高中数学求轨迹方程的六种常用技法

1、求轨迹方程的六种常用技法轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问 题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的 大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常 用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的 常用技法。1.直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列 出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。4-例1 .已知线段AB 6,直线AM , BM相交

2、于M ,且它们的斜率之积是 一，求点M 的轨迹方程。9解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则 A( 3,0), B(3,0),设点M的坐标为(x, y),则直线AM的斜率kAM 一(x 3),直线BM的斜率kAM 一(x 3)由已知有x 3x 3y y 4亡？亡7(x 3)x 3 x 3 922化简，整理得点 M的轨迹方程为 y- 1(x3)94练习：1 .平面内动点 P到点F (10,0)的距离与到直线 x 4的距离之比为2,则点P的轨迹方程uuu uuu2 .设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x 2y 4交于A、B两点，P是l上满足PA PB 1的点，求点 P的轨迹方程。

3、3 .到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线2.定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义 法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二 是熟练掌握平面几何的一些性质定理。例2.若B( 8,0), C(8,0)为 ABC的两顶点，AC和AB两边上的中线长之和是 30,则 ABC的重心轨迹方程是。解：设 ABC的重心为G(x, y),则由AC和AB两边上的中线长之和是 30可得BG CG 2 30 20,而点B(

4、 8,0), C(8,0)为定点，所以点 G的轨迹为以B,C为焦点的椭圆。所3以由 2a 20,c 8可得 a 10,b Ja2 c2 622故ABC的重心轨迹方程是y- 1(y 0) 100 36练习：4.方程2j(x 1)2 (y 1)2 |x y 2|表示的曲线是 ()A.椭圆 B.双曲线 C.线段 D.抛物线 3.点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A(x1,y1), B(x2, y2)的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x1x2,y1y2 ,x1x2,y1y2等关系式，由于弦AB的中点P(x,y)的坐标满足2x x1 x2 ,2y

5、y y2且直线 AB的斜率为 差y1 ,由此可求得弦 AB中点的轨迹方程。x2 y2.例3 .椭圆一 匚 1中，过P(1,1)的弦恰被P点平分，则该弦所在直线方程为 。 42解：设过点P(1,1)的直线交椭圆于 A(x1,y1)、B(x2,y2)，则有 2222H 1 旦旦14242 可得(x1 x2)(x1 x2)(y1 y2)(y1042而P(1,1)为线段AB的中点，故有x1 x2 2,y1 y2 2所以(x1 x2) 2 (y1 y2) 2 0义21，即*142x1 x2221所以所求直线万程为 y 1-(x 1)化简可得x 2y 3 02练习：5.已知以P(2, 2)为圆心的圆与椭圆

6、x2 2y2 m交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方 程。26.已知双曲线x22一1过点P(1,1)能否作一条直线l与双曲线交于 A, B两点，使P为线段AB的中 2点？4.转移法转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：某个动点P在已知方程的曲线上移动；另一个动点M随P的变化而变化；在变化过程中P和M满足一定的规律。22例4.已知P是以F1,F2为焦点的双曲线 L 1上的动点，求F1F2P的重心G的轨迹方程。16910解：设 重心 G（x, y）,点 P（xo,y。），因为 F（ 4,0）, F2（4,

7、0）x则有y4 4 X030 0 yo3y2/2故x0 3x代入”为y0 3y 1691得所求轨迹方程9x216y2 i(y 0)例5.抛物线x24 y的焦点为F ,过点（0, 1）作直线l交抛物线A、B两点，再以AFBF为邻边作平行四边形AFBR,试求动点R的轨迹方程。解法一：（转移法）设R（x,y）,F (0,1), 平行四边形 AFBR的中心为p(2,_L),22将y kx 1 ,代入抛物线方程相x2 4kx 4 0 ,设 A(x1, y1), B(x2, y)，则16k2 16|k| 14kx x2 4k dXx2 4x1x2 42x22(x1 x2)2x1x24k2 P为AB的中点.

8、，xx22ky 1y1 y222k22x 4ky 4k22x 4( y 3),由得,2| x | 4 ,故动点R的轨迹方程为x4(y 3)(|x| 4)。解法二：（点差法）设R（x,y） F(0,1), .平行四边形AFBR的中心为x%,设 A(Xi, y1), B(x2, y)，则有2Xi4y d2,x24 y2由得(x1 x2)(x1 x2)4( y1y2)x1 x2 4kl为AB的中点且直线l过点（0,1)x2-x .2 - x,kl2y 12x23代入可得 xy 3, r 2x 4 -一，化简可得xx4y 12x2 12 x-2d4由点P（x,-y-）在抛物线口内，可得 （,） 222

9、8(y 1)一 2 X 122将式代入可得X2 8(- 1)X2 16 |x| 442故动点R的轨迹方程为x 4( y 3)(|x| 4)。 uuu uur练习：7.已知A( 1,0), B(1,4),在平面上动点 Q满足QA QB 4,点P是点Q关于直线y 2(x 4)的对称点，求动点P的轨迹方程。5.参数法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是 利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时 题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲 线的位置关

10、系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。)uuuuuuu uur例6.过点M ( 2,0)作直线l交双曲线x2y21于A、B两点，已知OPOA OB。(1)求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；(2)是否存在这样的直线l ,使OAPB矩形？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。解：当直线l的斜率存在时，设l的方程为y k(x 2)(k 0),代入方程x2 y2 1,得(1 k2)x2 4k2x 4k2 1 0因为直线l与双曲线有两个交点，所以1k2 0,设A(x1, y1), B(x2,y2),则224k4k 1X x 2泾- 1 kk 1y1y2k(x12)k%2)

11、 k(x1 x2)4kk 4k21 k24k4k1 k2设 P(x, y),由uurOPuurOAuuuOB 得(x,y)(xix2, y1¥2)24k24k(r-2, 72)1 k 1 k4k2x 21 k24x4ky 21 k22x y 4xx所以一 y代入y4k1 k2可得y,化简得1山2y_ 20 即(x 2)当直线l的斜率不存在时，易求得4P( 4,0)满足方程，故所求轨迹方程为(x一 22一2) y 4( y 0),其轨迹为双曲线。(也可考虑用点差法求解曲线方程)uuu uuu(2)平行四边OPAB为矩形的充要条件是 OA OB当k不存在时，A、B坐标分别为(2,J3)、

12、当 k 存在时，x(x2 y1y2 x1x2 k(x1 2)k(x2(2, 2)0 即 x1 x2 y1y 20 J3),不满足式(1 k2)x1x2 2k2(x1 x2) 4k222_ 22(1 k2)(1 4k2) 2k2 4k2221 kk 14k20化简得k2 1k2 1此方程无实数解，故不存在直线 l使OPAB为矩形。2练习：8 .设椭圆方程为x2 匕 1,过点M (0,1)的直线l交椭圆于点A、B, O是坐标原点，点P满足 411 1, 小一 ,OP (OA OB),点N的坐标为(一,一)，当l绕点M旋转时，求： 22 2(1)动点P的轨迹方程；(2)| NP |的最小值与最大值。

13、9.设点A和B为抛物线y2 4Px(p 0)上原点O以外的两个动点，且OA OB ,过O作OM AB于M ,求点M的轨迹方程。6.交轨法：若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先 求出交点的参数方程，再化为普通方程。丫2“2例7.已知MN是椭圆匚 J 1中垂直于长轴的动弦， A、B是椭圆长轴的两个端点， 求直线MA和NB 2 k2a b的交点P的轨迹方程。解1:(利用点的坐标作参数)令 M(x,y1),则 N(Xi, y1)而 A( a,0), B(a,0).设 AM 与 NB 的交点为 P(x, y)因为A,M ,P共线，所以上x a xi a22两式

14、相乘得一1一，2222x a xi a因为N,B, P共线，所以上x a xi a22.2,22、而4 1即y12 b (a)代入22.212a bax2得22x ab22 'a即交点P的轨迹方程为x2-2 a2匕1 b2解 2:(利用角作参数)设M(acos ,bsin )，则 N(acos , bsin )所以一 x absin acos ay bsinx a a cos a两式相乘消去v2、,2即可得所求的P点的轨迹方程为 二二1。2.2ab1)的交点的轨迹方程是练习：10.两条直线ax y 1 0和x ay 1 0(a总结归纳1 .要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线

15、上点的坐标的取值范围.由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明 x,y的取值范围。2 .“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完 整性。练习参考答案i (x 2)2 16212.解：设P点的坐标为(x, y),则由方程48由于直线l与椭圆交于两点 A、B,故 2 x 2即A、B两点的坐标分别为 A(x,uiuPA(0,1即4 x由题知uuuPAuuuPBP的轨迹方

16、程为所以点)1( 2 x 2)(：4 x2y 322y 4 ,得 y4 x22 ),B(x,x64 x22. 2 yi即x22y23. D【解析】在长方体 ABCDAiBiCi Di中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线AD与DiCi是异面垂直的两条直线， 过直线AD与D1cl平行的平面是面 ABCD ,设在平面ABCD内动点M (x, y)满足到直线AD与D1G的距离相等，作 MM 1MP 于 M，MN CD 于 N易知MN 平面CDDiCi,MP 间的距离)，即有y2 x2 a22DiC，则有 MM i MP , | y|,因此动点M的轨迹是双曲线，选,NP DiCi 于 P ,连结 M

17、P , 2a (其中a是异面直线 AD与DiCiD.4. A 5 .解设 M (x, y),A(xi, yi), B(x2, y2)则 xi x2 2x, yiy22y,两式相减并同除以(xix2)得yi y21 x1x2xix22 ViV21 x2y而kABxi又2Viy22 m, x2kPM又因为PMAB所以kABkPMi化简得点M的轨迹方程xy2x4y6.先用点差法求出2x y I 0。但此时直线与双曲线并无交点，所以这样的直线不存在。注意双曲线与椭圆的不同之处，椭圆不须对判别式进行检验，而双曲线必须进行检验。中点弦问题,uur7.解：设 Q(x, y),则 QA uuu uuu由 QA

18、 QB 4( 1即 x2 (y 2)2 32点P是点Q关于直线uuu(i x, y),QB (1 x,4 y)x, y) (1 x,4 y) 4( 1 x)(1 x) ( y)(4 y)所以点Q的轨迹是以C(0,2)为圆心，以3为半径的圆。y 2(x 4)的对称点。动点P的轨迹是一个以 Co（Xo, yo）为圆心，半径为3的圆，其中Co（Xo,yo）是点C（0,2）关于直线y 2(xVo 2 x 04）的对称点，即直线 y 2（x 4）过CCo的中点，且与CC。垂直，于是有y022Xo2y0 X。4 0即y0 2x0 i8 04Xoyo故动点轨迹方程为（x 8）2 （y22)29。8.解：（i

19、）解法一：直线l过点M （0,i）,设其斜率为k,则l的方程为y kx i记 A(x1, y1)、B（X2,y2）,由题设可得点 A、B的坐标（Xi,y）、（x?"?）是方程组所以设点kx i2L i的解%2kX1yiX2V2k2，P的坐标为（x, y）,则将代入并化简得，（4 k2）x2 2kx 3 0,八i八 八OP -(OA OB)(xiX2 yi2,y22）（/,六）.kk4k2，消去参数k得4x2P的轨迹方程为4x2当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0,0）,也满足方程，所以点解法二：设点P的坐标为（X, y）,因A（Xi，yi）、B（X2,y2）在椭圆上，所以2Xi_2X22 y242i .一得Xi2X2i 22,一一(yi、2) 0,所以4(XiX2)(XiX2)4(yiy2 )( yiy2)0.当Xi-i，、X2 时，有 Xi x2 - (yi 、2)4yiy2xix2并且XiX22yi y2,2I yi y2xix2将代入并整理得4x2y2 y 0.当XiX2时，点A、B的坐标为（0,2）,（0,2）,这时点P的坐标为（0,0）2 （y ）2也满足，所以点P的轨迹方程为 - 2 iiii64iii（2）解：由点P的轨迹万程知x2,即 一x 所以i64421 21 21 2|NP|