构造齐次方程——解决圆锥曲线的一类问题

1、构造齐次方程解决一类问题准备知识定理：若直线庆+叱+桂=取"Q）与二次曲线+泣尸人+公+沙斗丁=°交于p, Q两点，则p, Q与原点O连线的方程是3,3 八 V/ 友+可 ” 次+Wc A白工十七歹一（7 +（心+后尸）（-）+/（-）二o矍 程*氏十驾当 1 -=1证明：设点P的坐标为（工1，乃），则： -鼻了:+就仇+货;+以+叩+/ =0 又直线OP上任一点的坐标可设为（处，加），其中£火,当工.二两，尸二初 时，有3,a 八 7 人+那八 一 /升+ 用：）&X +&D+C7 + +叨（-）+/（-）n再严：+ 坛训 + 干:+（以1 +

2、明 x-）+/（-）、二£ N及 =£）啊、呵必斗夕；+为+, +，）=0,故直线上任一点的坐标 产1，5）都适合方程* ,从而直线OP上任一点都在方程*所表示的曲线上。 同理直线OQ1任 一点都在方程*所表示的曲线上。又设直线op, OQ勺方程分别是。/+5 = 0G = iZ ,则由上证明知方程*的 左边必含有因式，"心=00 = 1,2）,因为方程*的左边为关于的齐二次式, 根据多项式因式分解是唯一的，所以方程*必与小工+5 =稣=L2）两方程同解。 综上知：P, Q与原点O的连线方程可以表示为*。注意：本定理给出了直线与二次曲线相交时， 两交点与原点连线的

3、直线方程 的构造法。若将方程*的左边展开整理后得到关于 E尸的齐二次方程加+加+守=0,其中A-感+贝 B舅-的"加斗2/， C=l -刖制,力则可以得到以下两个推论。推论1:若方程/+敢/+? = 0 00,炉-4月。>0）表示过原点且不口 »心 -4AC tan & = ±重合的两条直线，则这两条直线的夹角 日满足A4C 。证明：因为方程为一+取9面=0 （CO）表示过原点且不重合的两条直C线，所以工学0,则其可以化为H-j4= 0,又日-4工C、0 ,所以该方程有两个不相等的实数根，这两个根就是这两条直线的斜率 瓦，右，则氏 +/.,=，尢北一

4、，=一C " C ,依两直线的夹角公式得：口 . J十%41tllt2- 4j4C*tail 岁= ±-= = ±-= tj4+C1+用用注意：本推论给出了直线与圆锥曲线相交时， 相交弦对原点张角大小的计算 方法。推论2:方程兑/+方寸斗0/ = 口（不口方二-4刃。，0）表示过原点且不重合的两条直线，若这两条直线互相垂直，则 UU。证明：由推论1知：当这两条直线互相垂直时，日二90口，t儆日的值不存在， 门,月+C Ci?ot a 二土 1- o而gt日=0,即-4AC,所以d + C=0。注意：本推论给出了直线与圆锥曲线相交时， 相交弦对原点张直角问题的解 决

5、方法。二例题例1 （97年上海高考题）抛物线方程为/=切>+D> %，直线并4y=股与X轴 的交点在抛物线的准线的右边。（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2） 设直线与抛物线的交点为q, r, °Q°R ,求百关于脸的函数,（闻的表达式；42（3）在（2）的条件下，若抛物线的焦点F到直线了+y二冽的距离不大于万"， 求少的取值范围。解：（1）由1犬+，=取 消去x整理得：婷+孙h用+D=o,则房 > -1 -A=p（p + 4僧+ 4）,因为直线工+尸二网与五轴的交点为（见0）,所以 4,即p +4附+4°,所以A=p（p + 4

6、僧+4）0,故直线与抛物线总有两个交点兀+尸 r2犬+小-=1二 、 r 炉 二内+/?-（-）（2）由无十/二小得 演代入y三跃工+1）得， 产 加 尸 '用，整理得"-/-（物+ 2p）号rO+l）/=0 o依推论2得所以一受，即I的二条加lor即就与法所成角的大小为7T - retail3例2: （04年全国卷R）给定抛物线C: /=布，F是C的焦点，过点F的直线 上与C相交于A, B两点。（1）设上的斜率为1,求应 与为 夹角的大小；（2） 设位二；0了，若；I邑也9,求？在尸轴的截距的变化范围。解：抛物线尸=4"的焦点为F （1, 0）设直线的方程为了=土

7、一1即工一=1代 入,口=4/得_/=4工/了），整理得4，_4沙_/=0。由推论1得（OArOB（取负值），所以'4点=7T- arctan3tan 伍I 丽)二士 J"/* = 土到1 i A+C 3例3（02年北京卷改编）设GM分别为不等边的重心与外心，忒-LQ）.g（LQ）,GM /凝。（1）求C点的轨迹E的方程；（2）是否存在直线？，使？过点（0, 1）,并与E相交于P, Q两点，且满足而 Q2=0。若存在，求出直线？的方程; 若不存在，说明理由？/+ 2L = 1卜* 02¥ 土道）解：（1）二；。（2）假设存在直线l,其方程为P = H+1符合题设要求

8、。I的方程即N -化工二1代=8戏整理得2/ - 6既y斗尸一与i = Q77r = ±V = ± 02=0及推论2得期-1=0,解得 3。故存在直线£：3题设要求。工+1符合衣、1,0例4（05年山东卷）已知动圆过定点I 2 ）,且于定直线X =-C2相切，其中口 。（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）设A, B是轨迹上异于原点的两个不同点, 直线OA OB的倾斜角分别为K产，当a产变化且a+产为定值日（口® 歼） 时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。解：（1）艮=2/。,713,. v = 2P 元-（2）设直线AB的方程为尸=奴+占即b代入 =2/得整理得：y1犷- 2尹:严印N三0,因为羌工0 tan Q + tan jStan ©tan 声=2 phtan 璃+ tan ptan 口二 tan(tr+ 0二所以1 - tan tan 01.见=b-2pk由此解得2p+ 2P无=上二+ 2p) +t如6 。故直线AB恒过