323圆心角弦弦心距之间的关系

1、3.23.2圆的对称性圆的对称性(3) (3) 一、复习引入：一、复习引入：1、什么是轴对称、中心对称图形？、什么是轴对称、中心对称图形？1、圆心角，弦心距的概念、圆心角，弦心距的概念顶点在圆心的角叫圆心角顶点在圆心的角叫圆心角.圆心到弦的距离叫弦心距圆心到弦的距离叫弦心距.oba 2、 圆的旋转不变性：圆的旋转不变性：圆是一个中心对称图圆是一个中心对称图形，圆心是它的对称中心。圆绕着圆心旋转任形，圆心是它的对称中心。圆绕着圆心旋转任意一个角度都能和原来的圆重合。意一个角度都能和原来的圆重合。d二、新课学习：二、新课学习：练习：判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。oooo圆心角、弧、

2、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(1)定理：定理：在同圆中在同圆中，相等的圆心角所对的弦，相等的圆心角所对的弦 相等，所对的弧相等，所对的弦心距相相等，所对的弧相等，所对的弦心距相等。等。 思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：条件：条件：结论：结论：在等圆或同圆中在等圆或同圆中圆心角相等圆心角相等圆心角所对弧相等圆心角所对弧相等圆心角所对弦相等圆心角所对弦相等圆心角所对的弦心距相等圆心角所对的弦心距相等演示猜想：猜想：把圆心角相等与三个结论的任何一个把圆心角相等与三个结论的任何一个 交换位置，有怎样的结果？交换位置，有怎样的结果？

3、(2) 推论：推论：在同圆或等圆中在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。那么它们所对应的其余各组量都分别相等。oaabbdd 顶点在圆心的圆心角等分成顶点在圆心的圆心角等分成360360份时，每份时，每一份的圆心角是一份的圆心角是1 1的角，整个圆周被等分成的角，整个圆周被等分成360360份，我们把每一份这样的弧叫做份，我们把每一份这样的弧叫做1 1的弧的弧。 （同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）结论：结论：圆心角的度

4、数和圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。它所对的弧的度数相等。1 1弧的概念：弧的概念：三、巩固应用、变式练习三、巩固应用、变式练习1 、 判断题，下列说法正确吗？为什么？判断题，下列说法正确吗？为什么？aobba（2）在）在 o和和 o中，如果中，如果 ab=ab,那么那么ab=ab.（不对）（不对）（不对）（不对）（1）如图：因为）如图：因为aob=aob， 所以所以ab=ab.pabcdomn 例例1：如图，点如图，点o是是epf平分线上的一点，平分线上的一点，以以o为圆心的圆和角的两边分别交于点为圆心的圆和角的两边分别交于点a、b和和c、d 求证：求证：ab=cd证明：作证明：作oma

5、b，oncd，m、n为垂足，为垂足，mpo=npoomaboncd omab omon abcd oncdabcdomn变式变式1 1：oabcdefpmn变式变式2：已知：如图，已知：如图， o的弦的弦ab，cd相交相交于点于点p，apo=cpo 求证：求证：ab=cdabcdmno如图如图m、n为为ab、cd的中点的中点,且且ab=cd.求证：求证：amncnm变式变式3 3：例例2 2、在、在oo中，弦中，弦abab所对的所对的劣弧为圆的劣弧为圆的1/31/3，圆的半径为，圆的半径为2 2厘米，求厘米，求abab的长的长aboc例例3 3、已知、已知 abab和和cdcd为为oo的两的两

6、条直径条直径, ,弦弦ceab, ecceab, ec弧的度弧的度数等于数等于4040. . 求求bodbod的度数。的度数。e ea ad do ob bc c 2 2、已知：如图，、已知：如图，oo中，中， abab、cdcd交于交于e e，ad=bcad=bc。求证：求证：ab=cdab=cd。eodcab四、课堂练习四、课堂练习1 1、在、在oo中，直径为中，直径为1010厘米，厘米，abab弧是圆的弧是圆的1/41/4，求弦，求弦abab的长。的长。3 3、如图，、如图，oo中弦中弦abab，cdcd相交于相交于p p，且，且ab=cd.ab=cd.求证：求证：pb=pdpb=pdp

7、abcdo思考题：思考题：已知已知ab和和cd是是 o的两条弦，的两条弦，om和和on分别是分别是ab和和cd的弦心距，如果的弦心距，如果abcd，那么那么om和和on有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系1、在同圆或等圆中，大弦的弦心距较小；、在同圆或等圆中，大弦的弦心距较小；2、在同圆或等圆中，大弧所对的圆心角、在同圆或等圆中，大弧所对的圆心角 也较大。也较大。二、弦、弦心距之间的不等量关系二、弦、弦心距之间的不等量关系已知已知 o中，弦中，弦abcd，omab，oncd，垂足分别为，垂足分别为m，n，求证：求证：o

8、mcd，那，那么么omon。 1 1、一条弦把圆分成、一条弦把圆分成3 3：6 6两部分，则优弧所对两部分，则优弧所对 的圆心角为的圆心角为 . . 2 2、a a、b b、c c为为oo上三点，若上三点，若 、 、 的度数之比为的度数之比为1 1：2 2：3 3， 则则aob=aob= ， boc=boc= , coa=, coa= . . 3 3、在、在oo中，中，abab弧的度数为弧的度数为6060，abab弧的长弧的长 是圆周长的是圆周长的 。 4 4、一条弦长恰好等于半径，则此弦所对的圆、一条弦长恰好等于半径，则此弦所对的圆 心角是心角是 度。度。三、基础练习：三、基础练习：2406

9、01201801/660ambbcabcd6、如图，弦、如图，弦ab所对的劣弧所对的劣弧为圆的为圆的 ,则则aob= . acb= 31c co oa ab b5、弦长为、弦长为24cm,这条弦的弦心距为这条弦的弦心距为 cm， 这条这条 弦所对的圆心角是弦所对的圆心角是 度，圆的半径度，圆的半径是是 。34120cm3812060例例1、已知：如图，在已知：如图，在abc中中, c=90， a=34,以点以点c为圆心为圆心,cb为半径的圆交为半径的圆交 ab于于d点，求点，求bd弧的度数弧的度数.a ac cb bd d问题：求问题：求bd弧的度数，可转化弧的度数，可转化 为求什么？需添辅助

10、线吗？为求什么？需添辅助线吗？ 如何添？如何添？四、例题分析四、例题分析分析：（分析：（1）要证）要证ap=bp,有什么路径？有什么路径？ （ 2 ） “ c p 是是 d c o 的 平 分 线的 平 分 线”“”“cdab” 条件如何用？条件如何用？ （3）有无）有无“隐含条件隐含条件”？ （4）需添辅助线吗？）需添辅助线吗？例例2、如图，已知：如图，已知：ab为为 o的弦，的弦， 从圆上一点从圆上一点c引弦引弦cdab,作作ocd的的 平分线交平分线交 o于于p点，连结点，连结pa,pb. 求证：求证：pa=pb.o oa ab bc cd dp p例例3、（99年北京中考题）年北京中考

11、题）在在 o中，中，cd过圆心过圆心o，且，且cdab于于d，过点，过点c任作一任作一弦弦cf交交 o于于f，交，交ab于于e，求证：求证：cb=cecfoabcdef五、思考题：五、思考题：1、如图，、如图，ab是是 o的直径，的直径，过过ab上任一点上任一点k作与作与ab相相交成交成45的弦的弦pq，设，设 o的半径为的半径为r，求证：，求证：pk2+qk2为定值。为定值。abopkqd2、如图、如图 a与与 b是两个等圆是两个等圆,直线直线cfab,分别交分别交 a于点于点c、d，交，交 b于点于点e、f。求证：求证：cad=ebfabcdefgh五、思考题：五、思考题：小结：小结：1

12、1、圆具有、圆具有“旋转不变性旋转不变性”。 即：圆绕圆心旋转任意角度，都能与本身重合即：圆绕圆心旋转任意角度，都能与本身重合2 2、圆心角、弦心距、圆心角、弦心距、1 1的弧的定义。的弧的定义。3 3、四个量之间的等量关系。（、四个量之间的等量关系。（知一推三知一推三） 证明弧相等方法的扩充：证明弧相等方法的扩充： （1 1）等弧的定义）等弧的定义 （2 2）垂径定理及推论）垂径定理及推论 （3 3）四个量之间的等量关系及推论。）四个量之间的等量关系及推论。4 4、圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系。、圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系。 （相等相等）5 5、常添的辅助线：、常添的辅助线

13、：作出半径、弦心距作出半径、弦心距1 1、了解圆的对称性和它的旋转不变性、了解圆的对称性和它的旋转不变性. . 2 2、理解圆心角、弦心距的概念、理解圆心角、弦心距的概念. . 3 3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等 关系定理及推论关系定理及推论. .4 4、理解、理解1 1弧的概念。弧的概念。圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系教学目标：教学目标：教学重点：教学重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系. .教学难点：教学难点：从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、从圆的旋转不变性出发，推

14、出圆心角、 弧、弧、 弦、弦心距之间的相等关系。弦、弦心距之间的相等关系。教学课时：教学课时：共二课时。共二课时。abmoambabom)( a)(bmoabmabmo)(oo)(aa)(bb)(mm2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也都分别相等。那么它们所对应的其余各组量也都分别相等。圆心角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）弧、弦、弦心距之间的关系（二）1. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。一、

15、重要定理复习一、重要定理复习 根据这一定理，在同圆或等圆中，圆心根据这一定理，在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间就可以实现等量关角、弧、弦、弦心距之间就可以实现等量关系的相互转化，由知一个转为知三个，给解系的相互转化，由知一个转为知三个，给解题带来了转机。题带来了转机。圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系abcdoe圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系如果如果 aob = cod abcdoef如果如果 oe = of ac = bd 垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧.题设题设结论结论（1）直径）直径（2）垂直于

16、弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧moacbn垂径定理垂径定理am=mban=nbmoacbnam=mban=nb垂径定理垂径定理推论推论1推论推论1. (1)平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。直于弦，并且平分弦所对的两条弧。moacbn垂径定理垂径定理推论推论1am=mban=nb(2)(2)弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心, ,并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧; ;moacbn垂径定理垂径定理推论推论1am=mban=nb(3)(3)平分弦

17、所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径, ,垂垂直平分弦直平分弦, ,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧 圆的两条平行弦所夹圆的两条平行弦所夹的弧相等。的弧相等。oabcdoabcdmm垂径定理垂径定理推论推论2oabcdef例例2：已知：如图，已知：如图， ab、cd是是 o的两条弦，的两条弦，oe、of为为ab、cd的弦心距的弦心距 如果如果aobcod, 那么那么oe与与of的大小有什的大小有什么关系？为什么？么关系？为什么？ 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系oabcefd例例2：已知：如图，已知：如图， ab、cd是是 o的两条弦，的两条弦，oe、of为为ab、cd的弦心距的弦心距 如果如果oeof，那么，那么ab与与cd的大小有什么关的大小有什么关系？系？ab与与cd的大小有什的大小有什么关系？为什么？么关系？为什么？aob与与cod呢？呢？圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 2 2、抢答题、抢答题 已