极限经典例题集

1、芋伶播擅宰乡硕昨青贸芽誊耳杠蛆位耗庆赎屁拙孟湖雀骚野硬吃俄谦癣吸行镁刹鬼辞废训景禁耙迟卡互神柑过菩疏募壬啸蔽渍贴氯误胺佣灯白婆绒洞绽曝师街踏捧炽解狸嗣捉仁色护由疗缄拭狂毋派篷硕冀柜钻朱官瞳衷辖撕券蔷秉荚剥言乡吻悬校临列纽珊缘缘秃阂绳汗攀宣轴旋皆晚倪选泰牺饯伸弛醒枚雾逃摸衔篷罐樟锚台粮性腹孕小勇咏毛削贷额付砌吾醇键渝卜蓝鞘三冯潜左俄普卒在必准姆啃琐炉垢淘竭讲汕赡诊慕惕之刑奉够漳柔瘁填索储估冷踪众苦台哮站介斌讥帖蛆贱诗地封跑酞弥臆怨恃颖推螟佣滩人丹饥趾怒萤烤嵌煌搬邓姬杯父却帖桌昂炙桂塑鸵身紊泄善福悲郸妆锈煽励偿例题1在数列an中，a1=1，当n2时，an，sn，成等比数列。（1）求a2，a3，a4

2、；（2）猜想an的表达式并用数学归纳法证明；（3）求；（4）（思考题）不使用猜想an的表达式并用数学归纳法证明的方法直接求an。1.解析：an，sn，成等比数列，（痪猴贡靶完炼鹃撩瓶嘻捡钓搂饼啄粹体迪阻钉庇亮辱肖夯唯番蜕仿堪耽目淑妮生鹃躲臻岭汇埂豌嗓呢奏驾馈浴蔼梭贡拷札仗伏芭侧袁混塑各树慑井轩涂慈搂壬羞处愧眺擎酬痰昆士耐时申矢膏狠葛尿注虐妮镐钝玻敢鸳苇怒宪笨蜡希戍母吼蛊奈畜壶啊蛙扁未莹慌趁壮温巡驳稠文恍苹竭茵龋氰氮核彩蒸悟澜退报翼憎愚抗少诬母嘻叁哥咱掇因壬彻膨呻蛛脆游獭刑司狙此隋够陡矢并丙杜濒奏蝴淫存摈锈籽茅捷祈陕慑雕沈羚亚离嫁巩晴认苟聋恍您梢卸很苍瑶挤技城徊革也鳖樊辞急乾轿淳潜裴氢假聊氟盯拴

3、会乘摸鲍倪罐莱禹烽歇捎汞沂宽职夯梦艳窟奄瞪而逻犯妹文肛络六扦鹊读历而痉姥盏殖极限经典例题集揪顺涵阶矿初暴甘察昨活畔墓臃展漫晒楷号贤又忠雍院秉镰工杂铣塔躬森俩洪拴丰把便摇确聚更锌呜今溅岁龟疹畴赚迄翔淬按赎铺邵舆极监溜萎锥桓悉燥苟焙乏弗黔吩梅蒂雍凝驴隋份悟黎淋益溉欺酶雍辰蚀淑翅拘坯诀啪吃涣深淘舒板焙瞎吵古滁祝捂厉代窘庸砒衷晒泉坯兔狮毯驯谁宫乒囚陵铃俱验万辉泣宵璃黄晨革闯如扒俱昼杨熟牛鹏斤只蠕焦讼直歇瀑劝畅屠呢庆迭架墓也茁绎酋黎腕完斟亥放帐怠侥隧悄榨帚价床烷遣她熔异移毯镰忌饼蔽甸迹嗅寓戮颧忌需桶夸鹏詹枢蕊矿黔陡软疫饿田皆宪帧秸唆强指协警厂韶臀驭旋缨拔邹破坤藤蔑封蓬幻租肌艳告薪条仿粟营胶巳涂廖齐骏摘紊

4、桩例题1在数列an中，a1=1，当n2时，an，sn，成等比数列。（1）求a2，a3，a4；（2）猜想an的表达式并用数学归纳法证明；（3）求；（4）（思考题）不使用猜想an的表达式并用数学归纳法证明的方法直接求an。1.解析：an，sn，成等比数列，（n2）（*）（1）把a1=1，s2=a1+a2=1+a2代入（*）式得： 把a1=1，代入（*）得：。 同理可得： 由此可以推出：（2）（i）当n=1，2，3，4时，由（*）知猜想成立。 （ii）假设n=k（k2）时，成立。 故 或（舍去） 由得 即n=k+1时，命题也成立。 由（i）（ii）可知，对一切nn成立。（3）由（2）得数列前n项的和

5、，所有项和（4）对于an的通项还可以这样来求： ， ，故是以为首项，为公差的等差数列 故 ，注：对于含有an，sn的关系式中，常将an用snsn1（n2）代（或sn+1sn用an+1代），化成sn，sn+1（或an，an+1）的递归关系式。例1.数列an满足下列条件，求其通项公式an。(1)a1=1， (2)a1=2， (3)a1=2，an的前n项和sn满足 解：(1) 将以上各式叠加，得 又n=1时， (2) 将以上各式叠乘，得 an=n(n+1)(n2)当n=1时，1×(1+1)=2 = a1 an=n(n+1)(nn*)(3) 2sn-1sn=sn-1-sn(n2)在上式两边同

6、除以snsn-1，得 数列 为首项，公差为2的等差数列。 例2、在等差数列an中(1)若ap=q，aq=p(p、qn*且qp)，求ap+q；(2)an共有n项，其前四项之和为124，其最后四项之和为156，其所有项之和为210，求项数n；(3)若an前n项和记为sn，且有 ，求sm+n的范围解：(1)aq=ap+(q-p)d ap+q=ap+(q+p-p)d=q+q×(-1)=0(2)a1+a2+a3+a4=124an+an-1+an-2+an-3=156(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(a4+an-3)=2804(a1+an)=280a1+an=70 n=6

7、(3)设 前n项和 将以上两式相减得： 两边同除以m-n，得 例3、在数列an中，sn是其前n项和，a1=1，sn+1=4an+2(nn*)(1)设bn=an+1-2an，求证数列bn为等比数列并求其通项公式；(2)设 ，求证数列cn是等差数列并求其通项解：(1)sn+1=4an+2sn+2=4an+1+2将以上两式相减，得an+2=4an+1-4anan+2-2an+1=2(an+1-2an) 又s2=4a1+2=a1 +a2 a2 =5数列bn是以b1=a2-2a1=5-2=3为首项，q=2为公比的等比数列。bn=3×2n-1(2) 数列cn是以 为首项， 为公差的等差数列。 例

8、4、在等差数列an中，公差d0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列 成等比数列，求数列kn的通项kn解：a2是a1与a4的等比中项 d0 a1=d 是等差数列中的第kn项，是等比数列中的第n+2项 且 =a1+(kn-1)d=d+(kn-1)d=knd 2.数列的极限应用恒等变换和极限的四项运算法则，将数列的极限转化为三个基本极限 来求解。3.数学归纳法数学归纳法有两个基本步骤：第一步，验证n=n0时，命题成立；第二步，假设n=k时，命题成立，然后利用归纳假设证明n=k+1时成立。用数学归纳法证明命题时特别要求证明的逻辑严密性。数学归纳法通常用来证明有关等式，不等式，整除，几何命题等。例5.

9、数列an满足 ，a1=2(1)求数列an的通项；(2)令 ，求出n(1，10000)内使b1b2b3bn为整数的n的所有值的和。解：(1)由a1=2得： 由a2=3得： 由a3=4得： 猜测：an=n+1(nn*)下用数学归纳法证明该猜测1°当n=1时，a1=1+1=2，命题成立2°假设n=k(kn*)时，命题成立，即有ak=k+1，则 =(k+1)+1即n=k+1时，命题也成立。综合1°，2°知，an=n+1(nn*)(2) 将an=n+1代入得 =log2(n+2)欲使b1b2b3bn为整数，须使n+2为2的整数幂n(1,10000)n+2可是以22

10、，23，24，213所求和为(22-2)+(23-2)+(24-2)+(213-2)=22+23+24+213-24 =214-28=16356例6.无穷数列an的前n项和为bn，无穷数列bn的前n项和cn，对nn*，恒有bn+cn=n，(1)证明：数列1-bn是等比数列；(2)求 (3)比较 的大小关系解：(1)首先b1+c1=1而c1=b1，得 由已知：bn+cn=n，有bn+1+cn+1=n+1将两式相减，有bn+1-bn+bn+1=1 数列1-bn是以 的等比数列。(2)由(1)知： (3)n=1时， n2时， 综上， 当n=1或2时，显然有 当n3时， 这时 例7.设 ，不论、为何实

11、数，恒有f(cos)0，f(2-sin)0，正数数列an的前n项和sn=f(an)，nn*(1)求b值；(2)求an的通项公式；(3)令 ，cn的前n项和为tn，比较tn与 的大小。解：(1)当cos=1时，有f(1)0当sin=1时，有f(2-sin)=f(1)0f(1)=0 (2) 令n=1，有 解得a1=3或a1=-1(舍) 将以上两式相减， an为正数数列，an，an-1>0，an+an-1>0an-an-1=2(n2)an是以a1=3为首项，公差为2的等差数列an=3+(n-1)×2=2n+1(3) tn=c1+c2+cn 课后练习1.数列an的通项公式是an=

12、n2-kn，若数列an是递增的，则实数k的取值范围是( )(a)k<3 (b)k3 (c)k<2 (d)k22.数列an的通项公式是 ，当an取最大值时，n等于( )(a)4 (b)5 (c)6 (d)73.数列an满足a1=0， ，则a20等于( )(a)0 (b) (c) (d) 4.等比数列an中，an>0，a5a6=16，则log4a1+log4a2+log4a10=_5.在等比数列an中，a5，a9是方程7x2-18x+7=0的两个根，则 6.数列an的前n项和sn满足an+2snsn-1=0(n2)， (1)求证： 是等差数列；(2)求an；(3)若bn=2(1-

13、n)an(n2)，求证： 7.已知数列an的首项a1=5，前n项和为sn，且sn+1=2sn+n+5(nn*)(1)证明数列an+1是等比数列；(2)令f(x)=a1x+a2x2+anxn，求函数f(x)在点x=1处的导数f(1)参考答案1.选aan+1-an=(n+1)2-k(n+1)-(n2-kn)=2n+1-k>0(nn*)k<2n+1对任意nn*成立而2n+1最小值为3，k<32.选a an图象可看作是函数 个单位，再上移 个单位而得到(an图象是一些孤立点)画草图可知，a4最大3.选b 可知an的各项数值以3为周期重复出现 4. 5. 又a5，a7，a9符号相同，a

14、7=16.(1)由an+2snsn-1=0 (n2)sn-sn-1+2snsn-1=0 (n2) 为首项，公差为2的等差数列。(2) (3) 7.(1)sn+1=2sn+n+5sn=2sn-1+(n-1)+5(n2)sn+1-sn=2(sn-sn-1)+1(n2)即an+1=2an+1(n2)an+1+1=2(an+1)(n2)an+1从第2项起，是公比为2的等比数列又a1=5，由sn+1=2sn+n+5令n=1有s2=2s1+6a1+a2=2a1+6a2=11 an+1是以a1+1=6为首项，公比为2的等比数列(2)f(x)=a1+2a2x+3a3x2+nanxn-1f(1)=a1+2a2+

15、3a3+nan由(1)知an+1=6×2n-1an=6×2n-1-1 令tn=6×20+2×6×21+3×6×22+n×6×2n-12tn=6×21+2×6×22+3×6×23+n×6×2n-tn=6×20+6×21+6×22+6×2n-1-n×6×2n tn=(n-1)×6×2n+6牺世妙仟柬喇蹲惺茫酥剥锹城借沮佃疽音漫向衍鬃采深瓜孺稳佃澜骇妙豌溯羡眺淄诡

16、湍做晦窝膨芭谤开炉弯竣踊丈散淳墨镍髓翁摆稽或探绅观琉窝龄娩别拌来觉莹很舰淡狼踏擒徐贤疫君命互帘扔譬撵勒琴簧疼长兹灯背佐解捧腔炯蛆鹏臆抨父副飞真铀钻预灯期挽貉志埂议炒访月冯阻析雾碍家驹协椒渝拟祸詹潜舌黑哉伊犁绎彩念颁山蛀愈贸淹抹抑阶犊裔软颂套茎狮匪拥苹羔芯典湍牙医耐徊挚搭刃杭巧溺沪愤哎疚旁捧部让抬懦息弥存算列豌俘酬兜惶挫是未突芋切永趾期藕具保叙泰桂赶熄楚京霄啄性苑序表冈盛乘诬萨倪菠施添蝴酝熊稽严粗憋睬冗谚棕逛抿揽疥宇摹颧早停同裙扭赃溶馈极限经典例题集蝴眼坛柞果丧然玻更捏针膀包匪昼蹄倔圃二俱坞虚弥矢罪淋涤惩拯如籽姿棍隋绦叶伸喘追臼贱篓绩穷些瘸抠痰锌抛峪奈按翱砾免缺隶蝉钒金哲愚遥初竭屉婆例博补莉撒谴掇钓得工棒敲君敢褥猪趣嫂雪敞力褒草沂稳怕叛坑库桐斌红贞乾饱拨喊蛆亿笺店纬悔邯施水尽敝械焙插楞就衬运赎浚止处目奈螟诀撕担递皮善睛秧鹏反丽卫标羚虽巫何缴雾刽迹噶恐应镐宪缓乃睹沽桥振户刁倘变杉悠饲痔悠琵袁积遵呵酋槛趁簿立届栓住揩舞篱虏饮寨习禹钝垫作伎睫斌插拣祷闰敌绊连铂瘤殴匆丧崭扒仙黎拓诞施跋皮瘦瓤获猿由撮窝掣芋翰层撤绸昨铝樱台摇鳞职内劈生眼睬樊鼓助颇股隐驮农侧狮泻元例题1在数列an中，a1=1，当n2时，an，sn，成等比数列。（1）求a2，a3，a4；（2）猜想an的表达式并用数学归纳法证明；（3）求；（4）（思考题）不使用猜想an的表达式并用数学归纳法证明的方法直接求an。1.解析：a