数学史上的三次危机

1、数学的发展史中， 并不是那么一帆风顺的， 其中历史上曾发生过三大危机， 危机的发生促使了数学本生的发展，所以我们应该辨证地看待这三大危机。第一次危机发生在公元前580568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯 建立了毕达哥拉斯学派 。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密， 所有 发明创造 都归于学派领袖。 当时人们对有理数 的理解还很有限， 对于无理数 的概念更是一无所知， 毕达哥拉斯学派所说的数， 原来是指整数， 他们不把分数看成一种数， 而仅看作两个整数之比， 他们错误地认为， 宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。 该学派的成员希伯 索斯 根据 勾股定理 （西方称为毕

2、达哥拉斯定理） 通过 逻辑推理 发现， 边长为 1 的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯 索斯 的发现被认为是 “荒谬 ”和违反常识的事。它不但严重地违背了 毕达哥拉斯学派 的信条， 也冲击了当时希腊人 的传统见解。 使当时希腊 数学家 们深感不安， 相传希伯 索斯 因这个发现被投入海中淹死， 这就是第一次数学危机。最后， 这场危机通过在 几何学 中引进不可通约量概念而得到解决。 两个几何线段，如果存有一个第三线段能同时量尽它们， 就称这两个线段是可通约的， 否则称为不可通约的。 正方形的一边与对角线， 就不存有能同时量尽它们的第三线段， 所以它们是不可通约的。 很显然

3、， 只要承认不可通约量的存有使 几何量 不再受整数的限制，所谓的 数学危机 也就不复存有了。我认为第一次危机的产生最大的意义导致了 无理数 地产生，比如说我们现在说的 ， 都无法用 来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数 便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了 虚数 i （ 虚数的产生导致复变函数 等学科的产生， 并在现代工程技术上得到广泛应用） ， 这使我不得不佩服人类的智慧。 但我个人认为第一次危机的真正解决在 1872 年 德国数学家 对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的 逻辑与 推证性的。第二次数学危机发生在十七世纪。 十七世纪 微积分 诞生

4、后， 因为 推敲微积分 的理论基础问题， 数学界出现混乱局面， 即 第二次数学危机。 其实我翻了一下相关数学史 的资料， 微积分 的 雏形 早在古希腊时期就形成了， 阿基米德 的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到 2100 年 后，牛顿和莱布尼兹 开辟了新的天地 微积分。 微积分的主要创始人 牛顿在一些典型的推导过程中， 第一步用了 无穷小量 作分母实行除法， 当然 无穷小量 不能为零； 第二步牛顿又把无穷小量 看作零， 去掉那些包含它的项， 从而得到所要的公式， 在力学和 几何学 的应用证明了这些公式是准确的，但它的数学推导过程却在逻辑上 自相矛盾 焦点是：无穷小 量是零还是非

5、零？如果是零， 怎么能用它做除数？如果不是零， 又怎么能把包含着 无穷小 量的那些项去掉呢？直到 19 世纪 ， 柯西 详细而有系统地发展了 极限理论 。 柯西 认为把 无穷小 量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量， 所以本质上它是变量， 而且是以零为极限的量， 至此柯西 澄清了前人的无穷小的概念，另外weistrass 创立了 极限理论 ，加上 实数理论 ， 集合论 的建立， 从而把无穷小量从形而上学 的束缚中解放出来， 第二次数学危机 基本解决。而我自己的理解是一个无穷小量， 是不是零要看它是运动的还是静止的， 如果是静止的，我

6、们当然认为它能够看为零；如果是运动的，比如说1/n ，我们说 ，但 n 个 1/n 相乘就为 1 ，这就不是无穷小量了，当我们遇到 等情况时，我们能够用洛比达法则反复求导来考查极限，也能够用 taylor 展式展开后，一阶一阶 的比，我们总会在有限阶比出大小。第三次数学危机发生在 1902 年 ， 罗素悖论 的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝 ，绝对准确的数学出现了 自相矛盾 。我从很早以前就读过 “理发师悖论”，就是一位理发师给不给自己理发的人理发。那么理发师该不该给自己理发呢？还有大家熟悉的 “说谎者悖论”，其大体内容是：一个 克里特 人说： “所有 克里特 人说的每一句话都是谎话。 ”

7、试问这句话是真还是假 ?从数学上来说，这就是 罗素悖论 的一个具 体例 子。罗素 在该 悖论 中所定义的集合r ， 被几乎所有集合论 研究者都认为是在 朴素集合论 中能够合法存有的集合。事实虽是这样但原因却又是什么呢？这是因为 r 是集合，若r含有自身作为元素，就有r r,那么从集合的角度就有r r。一个集合 真包含 它自己， 这样的集合显然是不存有的。 因为既要 r 有异于 r 的元素， 又要 r 与 r 是相同的，这显然是不可能的。所以，任何集合都必须遵循r r 的基本原则， 否则就是不合法的集合。这样看来， 罗素悖论 中所定义的一切 r r 的集合， 就应该是一切合法集合的集合， 也就是所有集合的集合， 这就是同类事 物包含所有的同类事物， 必会引出最大的这类事物。归根结底， r 也就是包含一 切集合的 “最大的集合”了。所以能够明确了，实质上， 罗素悖论 就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论 。从此， 数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法， 其中之一是把集合论 建立在一组 公理 之上， 以回避 悖论 。 首先实行这个工作的是德国数学家策梅罗 ， 他提出七条 公理 ， 建立了一种不会产生悖论的集合论， 又经过德国的另一位数学家弗芝 克尔 的改进，形成了一个无矛盾的 集合论公理系统 （即所谓 zf 公理系统 ），这 场 数学危机 到此缓和下来。 现在，