第五模块微分方程PPT课件

1、一、微分方程一、微分方程第五模块微分方程第五模块微分方程第一节第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念二、微分方程的解二、微分方程的解一、微分方程一、微分方程第五模块微积分学的应用第五模块微积分学的应用第一节第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念二、微分方程的解二、微分方程的解定义定义 1凡含有未知函数导数凡含有未知函数导数 ( (或微分或微分) ) 的方程的方程，一、微分方程一、微分方程称为称为微分方程微分方程， 有时有时简称为方程简称为方程，未知函数是一元，未知函数是一元函数的微分方程函数的微分方程称做常微分方程称做常微分方程， 未知函数是多元未知函数是多元函数的微分方程函数的微分方

2、程称做偏微分方程称做偏微分方程. . 本教材仅讨论常微本教材仅讨论常微分方程，并简称为微分方程分方程，并简称为微分方程. .( (1) ) y = kx, k 为常数；为常数；例如，下列方程都是微分方程例如，下列方程都是微分方程 ( (其中其中 y, v, q q 均为均为未知函数未知函数).).( (2) ) ( y - - 2xy) dx + + x2 dy = 0；( (3) ) mv (t) = mg - - kv(t)；微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为称为微分方程的阶微分方程的阶. . 例如，方程例如，方程 ( (1) ) -

3、- ( (3) ) 为一阶微为一阶微分方程，分方程， 通常，通常，n 阶微分方程的一般形式为阶微分方程的一般形式为F(x, y, y , , y(n) = 0，其中其中 x 是自变量，是自变量， y 是未知函数，是未知函数，F(x, y, y , , y(n)是已知函数，是已知函数， 而且一定含有而且一定含有 y(n).;112yay ( (4) ).,(0sindd22为为常常数数lglgt q qq q( (5) )方程方程 ( (4) ) - - ( (5) ) 为二阶微分方程为二阶微分方程.定义定义 2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该

4、方程的解函数，都叫做该方程的解. .二、微分方程的解二、微分方程的解 若微分方程的解中含有若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同任意常数的个数与方程的阶数相同， 且任意常数之且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的间不能合并，则称此解为该方程的通解通解( (或一般解或一般解) ).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的为方程的特解特解. .例如方程例如方程 y = 2x 的解的解 y = x2 + + C 中含有一个任意中含有一个任意常数且与该方程的阶数相同，常数且与该方程的阶数相同， 因此，这个解是方程的因此，这个解

5、是方程的通解；通解； 如果求满足条件如果求满足条件 y(0) = 0 的解，代入通解的解，代入通解 y = x2 + + C 中，中， 得得 C = 0，那么，那么 y = x2 就是方程就是方程 y = 2x 的特解的特解.二阶微分方程的初始条件是二阶微分方程的初始条件是,|0000yyyyxxxx 及及即即 y(x0) = y0 与与 y (x0) = y 0，一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为初值问题初值问题. .求解某初值问题，就是求方程的特解求解某初值问题，就是求方程的特解.用来确定通解中的任意常数的附加条件一般称用来确定通解中的任意常数

6、的附加条件一般称为初始条件为初始条件.)(,|0000yxyyyxx 即即通常一阶微分方程的初始条件是通常一阶微分方程的初始条件是例例 1 验证函数验证函数 y = 3e x xe x 是方程是方程y + + 2y + + y = 0的解的解.解解 求求 y = 3e x xe x 的导数，的导数，y = -= - 4e x + xe - - x,y = 5e x - - xe - - x,将将 y，y 及及 y 代入原方程的左边，代入原方程的左边，(5e x - - xe - - x) + + 2(- - 4e x + xe - - x) + + 3e x xe x = 0，即函数即函数 y

7、 = 3e x xe x 满足原方程，满足原方程，得得有有所以该函数是所以该函数是所给二阶微分方程的解所给二阶微分方程的解. 得得 C = 2，故所，故所求特解为求特解为 y = 2x2 . 例例 2 验证方程验证方程 的通解的通解xyy2 为为 y = Cx2 ( (C 为为任意常数任意常数) )，并求满足初始条件并求满足初始条件 y|x = 1 = 2 的特解的特解.解解 由由 y = Cx2 得得y = 2Cx,将将 y 及及 y 代入原方程的左、右两边，代入原方程的左、右两边， 左边有左边有 y = 2Cx，,22Cxxy 而右边而右边所以函数所以函数 y = Cx2 满足原方程满足原

8、方程.又因为该函数含有一个任意常数，又因为该函数含有一个任意常数， 所以所以 y = Cx2 是一是一阶微分方程阶微分方程.2的通解的通解xyy 将初始条件将初始条件 y|x = 1 = 2 代入通解，代入通解，例例 3设一个物体从设一个物体从 A 点出发作直线运动，点出发作直线运动，在任一时刻的速度大小为运动时间的两倍在任一时刻的速度大小为运动时间的两倍. 求物体求物体运动规律运动规律 ( (或称运动方程或称运动方程) )解解首先建立坐标系：取首先建立坐标系：取 A 点为坐标原点，点为坐标原点，物体运动方向为坐标轴的正方向物体运动方向为坐标轴的正方向( (如图如图) )， 并设物体并设物体在

9、时刻在时刻 t 到达到达 M 点，其坐标为点，其坐标为 s(t). 显然，显然，s(t) 是时是时间间 t 的函数，它表示物体的运动规律，是本题中待的函数，它表示物体的运动规律，是本题中待求的未知函数，求的未知函数， s(t) 的导数的导数 s (t) 就是物体运动的速度就是物体运动的速度 v(t). 由题意，知由题意，知v(t) = 2t ，以及以及s(0) = 0.ASOMs(t)因为因为 v(t) = s (t)，因此，求物体的运动方程已化，因此，求物体的运动方程已化成了求解初值问题成了求解初值问题 , 0|,2)(0tstts积分后，得通解积分后，得通解 s(t) = t2 + C .

10、 故初值问题的解为故初值问题的解为 s(t) = t2，也是本题所求的物体的运动方程也是本题所求的物体的运动方程. 再将初始条件再将初始条件 代入通解中，得代入通解中，得 C = 0，例例 4已知直角坐标系中的一条曲线通过点已知直角坐标系中的一条曲线通过点 ( (1, 2) )，且在该曲线上任一点，且在该曲线上任一点 P( (x, y) ) 处的切线斜率处的切线斜率等于该点的纵坐标的平方，求此曲线的方程等于该点的纵坐标的平方，求此曲线的方程.解解 设所求曲线的方程为设所求曲线的方程为 y = y(x)， 根据导数的根据导数的几何意义及本题所给出的条件，几何意义及本题所给出的条件，y = y2，

11、即即,1dd2yyx 积分得积分得.1Cyx 又由于已知曲线过点又由于已知曲线过点 (1, 2)，代入上式，得，代入上式，得.23 C所以，求此曲线的方程为所以，求此曲线的方程为.123yx 得得一般地，微分方程的每一个解都是一个一元一般地，微分方程的每一个解都是一个一元函数函数 y = y(x) ，其图形是一条平面曲线，我们称其图形是一条平面曲线，我们称它为微分方程的它为微分方程的积分曲线积分曲线. 通解的图形是平面上的通解的图形是平面上的一族曲线，称为一族曲线，称为积分曲线族积分曲线族， 特解的图形是积分特解的图形是积分曲线族中的一条确定的曲线曲线族中的一条确定的曲线. 这就是微分方程的这

12、就是微分方程的通解与特解的几何意义通解与特解的几何意义.定义定义 1凡含有未知函数导数凡含有未知函数导数 ( (或微分或微分) ) 的方程的方程，一、微分方程一、微分方程称为称为微分方程微分方程， 有时有时简称为方程简称为方程，未知函数是一元，未知函数是一元函数的微分方程函数的微分方程称做常微分方程称做常微分方程， 未知函数是多元未知函数是多元函数的微分方程函数的微分方程称做偏微分方程称做偏微分方程. . 本教材仅讨论常微本教材仅讨论常微分方程，并简称为微分方程分方程，并简称为微分方程. .( (1) ) y = kx, k 为常数；为常数；例如，下列方程都是微分方程例如，下列方程都是微分方程

13、 ( (其中其中 y, v, q q 均为均为未知函数未知函数).).( (2) ) ( y - - 2xy) dx + + x2 dy = 0；( (3) ) mv (t) = mg - - kv(t)；微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为称为微分方程的阶微分方程的阶. . 例如，方程例如，方程 ( (1) ) - - ( (3) ) 为一阶微为一阶微分方程，分方程， 通常，通常，n 阶微分方程的一般形式为阶微分方程的一般形式为F(x, y, y , , y(n) = 0，其中其中 x 是自变量，是自变量， y 是未知函数，是未知函数，F(

14、x, y, y , , y(n)是已知函数，是已知函数， 而且一定含有而且一定含有 y(n).;112yay ( (4) ).,(0sindd22为为常常数数lglgt q qq q( (5) )方程方程 ( (4) ) - - ( (5) ) 为二阶微分方程为二阶微分方程.定义定义 2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解函数，都叫做该方程的解. .二、微分方程的解二、微分方程的解 若微分方程的解中含有若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同任意常数的个数与方程的阶数相同， 且任意常数之且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的

15、间不能合并，则称此解为该方程的通解通解( (或一般解或一般解) ).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的为方程的特解特解. .例如方程例如方程 y = 2x 的解的解 y = x2 + + C 中含有一个任意中含有一个任意常数且与该方程的阶数相同，常数且与该方程的阶数相同， 因此，这个解是方程的因此，这个解是方程的通解；通解； 如果求满足条件如果求满足条件 y(0) = 0 的解，代入通解的解，代入通解 y = x2 + + C 中，中， 得得 C = 0，那么，那么 y = x2 就是方程就是方程 y = 2x 的特解的特解.二

16、阶微分方程的初始条件是二阶微分方程的初始条件是,|0000yyyyxxxx 及及即即 y(x0) = y0 与与 y (x0) = y 0，一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为初值问题初值问题. .求解某初值问题，就是求方程的特解求解某初值问题，就是求方程的特解.用来确定通解中的任意常数的附加条件一般称用来确定通解中的任意常数的附加条件一般称为初始条件为初始条件.)(,|0000yxyyyxx 即即通常一阶微分方程的初始条件是通常一阶微分方程的初始条件是例例 1 验证函数验证函数 y = 3e x xe x 是方程是方程y + + 2y + + y

17、= 0的解的解.解解 求求 y = 3e x xe x 的导数，的导数，y = -= - 4e x + xe - - x,y = 5e x - - xe - - x,将将 y，y 及及 y 代入原方程的左边，代入原方程的左边，(5e x - - xe - - x) + + 2(- - 4e x + xe - - x) + + 3e x xe x = 0，即函数即函数 y = 3e x xe x 满足原方程，满足原方程，得得有有所以该函数是所以该函数是所给二阶微分方程的解所给二阶微分方程的解. 得得 C = 2，故所，故所求特解为求特解为 y = 2x2 . 例例 2 验证方程验证方程 的通解的

18、通解xyy2 为为 y = Cx2 ( (C 为为任意常数任意常数) )，并求满足初始条件并求满足初始条件 y|x = 1 = 2 的特解的特解.解解 由由 y = Cx2 得得y = 2Cx,将将 y 及及 y 代入原方程的左、右两边，代入原方程的左、右两边， 左边有左边有 y = 2Cx，,22Cxxy 而右边而右边所以函数所以函数 y = Cx2 满足原方程满足原方程.又因为该函数含有一个任意常数，又因为该函数含有一个任意常数， 所以所以 y = Cx2 是一是一阶微分方程阶微分方程.2的通解的通解xyy 将初始条件将初始条件 y|x = 1 = 2 代入通解，代入通解，例例 3设一个物

19、体从设一个物体从 A 点出发作直线运动，点出发作直线运动，在任一时刻的速度大小为运动时间的两倍在任一时刻的速度大小为运动时间的两倍. 求物体求物体运动规律运动规律 ( (或称运动方程或称运动方程) )解解首先建立坐标系：取首先建立坐标系：取 A 点为坐标原点，点为坐标原点，物体运动方向为坐标轴的正方向物体运动方向为坐标轴的正方向( (如图如图) )， 并设物体并设物体在时刻在时刻 t 到达到达 M 点，其坐标为点，其坐标为 s(t). 显然，显然，s(t) 是时是时间间 t 的函数，它表示物体的运动规律，是本题中待的函数，它表示物体的运动规律，是本题中待求的未知函数，求的未知函数， s(t) 的导数的导数 s (t) 就是物体运动的速度就是物体运动的速度 v(t). 由题意，知由题意，知v(t) = 2t ，以及以及s(0) = 0.ASOMs(t)因为因为 v(t) = s (t)，因此，求物体的运动方程已化，因此，求物体的运动方程已化成了求解初值问题成了求解初值问题 , 0|,2)(0tstts积分后，得通解