正弦定理教学设计初稿

1、必修 5 § 1.1.1 正弦定理（第 1 课时）一、教学目标知识与技能 : 在创设的问题情境中，发现正弦定理的内容，理解正弦 定理及能简单运用正弦定理解斜三角形的两类问题。过程与方法 : 经历 观察、猜想、检验、证明、应用、总结的思维历程 ， 由特殊到一般归纳出正弦定理，增强创新意识和逻辑思维能力。 情感态度价值观 : 通过师生之间的交流、合作和评价，增强学习主 动性和积极性，激发学习的兴趣。二、教学重难点 教学重点：正弦定理的探索与证明 教学难点：钝角三角形中，正弦定理的证明三、教学课型定理课四、教具、学具多媒体、导学案五、教学过程一）数学史料，引入课题在我国古代就有嫦娥奔月的神

2、话故事， 明月高悬，我们仰望夜空，会有无限的遐想， 不禁会问，月亮离我们有多远呢？早在 1671 年，两个法国文学家就借助数学上解三角形 原理近似测出了地球与月球之间的距离。解三角形理论古已有之， 在古埃及时为埃及法老建筑的金字塔， 整 理尼罗河泛滥之后的耕地测量与缴纳税收都涉及到三角学知识； 在地 理大发现时代到来之后， 天文观测、 航海测量和地理测量等实践活动 中，解三角形理论都在其中发挥了重要的作用。 现代社会中解三角形 理论还用在铺设桥梁、建筑采光、文物修复等多个领域。 （导课视 频）（二）创设情境，提出问题 某地出土一块玉佩，其中一角破损，现测得如下数据 :BC 2.57 cm ,C

3、D 1.89 cm , BE 2.01 cm , B 45 , C 120 , 为了复原，计算原另两边的长 .该问题的实质就是已知三角形的两个角和一条边，如何求另一条 边。 今天我们就来学习解三角形理论中的第一个定理（板书课题 § 1.1.1 正弦定理 ）（三）探究定理，解决问题1. 观察特例，发现猜想探究：我们知道， 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角性质。问题 1：在三角形中角 A 与它的对边 BC的长度是否存在定量关系 ?为方便起见，我们先考虑直角三角形这种特殊情形在初中，我们已经会解直角三角形 的问题，引导学生回忆在直角三角形 中，边长和角度之间有怎么的量化关 系?

4、sin A,sinB cb,sinC 1 c c所以asinAbsinBcsinB进一步提出问题：这两个 数量关系式能否推广到任 意三角形？2. 数学实验，检验猜想 利用几何画板软件进 行数学实验，任意画一个 三角形，度量出三边长度 和三角度的数值，计算显 示出 一 组 a , b , c sibA sin B sinCAB a Ca = 7.7厘8米b = 9.3厘8 米c = 5.2厘4米A = 56.04 ° B = 90.00 °C = 33.96sin( CAB) = 9.3厘8米sin( ABC) = 9.3厘8米csin( ACB)= 9.3厘8 米学生容易得

5、到：的值，不断拖动三角形的一个顶点，改变三角形形状，观察各组比值的变化。3. 证明猜想，得出定理（1）从特殊到一般证明定理任意三角形中包括直角三角形、 锐角三角形和钝角三角形三类，学生很自然就会想到分类进行证明的基本思路。另外，引导学生将要证明的连等式分成两个等式来证明，对于 锐角三角形的情形，不失一般性，研究其中的一个等式的证明，另一 个等式的证明同理即可得到。过点 C 作 AB上的高 AD,把锐角三角形分成两个直角三角形，借 助 AD相等， AD bsin A, AD asin B,得到 a b ,得到一个等式，同 sin A sin B 理可得另外一个等式，于是连等式成立。对于钝角三角形

6、的情形，不失一般性，不妨设 B 为钝角，受锐角 情形的证明启发， 基本的思路策略仍然是画斜为直， 与锐角三角形不 同的是在证明 a b 的时候要借助三角函数诱导公式来处理 , 这 sin A sin B 步请学生先学案上尝试证明，并请学生上台给予板书演示2）借向量为载体证明定理启发学生思考如何从向量角度证明定理 .问题 2：根据向量加减法的三角形法则，任意一个三角形我们可以抽 象出的基本向量关系是什么？向量关系 AC CB AB 如何转化为数量 关系？(启发学生通过在向量关系式两边做数量积)学 生 可 能 会 提 到 在 AC CB AB 两 边 点 乘 AB 得 到bc o sA a c o

7、Bs或者c 在 AC CB AB 两边平方得到下一个定理即余弦 定理 a2 b2 2ab cos C c2abc问题 3：如何才能利用向量法推出呢？sin A sinB sinB 启发学生从点乘向量的大小和方向去考虑以及联系前面的证明思路“作高画斜为直”。如果时间有限，留给学生课后思考继续探究。若ABC为锐角三角形 ,过点 A做单位向量 j 垂直于 AC ，则向量 j 与向量 AB的夹角为 900-A, 向量 j 与向量CB的夹角为 900-C，(如图) , 且有: AC CB AB,所以 j (AC CB) j AB即 j AC j CB j AB展开 j | AC |cos900 j|CB

8、 cos(900 C) j AB | cos(900 A)则得 asinC =csinA ，即sina A 同理，过点 C 做单位向量c。sinCj 垂直于 CB , 可得：，故有c sinCb sinBabc正弦定理 : 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 abcsin A sinB sinB注：1. 边 a,b,c, A、 B、 C叫做三角形的元素2. 正弦定理的本质是三个恒等式，即a b , a c , b csinA sinB sinA sinC sinB sinC3. 含三角形的三边及三内角, 由己知二角一边或二边一角可 表示其它的边和角4. 讲解例题，巩固定理 题型一：已知两角与一边，解三角形 某地出土一块玉佩，其中一角破损，现测得如下数据 :BC 2.57 cm ,CD 1.89 cm , BE 2.01 cm , B 45 ,C 120 , 为了复原，计算原另两边的长 .题型二：已知两边与一角，解三角形 例2：在 ABC中