最新人教A版高中数学必修二浙江专版学案：3.1直线的倾斜角与斜率 含答案

1、最新人教版数学精品教学资料3.131.1倾斜角与斜率预习课本p8285，思考并完成以下问题 1直线的倾斜角的定义是什么？ 2直线的倾斜角的范围是什么？ 3直线的斜率的计算公式是怎样的？ 1直线的倾斜角(1)倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角如图所示，直线l的倾斜角是apx，直线l的倾斜角是bpx.(2)倾斜角的范围：直线的倾斜角的取值范围是0°180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.点睛(1)倾斜角定义中含有三个条件：x轴正方向；直线向上的方向；小于180°的非负角(

2、2)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等2直线的斜率(1)斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率常用小写字母k表示，即ktan_.(2)斜率公式：经过两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.当x1x2时，直线p1p2没有斜率(3)斜率的作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度点睛直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)1判断下列命题是否正确(正确的打“”，

3、错误的打“×”)(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率()(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1()(3)若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为ktan ()(4)直线斜率的取值范围是(，)()答案：(1)×(2)×(3)×(4)2若直线l经过原点和(1,1)，则它的倾斜角是()a45° b135°c45°或135° d45°解析：选b作出直线l，如图所示，由图易知，应选b.3已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()a. b.c1 d.解析：选a由题意可知，直线l的斜率ktan 30

4、°.直线的倾斜角典例设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()a45° b135°c135° d45°或135°解析由倾斜角的取值范围知，只有当0°45°180°(0°180°)，即0°135°时，l1的倾斜角才是45°.而0°180°，所以当135°180°时，l1的倾斜角为135°(如图)答案d求直线的倾斜角的方法及两点注意(1

5、)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角(2)两点注意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.注意直线倾斜角的取值范围是0°180°. 活学活用已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()a0°90° b90°180°c90°180° d0°180°解析：选c直线倾斜角的取值范围是0°180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角的取值范围是90°180°.直线的

6、斜率典例经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.(1)a(2,3)，b(4,5)；(2)c(2,3)，d(2，1)；(3)p(3,1)，q(3,10)解(1)存在直线ab的斜率kab1，即tan 1，又0°180°，所以倾斜角45°.(2)存在直线cd的斜率kcd1，即tan 1，又 0°180°，所以倾斜角135°.(3)不存在因为xpxq3，所以直线pq的斜率不存在，倾斜角90°.(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项运用公式的前提条件是“x1x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与

7、x轴垂直时，斜率是不存在的；斜率公式与两点p1，p2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置(2)在0°<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.倾斜角0°30°45°60°120°135°150°斜率k011活学活用1直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为()a. b.c d 解析：选c斜率k.2已知坐标平面内abc的三个顶点的坐标分别是a(1,1)，b(1,1)，c(1，1)，求直线ab，bc，ac的斜率解：已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜

8、率，但应先验证两点的横坐标是否相等kab0，kac1.b，c两点的横坐标相等，直线bc的斜率不存在.直线的倾斜角、斜率的应用题点一：三点共线问题1如果a，b(4，1)，c(4，m)三点在同一条直线上，试确定常数m的值解：由于a，b，c三点所在直线不可能垂直于x轴，因此可设直线ab，bc的斜率分别为kab，kbc.由斜率公式，得kab，kbc.点a，b，c在同一条直线上，kabkbc.，即m23m120，解得m1，m2.m的值是或.用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴当任意两点的连线垂直于x轴，且过同一点时，三点共线否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两

9、直线的斜率相等即可 题点二：数形结合法求倾斜角或斜率范围2直线l过点p(1,0)，且与以a(2,1)，b(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围解：如图所示kap1，kbp，k(， 1，)，45°120°.(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式ktan (90°)解决(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k(x1x2)求解(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解层级一学业水平达标1直线x1的倾斜角和斜率分别是()a45°，1 b135°，1c90°，不存在 d180°，不存在解析：选

10、c作出图象，故c正确2给出下列说法：若是直线l的倾斜角，则0°180°；若k是直线的斜率，则kr；任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角其中说法正确的个数是()a1 b2c3 d4解析：选c显然正确，错误3已知直线经过点a(2,0)，b(5,3)，则该直线的倾斜角为()a150° b135°c75° d45°解析：选b直线经过点a(2,0)，b(5,3)，其斜率k1.设其倾斜角为(0°180°)，则tan 1，135°.4过两点a(4，y)，b(2，3)的直线的倾斜角为

11、45°，则y()a b.c1 d1解析：选ctan 45°kab，即1，所以y1.5已知直线l经过点a(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是()a(1,0 b0,1c1,2 d0,2解析：选d由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0k2.故选d.6.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2l1，垂足为b.l1，l2与x轴分别相交于点c，a，l3平分bac，则l3的倾斜角为_解析：因为直线l1的倾斜角为150°，所以bca30°，所以l3的倾斜角为×(90°30&#

12、176;)30°.答案：30°7一束光线射到x轴上并经x轴反射已知入射光线的倾斜角130°，则反射光线的倾斜角2_.解析：作出入射光线和反射光线如图因为入射光线的倾斜角130°，所以入射角等于60°.又因反射角等于入射角，由图易知，反射光线的倾斜角为60°60°30°150°.答案：150°8已知点a(2，1)，若在坐标轴上存在一点p，使直线pa的倾斜角为45°，则点p的坐标为_解析：设x轴上点p(m,0)或y轴上点p(0，n)由kpa1，得1，得m3，n3.故点p的坐标为(3,0)或

13、(0，3)答案：(3,0)或(0，3)9已知a(m，m3)，b(2，m1)，c(1,4)，直线ac的斜率等于直线bc的斜率的3倍，求m的值解：由题意直线ac的斜率存在，即m1.kac，kbc.3·.整理得：m1(m5)(m1)，即(m1)(m4)0，m4或m1(舍去)m4.10已知两点a(3,4)，b(3,2)，过点p(2，1)的直线l与线段ab有公共点，求直线l的斜率k的取值范围解：直线l与线段ab有公共点，直线l的倾斜角介于直线pb与pa的倾斜角之间当l的倾斜角小于90°时，kkpb；当l的倾斜角大于90°时，kkpa.kpa1，kpb3，直线l的斜率k的取值

14、范围是(，13，)层级二应试能力达标1在平面直角坐标系中，正三角形abc的bc边所在直线的斜率是0，则ac，ab边所在直线的斜率之和为()a2 b0c. d2解析：选b由bc边所在直线的斜率是0，知直线bc与x轴平行，所以直线ac，ab的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线ac，ab的斜率之和为0.故选b.2已知经过点p(3，m)和点q(m，2)的直线的斜率等于2，则m的值为()a1 b1c2 d.解析：选d由直线的斜率公式，得2，m.3.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()ak1k2k3 bk3k1k2ck3k2k1 dk1k3k2解析：选d直线l2，l3的倾

15、斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0k3k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k10，所以k1k3k2.4若点p(x，y)在以a(3,1)，b(1,0)，c(2,0)为顶点的abc的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是()a. b.c. d.解析：选d根据已知的条件，可知点p(x，y)是点a，b，c围成的abc内一动点，那么所求的几何意义是过动点p(x，y)与定点m(1,2)的直线的斜率由已知，得kam，kbm1，kcm.利用图象，可得的取值范围是.故选d.5若a(2,2)，b(a,0)，c(0，b)(ab0)三点共线，则的值为_解析：a，b，c三点共线，kabkac，即.

16、2(ab)ab，.答案：6若三点a(3,1)，b(2，k)，c(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为_解析：kab，kac0.要使a，b，c三点能构成三角形，需三点不共线，即kabkac，0.k1.答案(，1)(1，)7设a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)是函数yx3的图象上任意三个不同的点求证：若a，b，c三点共线，则x1x2x30.证明：a，b，c是三个不同的点，x1，x2，x3互不相等a，b，c三点共线，kabkac，即，整理，得xx1x2xxx1x3x，即(x2x3)(x1x2x3)0.x2x3，x1x2x30.8已知实数x，y满足yx22x2(1x1)，试求的

17、最大值和最小值解：如图，可知表示经过定点p(2，3)与曲线段ab上任一点(x，y)的直线的斜率k.由已知条件，可得a(1,1)，b(1,5)易知kpakkpb.由斜率公式得kpa，kpb8，所以k8.故的最大值是8，最小值是.31.2两条直线平行与垂直的判定预习课本p8689，思考并完成以下问题 1两直线平行，对斜率和倾斜角的要求分别是怎样的？ 2两直线垂直，对斜率和倾斜角的要求分别是怎样的？ 1两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1l2k1k2.点睛(1)l1l2k1k2成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；l1与l2不重合(2)当两条直线不重合且斜率都

18、不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1l2.2两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如果它们的斜率之积等于1，那么它们互相垂直，即l1l2k1·k21.点睛l1l2k1·k21成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；k10且k20.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“×”)(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行()(2)若l1l2，则k1k2()(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直()(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线

19、平行()答案：(1)×(2)×(3)×(4)2直线l1，l2的斜率是方程x23x10的两根，则l1与l2的位置关系是()a平行 b重合c相交但不垂直 d垂直解析：选d设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k21.3l1过点a(m,1)，b(3,4)，l2过点c(0,2)，d(1,1)，且l1l2，则m_.解析：l1l2，且k21，k11，m0.答案：0两条直线平行的判定典例判断下列各题中直线l1与l2是否平行(1)l1经过点a(1，2)，b(2,1)，l2经过点m(3,4)，n(1，1)；(2)l1经过点a(3,2)，b(3,10)，l2经过点m(

20、5，2)，n(5,5)解(1)k11，k2.k1k2，l1与l2不平行(2)l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合，l1l2.k1k2l1l2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形 活学活用1在平面直角坐标系xoy中，四边形abcd的边abdc，adbc.已知点a(2,0)，b(6,8)，c(8,6)，则点d的坐标为_解析：根据abdc，adbc，利用平行直线的斜率相等求解设点d(x，y)，则由abdc，adbc可得kabkdc，kadkbc，即，解得x0，y2.答案：(0，2)2在abc中，a(0,3)，b(2，1)，e，f分别为边ac，b

21、c的中点，则直线ef的斜率为_解析：e，f分别为边ac，bc的中点，efab.kefkab2.答案：2两条直线垂直的判定典例判断下列各题中l1与l2是否垂直(1)l1经过点a(3，4)，b(1,3)，l2经过点m(4，3)，n(3,1)；(2)l1的斜率为10，l2经过点a(10,2)，b(20,3)；(3)l1经过点a(3,4)，b(3,10)，l2经过点m(10,40)，n(10,40)解(1)k1，k2，k1k21，l1与l2不垂直(2)k110，k2，k1k21，l1l2.(3)l1的倾斜角为90°，则l1x轴；k20，则l2x轴，l1l2.判断两条直线是否垂直的依据是：在这

22、两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直 活学活用1若不同两点p，q的坐标分别为(a，b)，(3b,3a)，则线段pq的垂直平分线的斜率为_解析：由过两点的直线的斜率公式可得kpq1，所以线段pq的垂直平分线的斜率为1.答案：12已知abc的顶点坐标分别为a(1,2)，b(1,1)，c(0,2)，求bc边上的高所在直线的斜率与倾斜角解：设bc边上的高所在直线的斜率为k，则有k·kbc1.kbc1，k1.bc边上的高所在直线的倾斜角为135°.根据两直线平行或垂直关系求参数典例已

23、知直线l1经过点a(3，a)，b(a1,2)，直线l2经过点c(1,2)，d(2，a2)(1)若l1l2，求a的值；(2)若l1l2，求a的值解设直线l2的斜率为k2，则k2.(1)若l1l2，则l1的斜率k1.k1，解得a1或a6.经检验，当a1或a6时，l1l2.(2)若l1l2.当k20时，此时a0，k1，不符合题意；当k20时，l1的斜率存在，此时k1.由k1k21可得·1，解得a3或a4.当a3或a4时，l1l2.当直线上点的坐标含有参数时，参数的不同取值决定了两条直线不同的位置关系，因此应对参数的取值情况分类讨论，一般分为直线斜率存在和斜率不存在两种情况 活学活用已知四边

24、形abcd的顶点a(m，n)，b(5，1)，c(4,2)，d(2,2)，求m和n的值，使四边形abcd为直角梯形解：四边形abcd是直角梯形，有2种情形：(1)abcd，abad，由图可知，a(2，1)(2)adbc，adab，综上可知，或层级一学业水平达标1设点p(4,2)，q(6，4)，r(12,6)，s(2,12)，下面四个结论：pqsr；pqps；psqs；prqs.其中正确的个数是()a1b2c3d4解析：选c由斜率公式知kpq，ksr，kps，kqs4，kpr，pqsr，pqps，prqs.而kpskqs，ps与qs不平行，正确，故选c.2直线l过(m，n)，(n，m)两点，其中m

25、n，mn0，则()al与x轴垂直 bl与y轴垂直cl过原点和第一、三象限 dl的倾斜角为135°解析：选d直线的斜率k1，直线l的倾斜角为135°.3经过点p(2，m)和q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是()a4 b1c1或3 d1或4解析：选b由题意，知1，解得m1.4若直线l1的斜率k1，直线l2经过点a(3a，2)，b(0，a21)，且l1l2，则实数a的值为()a1 b3c0或1 d1或3解析：选dl1l2，k1·k21，即×1，解得a1或a3.5已知点a(2,3)，b(2,6)，c(6,6)，d(10,3)，则以a，b，c，d

26、为顶点的四边形是()a梯形 b平行四边形c菱形 d矩形解析：选b如图所示，易知kab，kbc0，kcd，kad0，kbd，kac，所以kabkcd，kbckad，kab·kad0，kac·kbd，故adbc，abcd，ab与ad不垂直，bd与ac不垂直，所以四边形abcd为平行四边形6已知直线l1的斜率为3，直线l2经过点a(1,2)，b(2，a)，若直线l1l2，则a_；若直线l1l2，则a_.解析：l1l2时，3，则a5；l1l2时，则a.答案：57直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k24km0的两根，若l1l2，则m_.若l1l2，则m_.解析：由一元二次

27、方程根与系数的关系得k1·k2，若l1l2，则1，m2.若l1l2则k1k2，即关于k的二次方程2k24km0有两个相等的实根，(4)24×2×m0，m2.答案：228已知abc的三个顶点分别是a(2,22)，b(0，22)，c(4,2)，则abc是_(填abc的形状)解析：因为ab边所在直线的斜率kab2，cb边所在直线的斜率kcb，ac边所在直线的斜率kac，kcb·kac1，所以cbac，所以abc是直角三角形答案：直角三角形9当m为何值时，过两点a(1,1)，b(2m21，m2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，

28、(0，7)的直线垂直；(3)与过两点(2，3)，(4,9)的直线平行解：(1)由kab1，得2m2m30，解得m或1.(2)由3及垂直关系，得，解得m或3.(3)令2，解得m或1.10已知abc的顶点分别为a(5，1)，b(1,1)，c(2，m)，若abc为直角三角形，求m的值解：若a为直角，则acab，kac·kab1，即×1，解得m7；若b为直角，则abbc，kab·kbc1，即×1，解得m3；若c为直角，则acbc，kac·kbc1，即×1，解得m±2.综上，m的值为7，2,2或3.层级二应试能力达标1若直线l1，l2的倾斜角分别为1，2，且l1l2，则有()a1290° b2190°c|21|90° d12180°解析：选c由题意，知1290°或2190°，所以|21|90°.2已知四点a(m,3)，b(2m，m4)，c(m1,2)，d(1,0)，且直线ab与直线cd平行，则m的值为()a1 b0c0或2 d0或1解析：选d当m0时，直线ab与直线cd的斜率都不存在，且不重合，此时直线ab与直线cd平行；当m0时，k