐标分别为A（10,0），C（0,4），D是OA的中点，P在BC边上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为多少？ 【解析】由于题目只是给出ODP是腰长为5的等腰三角形，所以需要对等腰三角形的腰进行分类讨论。由题意，OD=5,当OD为腰时，点O和点D均有可能为等腰三角形顶角的顶点，所以若点O为顶点时，则OP=5，故点P坐标为（3,4），若点D为

8、顶点时，则DP=5，故点P坐标为（2,4）或（8,4）；当OD为底边时，点P就在OD的中垂线上，则此时点P坐标为（ 4），显然此时两腰长不为5，不合题意。【答案】点P坐标为（2,4）或（8,4）或（3,4） 拓展提升在平面直角坐标系中，已知点P(-2,1),关于y轴的对称点为Q，点B（x,0)是横轴上的一个动点，当三角形QBO是等腰三角形时，求x的值。因为P与 Q关于y轴对称,P（-2,1）所以Q（2,1）,OP=根号5当PTO是等腰三角形时,分以下几种情况进行讨论：1.当点T在x轴的正半轴时：（1）若TP=OP,因为OP=根号5,TP²=OP²,所以（

9、t-2）²+1²=5.t(t-4)=0.因为PTO要构成三角形,所以T点不可能与O点重合所以t=4（2）若OT=TP,则（t-0）²+（0-0）²=（t-2）²+（1-0）²所以t=5/4（3）若OP=OT,则有OP²=OT²,即（2-0）²+（1-0）²=（t-0）²+（0-0）²所以t²=5,因为T点在x轴的正半轴,所以t=根号5.2.当点T在x轴的负半轴时,角TOP一定是一个钝角三角形,所以当且仅当OT与OP作三角形的腰时,才可构成等腰三角形.所以OT

10、8;=OP²,则t²=5,因为T点在x轴的负半轴,所以t=-根号5在平面直角坐标系xOy中,已知点P（2,2）,点Q在y轴上,PQO是等腰三角形,则满足条件的点Q共有具体点的坐标在平面直角坐标系xOy中,已知点P（2,2）,点Q在y轴上,PQO是等腰三角形,则满足条件的点Q共有具体点的坐标 (0,2倍根号2)(0,负2倍根号2) (0,4)(0,2)例5. 为美化环境，计划在某小区内用的草皮铺设一块一边长为10的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。简析：在等腰ABC中，设AB=10，作CDAB于D，由，可得CD=6。如下图，当AB为底边时，AD=

11、DB=5，所以。如下图，当AB为腰且ABC为锐角三角形时，所以，。 如下图，当AB为腰且ABC为钝角三角形时，所以。说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。 五. 遇中垂线需讨论例6.在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角B=_。简析：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。如图1，当交点在腰AC上时，ABC是锐角三角形，此时可求得A=40°，所以B=C=（180°40°）=70°

12、。如图2，当交点在腰CA的延长线上时，ABC为钝角三有形，此时可求得BAC=140°，所以B=C=（180°140°）=20°故这个等腰三角形的底角为70°或20°。说明：这里的图2最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样才能正确解题。 六. 和方程问题的综合讨论例7. 已知ABC的两边AB，AC的长是关于的一元二次方程 的两个实数根，第三边BC长为5。（1）为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形？（2）为何值时，ABC是等腰三角形，并求ABC的周长。简析：（1）略。（

13、2）若ABC是等腰三角形，则有AB=AC，AB=BC，AC=BC这三种情形。方程可化为，即，显然，即。当AB=BC或AC=BC时，5是方程的根。当时，代入原方程可得，解得，。当时，原方程的解为，等腰ABC的三边长分别为5，5，4，周长为14。当时，原方程的解为，等腰ABC的三边长分别为5，5，6，周长为16。所以当或时，ABC是等腰三角形，周长分别为14或16。分类讨论思想1、等腰三角形的底边长为3，腰长为5，那么它的周长是_。2、等腰三角形的一边长为3，一边长为5，那么它的周长是_。3、等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为_。ABCD100°分类讨论题：一个等腰三角形的

14、一个外角等于110°,则这个三角形的三个内角应该为-如上,一定要分类讨论噢分类讨论题：一个等腰三角形的一个外角等于110°,则这个三角形的三个内角应该为-如上,一定要分类讨论噢1）若顶角为180°-110°=70°,由于两底角相等,三角形内角和为180°,则三个内角为70,55,552)若底角为70,同理可得,三个内角为70,70,401、 如图，在ABC中，AB=AC， 外角 ACD=100°，则B=_80°（2）等腰三角形的一个底角是70°， 则其顶角是_40°（3）如果等腰三角形的一个内角等于70° 那么它的底角度数_.70°或55º（4） 如果等腰三角形中一个角是另一个角的两倍，那么它的底角是_度 72或 45°小结：当等腰三角形中遇“角”的计算问题时，需对各种可能的情况分类讨论当顶角或底角不能确定时,必须进行分类讨论分类讨论思想是中学数学