江苏扬州中学2024-2025学年数学高二下期末经典试题含解析

江苏扬州中学2024-2025学年数学高二下期末经典试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A． B．C． D．2．等差数列{an}的前n项和Sn，且4≤S2≤6，15≤S4≤21，则a2的取值范围为（）A． B． C． D．3．某研究机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：记忆能力识图能力由表中数据，求得线性回归方程为，,若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为()A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．104．已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m，n没有公共点，则B．若，，则C．若，则D．若，则5．若抛物线,过其焦点的直线与抛物线交于两点,则的最小值为()A．6 B． C．9 D．6．已知直线（为参数）与曲线的相交弦中点坐标为，则等于（）A． B． C． D．7．已知集合，则（）A． B． C． D．8．设函数f(x)＝axA．193 B．163 C．139．某中学高二共有12个年级，考试时安排12个班主任监考，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任监考，则不同的安排方案有（）A．4455 B．495 C．4950 D．742510．已知，且，则向量在方向上的投影为（）A． B． C． D．11．复数,则对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．设集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中项的系数为_____．14．已知函数,若对任意,存在,，则实数的取值范围为_____.15．已知点，，若直线上存在点，使得，则称该直线为“型直线”.给出下列直线：（1）；（2）；（3）；（4）其中所有是“型直线”的序号为______.16．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求AM与平面A1MD所成角的正弦值．18．（12分）已知直线的方程为，圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求直线与圆的交点的极坐标；（2）若为圆上的动点，求到直线的距离的最大值．19．（12分）已知椭圆：，过点作倾斜角互补的两条不同直线，，设与椭圆交于、两点，与椭圆交于，两点.（1）若为线段的中点，求直线的方程；（2）记，求的取值范围.20．（12分）已知，命題对任意，不等式恒成立；命题存在，使得成立.(1)若为真命题，求的取值范围；(2)若为假，为真，求的取值范围.21．（12分）在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛．（1）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，求a的值及估计这200名参赛选手的成绩平均数；（2）根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率为，假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有3名选手进入复活赛，记这3名选手在复活赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．22．（10分）如图，圆柱的轴截面是，为下底面的圆心，是母线，.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.2、B【解析】

首先设公差为，由题中的条件可得和，利用待定系数法可得，结合所求的范围及不等式的性质可得.【详解】设公差为，由，得，即；同理由可得.故可设，所以有，所以有，解得，即，因为，.所以，即.故选：B.本题主要考查不等式的性质及等差数列的运算，利用不等式求解范围时注意放缩的尺度，运算次数越少，范围越准确.3、B【解析】试题分析：当时考点：回归方程4、D【解析】

由空间中点、线、面位置关系的判定与性质依次对选项进行判断，由此得到答案。【详解】两条直线没有公共点有平行和异面两种情形，故A，B错；对于C，还存在的情形：由线面垂直的性质可得D对，故选D．本题考查学生对空间中点、线、面的位置关系的理解与掌握，重点考查学生的空间想象能力，属于中档题。5、B【解析】分析：设直线方程为，联立方程组得出A，B两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出关于A，B两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值.详解：抛物线的焦点，设直线方程为，联立方程组，得，设，则，，由抛物线的性质得，.故选：B.点睛：本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.6、A【解析】

根据参数方程与普通方程的互化，得直线的普通方程为，由极坐标与直角坐标的互化，得曲线普通方程为，再利用“平方差”法，即可求解．【详解】由直线（为参数），可得直线的普通方程为，由曲线，可得曲线普通方程为，设直线与椭圆的交点为，，则，，两式相减，可得.所以，即直线的斜率为，所以，故选A．本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及中点弦问题的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用中点弦的“平方差”法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7、C【解析】

利用对数函数的单调性对集合化简得x|0＜x＜1}，然后求出A∩B即可．【详解】＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝{1}，故选：C考查对数不等式的解法，以及集合的交集及其运算．8、D【解析】

由题，求导，将x=-1代入可得答案.【详解】函数f(x)的导函数f'(x)=3ax解得a=10故选D本题考查了函数的求导，属于基础题.9、A【解析】

根据题意，分两步进行：先确定8个是自己的班主任老师监考的班级，然后分析剩余的4个班级的监考方案，计算可得其情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【详解】某中学高二共有12个年级，考试时安排12个班主任监考，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任监考，首先确定8个是自己的班主任老师监考的班级，有种，而剩余的4个班级全部不能有本班的班主任监考，有种；由分步计数原理可得，共种不同的方案；故选：A.本题解题关键是掌握分步计数原理和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10、C【解析】

分析：由推导出，从而，由此能求出向量在向量方向上的投影.详解：，且，，，向量在向量方向上的投影为，故选C.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.11、A【解析】

先求得的共轭复数，由此判断出其对应点所在象限.【详解】依题意，对应点为，在第一象限，故选A.本小题主要考查共轭复数的概念，考查复数对应点所在象限，属于基础题.12、A【解析】

阴影部分所表示的集合为：.【详解】由已知可得，阴影部分所表示的集合为：.故选：A.本题主要考查集合的运算，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、9【解析】

将二项式表示为，然后利用二项式定理写出其通项，令的指数为，求出参数的值，再代入通项即可得出项的系数。【详解】，所以，的展开式通项为，令，得，所以，展开式中项的系数为，故答案为：。本题考查二项式中指定项的系数，考查二项式展开式通项的应用，这类问题的求解一般要将展开式的通项表示出来，通过建立指数有关的方程来求解，考查运算能力，属于中等题。14、【解析】

利用导数求函数f（x）在（﹣1，1）上的最小值，把对任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2）转化为g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1有解．【详解】解：由f（x）＝ex﹣x，得f′（x）＝ex﹣1，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，∴f（x）min＝f（0）＝1．对任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2），即g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1，函数g（x）＝x2﹣bx+4的对称轴为x＝．当≤3，即b≤6时，g（x）在（3，4）上单调递增，g（x）＞g（3）＝13﹣3b，由13﹣3b≤1，得b≥4，∴4≤b≤6；当≥4，即b≥2时，g（x）在（3，4）上单调递减，g（x）＞g（4）＝20﹣4b，由20﹣4b≤1，得b≥，∴b≥2；当3＜＜4，即6＜b＜2时，g（x）在（3，4）上先减后增，，由≤1，解得或b，∴6＜b＜2．综上，实数b的取值范围为[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力，是中档题．15、(1)(3)(4)【解析】

由题可得若则是在以,为焦点,的椭圆上.故“型直线”必与椭圆相交,再判断直线与椭圆是否相交即可.【详解】由题可得若则是在以,为焦点,的椭圆上.故“型直线”需与椭圆相交即可.易得.左右顶点为,上下顶点为对(1),过,满足条件对(2),设椭圆上的点,则到直线的距离,.若,则无解.故椭圆与直线不相交.故直线不满足.对(3),与椭圆显然相交,故满足.对(4),因为过,故与椭圆相交.故满足.故答案为：(1)(3)(4)本题主要考查了椭圆的定义与新定义的问题,判断直线与椭圆的位置关系可设椭圆上的点求点与直线的距离,分析是否可以等于0即可.属于中等题型.16、0.72【解析】

运用相互独立事件的概率公式直接求解即可.【详解】设事件表示水稻种子的发芽,事件为出芽后的幼苗成活,因此,所以这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为.故答案为：本题考查了相互独立事件的概率公式,考查了数学运算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】

要证线面平行，先证线线平行建系，利用法向量求解。【详解】（1）连接ME，BC∵M，E分别为B1B，BC的中点∴又∵∴A1DCB1是平行四边形∴∴∴NDEM是平行四边形∴NM∥DE又NM平面C1DE∴NM∥平面C1DE(2)由题意得DE与BC垂直，所以DE与AD垂直：以D为原点，DA，DE，DD1三边分别为x，y，z轴，建立空间坐标系O-xyz则A（2，0，0），A1（2，0，4），M（1，，2）设平面A1MD的法向量为则∴解得又∴∴AM与平面A1MD所成角的正弦值.要证线面平行，可证线线平行或面面平行。求线面所成角得正弦值，可用几何法做出线面角，再求正弦值；或者建立空间直角坐标系，利用法向量求解。18、(1)对应的极坐标分别为，(2)【解析】

（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程，与直线方程联立解得交点坐标，利用可得极坐标．（II）圆心（0，2）到直线l的距离为d1，可得P到直线l的距离d的最大值为d1+r．【详解】解：（I）直线:,圆:联立方程组,解得或对应的极坐标分别为,.（II）设,则,当时,取得最大值.本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19、（1）；（2）【解析】

（1）设直线l1的方程为y﹣1=k（x﹣1），根据韦达定理和中点坐标公式即可求出直线的斜率k，问题得以解决，（2）根据弦长公式分别求出|AB|，|CD|，再根据基本不等式即可求出．【详解】（1）设直线的斜率为，方程为，代入中，∴.∴.判别式.设，，则.∵中点为，∴，则.∴直线的方程为，即.（2）由（1）知.设直线的方程为.同理可得.∴.∴.令，则，.在，分别单调递减，∴或.故或.即.圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20、(1)；(2)【解析】

（1）由题得，解不等式即得解；（2）先由题得，由题得，中一个是真命题，一个是假命题，列出不等式组，解不等式组得解.【详解】(1)对任意，不等式恒成立，当，由对数函数的性质可知当时，的最小值为，，解得.因此，若为真命题时，的取值范围是.(2)存在，使得成立，.命题为真时，，且为假，或为真，，中一个是真命题，一个是假命题.当真假时，则解得；当假真时，，即.综上所述，的取值范围为.本题主要考查指数对数函数