大学物理(机械工业出版社)上册课后练习答案

1、(1)船在t时刻的速度大小为v =kvt +1(2 )在时间t内，船行驶的距离为=kdt.所以:枳分因此第一章质点的运动1-1 己知质点的运动方程为：x = 10t + 30t，y = 15t-20t式中x、y的单位为m, t的单位为s。试求：(1)初速度的人小和方向： 加速度的大小和方向。分析由运动方程的分量式町分别求出速度、加速度的分量，再由运动介成算出速度和加速度的人小和方向.解(1)速度的分最式为Px = =-10+601 dtp=- = 15-40ty dt当 t =0 时，vOK =-10 ms'1, voy =15 m- s 4，则初 速度大小为% = J% J + %；

2、 = 1&° m s-1设与x轴的夹角为a,则tana = = - % 2a=123°4r(2) 加速度的分量式为a =- = 60 m-s'2 , dtdvav = - = -40 m s -dt则加速度的人小为a = Jaj + a、2 = 72.1 m - s'2设a与x轴的夹角为0,则tan0 = = -ax 30=33。41'(或326。19')1-2 一石子从空中由静止下落，由于空气阻力，石子并 非作自由落体运动。现测得其加速度a=A-Bu,式中A、B 为正恒量，求石子下落的速度和运动方程。分析本题亦属于运动学第二类问题,

3、与上题不同之 处在于加速度是速度v的函数，因此，需将式曲=a(u)dt分离变量为 =dt后再两边积分.a(“)解选取石子下落方向为y轴正向，下落起点为坐标原点.do(1) 由题 a =A-Bv(1)dt用分离变量法把式(1)改写为 = dt (2) A- Bv将式(2)两边积分并考虑初始条件，冇王曲十tJ% A Bv得石子速度 P = -(l-e_Bt)B由此可知当,tT00时,QT仝为一常量，通常称为极限速度B或收尾速度. 再由p =并考虔初始条件有dt Bfdy = (l-e-)dtA A得石子运动方程y=+不(e_Bt -1)1-3 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后由于 阻力得到一

4、个与速度反向、人小与船速平方成正比例的加 速度，即玄=好2, k为常数。在关闭发动机后，试证：vox = -ln(*kt + l):k(3)船在行驶距离x时的速率为=w_kxo 证明(1)分离变数得竺 故 j-j = _町 dt,VA W0可得： l = l+kt.V v0(2)公式可化为v=,1 + vokt 由于 v= dxdt.dx= dt =d(l +voki)1 + vokik(l +vokt)a冷点护2).x=iln(vokt + l)k(3)要求v(x),可由dv dv dxa =dt dx dtdv,j dv-kv = v=> dx=-kdx枳分得作抛射体运动，问它第二次

5、碰到斜面的位置距原来的F 落点多远。解：小球落地时速度为v0=V2gh 建立II角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图vx0 = v0 cos 60°1-4行人身高 为h,若人以匀速vo 用绳拉一小车行走， 而小车放在距地面 高为H的光滑平台 上，求小车移动的速 度和加速度。解：人前进的速度.则绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小.第二次落地时y=0vl2 =谆2 +(H -h)2x= v0 cos60°t 4- - gcos60°t2(1)2“ =VoSin6O°.理= 谅'dt 局2 +(H-h)， d2l_(H-h)2dt? (H-h

6、)2+V5t212>所以小车移动的速度v=-/%7(H-h)2-v；t2所以 x = v0cos60°t + 丄gcosdoT = = 0.8m2g小车移动的加速度a=(H-h)2vj(H-h)2+vr1-5质点沿X轴运动，其加速度和位置的关系为 a = 2 + 6x2 . a的单位为m/s2. x的单位为m。质点在 x=O处.速度为10nis>试求质点在任何坐标处的速度值。1-7 -人扔石头的最人出手速率为v =25m/s,他能 击中一个与他的手水平距离L=50m高11= 13m的目标 吗？在此距离上他能击中的最人高度是多少？解：由运动方程x = vtcosO,y =

7、vtsinG-丄gt,消2 去t得轨迹方程y=xtg<9-A-(tg2<9 + l)x22v以x=05 0m > v=25ms 1代入后得y= 50tg&_g2x252(l + tgS)x5(/解：V分离变量:dv dv dxdva =vdt dx dtdxudu = adx= (2 + 6x')dxv2 = 2x+2x3 +c两边积分得= 5OtgO-2O(l + tg'&)= -20(tg(9-|)2 +11.25取 g=10 0,则当 tg& = 1.25 时，丫唤=112513 所以他不能射中,能射中得最大高度为也=11.25宙

8、题知，x=O时，=10 .c = 5Ov = 2>/x3 + x+ 25 m s_11 .1-8 一质点沿半径为R的圆周按规律s = pot-br运 动，、b都是常量。(1)求t时刻质点的总加速度： t为何值时总加速度在数值上等于b? (3)当加速度达到b 时，质点已沿圆周运行了多少圈？分析在自然坐标中,s表示圆周上从某一点开始的 曲线坐标.由给定的运动方程s =s(t),对时间t求一阶、 二阶导数，即是沿曲线运动的速度v和加速度的切向分 at,而加速度的法向分量为an=p2 R.这样，总加速度为ay = v0 sin60°t - gsin60°t2(2)=a“+a问

9、.至于质点在t时间内通过的路程，即为曲线 坐标的改变屋su.so.因圆周长为2兀出质点所转过的圈 数自然可求得.解（1）质点作圆周运动的速率为P = = P0-btdt其加速度的切向分量和法向分量分别为a严空一b, %上=处四 dt2n R R故加速度的大小为，+（珂-联）R2其方向与切线Z间的夹角为arctanarctaJ- 要使I a丨=b，由丄Jr%2 + (% -bt)4 = b可得 Ra = = 0 , a = Ja ； + a ； = R&1-10飞机以100m s4的速度沿水平直线飞行，在离 地面哥为100m时，驾驶员要把物品投到前方某-哋面目 标处问：（1）此时目标在飞

10、机下方前多远？ （2）投放 物品时驾驶员看目标的视线利水平线成何角度？ （3） 物品投出2s后，它的法向加速度和切向加速度齐为多 少？ 解：(1)(2)9 = arctg = 12.5*(3)dv_ gt2tb（3）从t=O开始到t=%/b时，质点经过的路程为 dt J(gt)2+Yat = 1.96m/ s2,g = 10.0 (或 1.88m/s2, g=9.8).a = Ja；+a： =gan = g2-a; = 9.80m/s2,g = 10.0(或9.62m/s', g=9.8)因此质点运行的圈数为11 = =2nR 4/rbR1-9已知质点的运动方程为：x=Rcos6X,

11、y = RsiiiX, z =6X , 式中 2/rR、h、0为正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程;（2）质点的速度大小：（3）质点的加速度人小。解： （1）轨道方程为x2 + y2 = R2 z = 2/r 这是一条空间螺旋线。在O矽平而上的投影为圆心在原点，半径为R的 圆，螺距为hdX “.（2） v =-Rysni6Xx dtV= Jv；+v；+v；(3 ) ax = -Rr cosryt ay =-Rzy2 s i«yt1-11 一无风的下雨犬，一列火车以v】=20m/s的速度匀 速前进，在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75° 角下降，求雨滴下落的速度V2

12、。（设下降的雨滴作匀速运 动）解：以地面为参考系，火车相对地而运动的速度为 ，雨滴相对地面竖直卜落的速度为V?,旅客看到雨滴F 落速度了为柑对速度，它们之间的关系为耳=%+%v2 = V/tg75° = 5.36ms-11 12升降机以加速度ao=l.22m-s-2上升，当上升速 度为2.44m s-1时，有一螺帽自升降机的天花板脱落.天 花板与升降机的底面相距2.74m,试求：（1）螺帽从天花 板落到底面所需时间：（2）螺帽相对于升降机外固定柱子 的下降距离。解：（1）以升降机为参考系，此时，螺丝相 对它的加速度为ag+a,螺丝落到底面时，有=0.705slT = %t + 丄 a

13、t，（2）由于升降机在t时间内的高度为2则 d =h-11* = 0.7161111-13飞机A相对地面以vA =1000kmh的速率向南 飞行，另一飞机B相对地面以巾=800 km/h的速率向东偏 南30°方向飞行。求飞机A相对飞机B的速度。解：VA = 1000j,VB= 400 J + 400血v = vA-vB=1000 J-（400J + 400妊）.tg8=,e = 4（r52；方向西偏南2v= V6002+400:x3 = 916km/h1-14 一人能在静水中以l lOm s*1的速度划船前进, 今欲横渡一宽为1000m、水流速度为0.55msT的人河。 （1）,那么

14、应如何/ 划行方向?到达正对岸少时 间？ （2）如果希望用最短的时间过河，应如何确定划行解：由相对速度的矢量关系° =U有（1）空气时静止的.即u=0,则往返时，飞机相对 地面的飞行速度就等于飞机相对空气的速度V，（图（1）,1171故飞机來回飞行的时间= _ + _ =二V V。 v1（2）空气的速度向东时.当飞机向东飞行时风速与 飞机相对空气的速度同向;返回时，两者刚好相反（图 （2）,故飞机来回飞行的时间为1 1!V-U人小由v = vf+u可得为v=7vt2-u2，故飞机來回飞行 的时间为 空气的速度向北时.飞机相对地面的飞行速度的第二章质点动力学(1)习题21图1U

15、7;-TA = UiaA(1)TB-tng = maB(2)2a = a°Ta = 2Tb解 aA=-|g2aB=_Tg习趕22图方向？船到达对岸的位置在什么地方？解：如图（1）若要从出发点横渡该河而到达正对岸的一 点，则划行速度和水流速度u的介速度的方向正对着岸，设划行速度介速度P的夹角为a/. v sina = usina = =0.55/1.1 = 0.5Vcosa =t = = - = 1.O5x1O3sv Vcosa如图（2用最短的时间过河，则划行速度的方向正对着岸 d ,d/.t = ,1 =ut =u = 500mVV1-15设有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又 向西

16、飞回到A处，飞机相对空气的速率为V，而空气相 对地面的速率为m A、B间的距离为1。（1）假定空气是静止的（即u=0）,求飞机來回飞行 的时间；（2）假定空气的速度向东，求飞机來回飞行的时间;（3）假定空气的速度向北，求飞机来回飞行的时间。21如本题图.A. B两物体质最均为m.用质最不计的滑轮和细绳连接并不计摩擦，则A和B的加速度 大小各为多少。解：如图由受力分析得2-2如本题图所示，己他 两物体A、B的质量均为 m=3.0kg物体A以加速度 a=1.0m/s2运动，求物体B与 桌面间的摩擦力。（滑轮与连 接绳的质量不计）解：分别对物体和滑轮受 力分析（如图），由牛顿定律 和动力学方程得，m

17、Ag - 片=mAaF(2)2a = a*(3)Ft* = 2Ft11 = 11=111(5)片=片(6)Fn = FnFn =叭=m善匸dv=-mat =-m f ' dtdv由上三式可得寸匸(1)(2)(4)解得 mg-(m+4m)a=7：22-3如图所示，细线不可伸长，细线、 定滑轮、动滑轮的质量均不计己知码=4m3 m2 = 2m3。求各物体运动的加速度及各段细线中的张力。 解:设m】F落的加速度为刼,因而动 滑轮也以ai上升。再设m2相对动滑对式积分得fldt=-fj° u Jv0 v*轮以加速度下落，m3相对动滑轮以习题2-3加速度a上升，二者相对地面的加速度分别

18、为：a' a】(下落)和a' + a】(上升)，设作用在上的线中张力为Ti，作用在1生和m3上的线中张 力为T?。列出方程组如下：lgg - T = 1叩m2g-T2 =m2(a,-a1)T2 -m3g = m3(a' + ajTi-2T2可求出:2g53g 4= 9 T1 = 111 g 9557丁2计2-4光滑的水平面上放置-半径为R的固定圆环， 物体紧贴环的内侧作圆周运动，其靡擦系数为p。物体的 初速率为"，求：(1) t时刻物体的速率；(2)肖物体速 率从V。减少到v/2时，物体所经历的时间及经过的路程。 解：(1)设物体质量为m,取图示的自然坐标系，

19、由牛顿 定律得，R'oR+v°M当物体速率从w减少到v(>/2时，由V= Rv°可得物体所经历的时间f = R+Mv°"经过的路程怂止冷122-5从实验知道，当物体速度不太人时，可以认为 空气的阻力正比于物体的瞬时速度，设其比例常数为k°将质最为m的物体以竖直向上的初速度V。抛出。 (1)试证明物体的速度为-1) + Voe m(2) 证明物体将达到的最人高度为H=mv1_nrgk kmg(3) 证明到达最人高度的时间为mk%、切=h】(l +)knig证明:由牛顿定律可得(l)-mg-kv=m , dtOdt =p _mdv.2

20、% 吨+%k mg + kv（2）-mg-kv=mv, dx5 nig + kvmmv=¥*(e f_i)+%e 匸t, mvdvdx =mg + kv令 mg + kv = u, du = kdv k2 , mgdu dx = mdu +»mu.*竺一哑10（1+业）k k ingk ing + kv.当yo时，t=-ln即为到达最高点的时间k mg + k2-6质量为m的跳水运动员，从距水而距离为h的 高台上由静止跳下落入水中。把跳水运动员视为质点，并 略去空气阻力。运动员入水后垂直下沉，水对其阻力为一 br,其中b为一帘量。若以水面上一点为坐标原点O, 竖直向下为Oy

21、轴，求：（1）运动员在水中的速率v与y 的函数关系：（2）跳水运动员在水中卜沉多少距离才能使 其速率v减少到落水速率vo的1/10?（假定跳水运动员 在水中的浮力与所受的重力人小恰好相等）解：运动员入水可视为自由落体运动，所以入水时的 速度为Pdx=PJo m Jmg+fao（_仙+业） uv0 = gh .入水后如图由牛顿定律的mg-fF=ma mg=F f=bv2dv dv a=v dt dy（2）将已知条件-=O.4m-v=O.ho代入上式得, m一訥于5.76m2-7 一物体自地球表面以速率v0竖直上抛。假定空气 对物体阻力的值为f=-km&,其中k为常屋，m为物 体质量。试求

22、：（1）该物体能上升的高度：（2）物体返 回地面时速度的值。解：分别对物体上抛和卜落时作受力分析（如图），八、 t n dv mvdv(1) -mg-kmv=m=,dt dydT亠Jo 丿 Jv0 g + kv21 1 z g + kv:L計(时)物体达到最高点时，v=0,故 h=ymax=-hl(g + k-)2k g（2）下落过程中，-mg+kmv?二m ?="；“dvf°dy = -r cJh J JO gkv_kv；、1/*>.v=Vo（l + ）亠g2-8质量为m的子弹以速度水平射入沙土中，设子弹 所受阻力f =-好，k为常数，求：（1）子弹射入沙土后， 速

23、度随时间变化的函数式；（2）子弹进入沙土的瑕人深 度。解：（1）由题意和牛顿第二定律可得：=一 kv= m,dtk dv分离变量，可得：两边同时积分，所m vdt（2）子弹进入沙土的最大深度也就是v=0的时候子 弹的位移，则：m vdt可推岀：vdt = dv,而这个式子两边积分就町k以得到位移：X_=J Vdt =-dv=v0。2-9己知一质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的力f = -k/x?, k是比例常数。设质点在（3）由动最定理:x= A时的速度为零，求质点在*= A/4处的速度的人 小。解：由题意和牛顿第二定律可得：a k dv dv dx dvI =m = m= mv

24、x" dt dx dt dx再采取分离变量法可得：-*dx=mvdv ,X两边同时取积分，则：-A.dx=£ mvdv2-10 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力人小为 F =400-4x104/3 ,子弹从枪1射出时的速率为 300ni/s。设子弹离开枪II处合力刚好为零。求：（1）子 弹走完枪筒全长所用的时间t； （2）子弹在枪筒中所受力 的冲量I :（3）子弹的质量。解：（1）由F =400-4x104/3和子弹离开枪门处合力刚好为零，则可以得到：F =400-4xl05t/3 = 0 算出 t=0 003so（2）由冲量定义：f 0.003f 0.003I = j F

25、dt = J （400-4xl05t/3） dt0? _i 0 003= 4OOt-2xlO5t2/3| 0=0.6Ns0 0031 = 1 Fdt = AP = mv= 0.6N s 所以：m= 0.6/300 = 0.002kg 2-11高空作业时系安全带是非常必要的。假如一质屋为 510 kg的人，在操作时不慎从高空竖直跌落下来，由于 安全带的保护，最终使他被悬挂起来。已知此时人离原处 的距离为2.0 m ,安全带弹性缓冲作用时间为0.50 So求 安全带对人的平均冲力。分析从人受力的情况来看，可分两个阶段：在开始 卜落的过程中，只受重力作用,人体町看成是作自由落体运 动：在安全带保护的

26、缓冲过程中，则人体同时受重力和安 全带冲力的作用，其合力是一变力，且作用时间很短.为求 安全带的冲力，可以从缓冲时间内，人体运动状态（动屋）的 改变来分析，即运用动量定理来讨论.爭实上，动量定理也 可应用于整个过程.但是，这时必须分清遗力和安全带冲 力作用的时间是不同的；而在过程的初态和末态,人体的 速度均为零.这样，运用动量定理仍可得到相同的结果.解 以人为研究对象,按分析中的两个阶段进行讨 论.在自由落体运动过程中，人跌落至2 m处时的速度为q = 7在缓冲过程中，人受甫力和安全带冲力的作用,根据动 量定理，有(F + P)At = iw2 - mP(2)由式(1)、(2)町得安全带对人的

27、平均冲力大小为 zl(mp) J2gh3F =咚+=咚+= 1.14xl03 NAtAt2-12长为60cm的绳子悬挂在天花板上，卜方系一 质量为1kg的小球，己知绳子能承受的瑕人张力为20N。 试求要多大的水平冲量作用在原来静止的小球上才能将 绳子打断？Al = nw0-O解：由动量定理得AI ,二m如图受力分析并由牛顿定律得，T-mg = T = ing +> 20.mg + AI2/l >20AI > 2.47NS2-13 一作斜抛运动的物体，在最离点炸裂为质量相 等的两块,最高点距离地而为19.6m 爆炸1.0s后，第 块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距

28、离 为100m。问第二块落在距抛出点多远的地面上？（设空气 的阻力不计）解：取如图示坐标系，根据抛体运动规律，爆炸前，物体 在最哥点得速度得水平分最为vox = 7=xi>/8/2h物体爆炸后，第块碎片竖直下落的运动方程为L1-y =h-v t-gV2当碎片落地时，y产0,t二切则由上式得爆炸后第i块碎片抛出得速度为(m-M)v0 cos 6 = Mv+ m(v- u)式中y为人抛物后相对地面的水平速率,v-u为抛出物对地面得水平速率，得小muv=%cos&+0 m+M(2)又根据动量守恒定律，mv2xC11在最高点处有(4)0=2mV1 + 2mV2y联立以上(1) 一(4)式

29、得爆炸后第二块碎片 抛出时的速度分量分别为=100ms"h-lgt2? = 14.7ms*1爆炸后第二块碎片作斜抛运动，其运动方程为y2=h+v2yt2-gt;(6)落地时y2=0,由式(5)和(6)可解得第二块碎片 落地点得水平位置x2=M)0m214质量为M的人于里拿着一个质量为m的物体, 此人用与水平面成8角的速率v0向前跳去。当他达到最 高点时，他将物体以相对于人为u的水平速率向后抛出。 问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？(假设 人可视为质点)(自己算一遍)解：取如图所示坐标，把人和物视为一系统，肖人跳 跃到绘高点处，在向左抛物得过程中，满足动最守恒，故 有muAv

30、=v- cos*m+M而人从最高点到地面得运动时间为g所以人跳跃后増加的距离为Ax=Avt=m%sin&(m+M) g2-15铁路上有一静止的平板车，其质量为M,设平 板车町无摩擦地在水平轨道上运动。现有N个人从平板 车的后端跳卜，每个人的质量均为m,相对平板车的速度 均为u。问：在下列两种情况下，(1)N个人同时跳离;(2)-个人、一个人地跳离，平板车的末速是多少?所得 的结果为何不同，其物理原因是什么？(典型)解：取平板车及N个人组成的系统，以地面为参考 系，平板车的运动方向为正方向，系统在该方向上满足动 量守恒。考虑N个人同时跳车的情况，设跳车后平板车的速 度为v,则由动量守恒定

31、律得0=Mv+Nm (vu)v=Nmu/(Nm+M)(1)又考虑N个人一个接一个的跳车的情况。设当平板 车上商有n个人时的速度为vn,跳下一个人后的车速为 vn-P在该次跳车的过程中，根据动量守恒有(M+nm) vn=M vn-】+(n-1 )m+m(Vn_ 】-u) (2)由式(2)得递推公式vn-i=n+mu/ (M+nm)(3)当车上有N个人得时(即N=n), vn=0；当车上N 个人完全跳完时，车速为"，根据式(3)有，Vn-2= VNj+miV(N-l)m-M)vo= vimu/(M+nm)将上述齐等式的两侧分别相加，整理后得,人的水平速率得增量为£(m+M)vj

32、 +扣;(2)</.III (1)式和(2)式可得V厂呂M+nm由 J' M + iim< M +Nm,n = 1,2,3 - N故有，v°av即N个人一个接一个地跳车时，平板车的末速度大丁咽个人 同时跳下车的末速度。这是因为N个人逐一跳离车时，车对 地的速度逐次增加，导致跳车者相对地面的速度也逐次增 加，并对半板车所作的功也相应增大，因而平板车得到的 能量也大，其车速也大。2-16 一物体在介质中按规律x =ct3作直线运动，c为 一常最。设介质对物体的阻力正比于速度的平方： f二-kv 17 人从10m深的井中提水，起始桶中装有10kg 的水，由于水桶漏水，每

33、升高lm要漏去0.2kg的水。求 水桶被匀速地从井中提到井II,人所作的功。(典型)解：水桶在匀速上提的过程中，加速度为0,拉力和 重力平衡，在图示坐标卜，水桶朿力随位胃的变化关系为G=mg-a gy其中a =0.2kg/m,人对水桶的拉力的功为W = j10(mg agy) dy=882J2-18如本题图所示，A和B两块板用一轻弹簧连接,试求物体由xo =0运动到x =1时，阻力所 作的功。分析本题是一维变力作功问题，仍需按功的定义式 W = jF-dr來求解.关键在于寻找力函数F =F(x).根 据运动学关系，可将己知力与速度的函数关系F(o) =L 变换到F(t),进一步按x =cF的关

34、系把F(t)转换为F(x),这 样，就可按功的定义式求解.解由运动学方Ex =ct3 得物体的速度dx _ 42v = = 3ctdt按题意及上述关系，物体所受阻力的人小为F = for = 9kc2t4 = 9kc2 3x4/3则阻力的功为W = |f dxW = dr = jcos 180°dx = -j9kc2/3x4 3dx=-y kc2y3l7/3 起来，它们的质最分别为J和m问在A板上需加多人 的压力，方叮在力停止作用后，恰能使在跳起來时B稍 被提起。(设弹簧的劲度系数为k)解：选取如图所示坐标系，取原点处为朿力势能和弹 性势能零点，作各种状态卜物体的受力图。对A板而言,

35、 当施以外力F时，根据受力平衡有F】=q + F(1)当外力撤除以后，由机械能守恒定律得，£ ky J -mgy严* kyj + mgy2%和y?为M、N两点对原点O的位移。因为Fi= ky1, F2=ky2, G】二m】g上式町以写为，耳-F：二 2®(2)由利(2)式町得F=G】 + G?(3)当A扳跳到N点时，B板刚被提起，此时弹性力可二6, 且K=F/,由式(3)町得F=G1+G：=(m1+m2) g2-19如本题图所示，质量为速度为v的钢球， 射向质屋为M的靶，靶中心有一小孔.内有劲度系数为k的弹簧，此靶故初处于静上状态，但町在水平面上作无 摩擦滑动，求了弹射入靶

36、内弹簧后，弹簧的最人压缩距离。解：设弹簧得最人压缩量为x0°小球与靶共同运动 得速度为vl°由动最守恒定律.有mv= (m+M 兀(1)乂由机械能守恒定律，有1 .mv=2习题2-19图2-20以质量为m的弹丸，穿过如本题图所示的摆 蚀后，速率由v减少到v/2。已知摆锤的质量为M,摆 线长度为1.如果摆廊能在垂直平面内完成一个完全的 圆周运动，弹丸的速度的绘小值应为多少？解：由水平方向的动量守恒有.mv=m + Mv*(1)2为了使摆锤能在垂直平面内作圆周运动，在最高 点时，摆线中的张力F二0,则，根据能量守恒，町得到：-(mA + mB)v2 =lkx0所以：v= Xq；

37、 X=1VmA + mB(2)分离Z后，A的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以:式中q为摆线在圆周最高点的运动速率。 又由机械能守恒定律得*MQ=2Mgl+*Mv*；(3)解上述三个方程，口J得担丸所需速率的最小值为-mAv2 =-kx22 22-21如本题图所示，一质量为M的物块放置在斜 面的垠底端A处，斜面的倾角为a ,高度为h,物块与斜 面的滑动摩擦因数为P ,今有一质量为m的子弹以速度 vo沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜而向上 滑动，求物块滑出顶端时的速度大小。解：在子弹与物块的撞击过程中，住沿斜面的方向上，根据动量守恒有2-23如图2-41所示，光滑斜面与水平而的夹角为

38、0=30。，轻质弹簧上端固定。今在弹赞的另一端轻轻地挂 上质量为M= 1.0kg的木块，木块沿斜面从静止开始向F 滑动» -pl木块向F滑430cm时，恰好仃质量m=0.01kg 的子弹，沿水平方向以速度v=200ni/s射中木块并陷在 其中。设弹簧的劲度系数为k = 25N/m。求子弹打入木 块后它们的共同速度。解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰 撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，(瞬间)可得：+ Mvj +ykx2 = Mgxsin a(碰撞前木快的速度)=> V = 0.83mv ° cos a = (M + m)耳(1)在物块上滑的过程中，若令

39、物块刚滑出斜面时的速度为J并取A点的巫力势能为0。由系统的功能原理可得u(m+M) geos a -=丄(m+M) vf + (m+M) gh"丄(m+M) v?(2)sina 22由、(2)式可得mm+M(ucota+1)2-22如图2-40所示，在光滑水 平面上，平放一轻弹赞，弹簧一 端固定，另一端连着物体A、图270习® 2-22图My mvcos a = (m+ M=>V = -0.892-24 二质屋相同的 小球，一个静I匕，另一个以速 度肌与静止的小球作对心碰 撞，求碰撞后两球的速度。(1) 假设碰撞是完全非弹性的：(2)假设碰撞是完全弹性的：e = 0.

40、5 o解：由碰撞过程动量守恒以及附加条件，町得(1)假设碰撞是完全非弹性的，即两者将以共同的习题2-21图(3)假设碰撞的恢复系数速度前行：m%=2mv所以：v=|v0(2)假设碰撞是完全弹性的.两球交换速度，V =0B ,它们质量分别为叫和叫，弹费劲度系数为k,原长为1.用力推B.使弹费乐缩0,然后释放。求：(1)当A与B开始分离时，它们的位宜和速度：(2) 分离之后，A还能往前移动多远？解:(1)当A和B开始分离时，两者具有相同的速度，(3)假设碰撞的恢复系数e = 0.5也就是 llKr0 = 11IV + 11叫= 0.5+ m、)所以：V=丄V。， 42-25 to本题图所示, 一质

41、量为m的钢球，系在 一长为1的绳一端，绳另 一端固定，现将球由水平 位置静止下摆，当球到达 最低点时与质量为M,静 止于水平面上的钢块发生 弹性碰撞,求碰撞后m和 M的速率。3习題225图解：由机械能守恒得，碰前m的速度为 imv2=mgh v=J2gl由碰撞前后动能和动最守恒得1 .1p,一 mv= 一 mv + Mvm"2 2 2 M mv=mvr + MvM.mMmM r V =v=J2glm+M in*M Nm+M2-26如图2-43所示，两个质量 分别为mi和m2的木块A、B.用 一劲度系数为k的轻弹簧连接，放 在光滑的水平面上。A紧靠墙。今 用力推B块，使弹簧压缩xo然后

42、图243习题226图释放。(己知11】2=3码)求：(1)释放后A、B两滑块速 度相等时的速度人小；(2)弹簧的最人伸长量。解：分析题总，可知在弹簧由压缩状态回到原长时， 是弹簧的弹性势能转换为B木块的动能，然后B带动A 一起运动，此时动最守恒，町得到两者湘同的速度v , 并且此时就是弹簧伸长最人的位置，由机械能守恒町算出 其量值。1 2】2r 牙叫 V" =-kXoI m2v20 =(11 +m2) v那么计算可得：x=lx022-27如本题图示，绳上挂有质最相等的两个小球，两球碰撞时的恢复系数e=0.5。球A由静止状态释放，撞击球B,刚好使球B到达绳成水平的位豐，求证球A释放前的

43、张角6应满足cos8= l/9o证明：设球A到达最低点的速率为v,根据机械能守恒白mv2 = mg21(l-cos&),所以，v= J4gl(l-cos&)(1)设碰撞后A B两球的速率分别为Va，Vb、山题意得:Y Ve = A = 0.5v即 vb-va = 0-5v(2)A B两球碰撞时水半方向动量守恒：+ mA = mv(3)3由,式得v =7V(4)b 4碰撞后B球机械能守恒，故冇=ingl(5)将(1) ,(4)代入(5)得：COS & = 一92-28如图2-45所示，一质最为m半径为R的球壳， 静止在光滑水平面上，在球壳内有另一质量也为m,半径 为r的小

44、球，初始时小球静止在图示水平位置上。放手后 小球沿人球壳内往下滚，同时人球壳也会在水平而上运 动。当它们再次静止在水平面上时，问人球壳在水平面上 相对初始时刻的位移人小是多少？解：系统在水平方向上不受外力，因而系统质心的水平 位盘始终不变。如图所示，初始时，系统的质心到球心 O的距离为(从质心公式算)R-r2 丁小球最终将静II:于大球壳的最下方，而系统质心的水平 位置始终不变，【大I而人球壳在水平面上相対初始时刻的位移人小（另外从质心公式算）Ax =R-r22-29如图246所示，从坐标 原点以P0的初速度发射一发 炮弹，发射倾角&=45。当炮弹到达=处时，突3g所以，此时间内转过的

45、圈数注站总。然爆炸分成质量相同的两块，其中一块竖直卜落，求另一 块落地时的位置X2是多少？解：炮弹爆炸后其质心仍按原抛物线轨道运动，因而落地3-2质量面密度 为b的均匀矩形板，试 证其对与板面垂直的， 通过几何中心的轴线的 转动惯最为 j = ab（a2 +b2）。12 其中a> b为矩形板的 长，宽。后的质心坐标为Xc =-g证明一：如图，在板上取一质7Udm=odxdy,对与板 面垂直的、通过儿何屮心的轴线的转动惯量为dJ = jr2dm由式2罟学'且a b=BBx2+y2)odxdy第三章刚体力学3-1 一通风机的转动部分以初角速度0）0绕英轴转动,空气的阻力矩与角速度成正

46、比，比例系数C为一常量。若转动部分对其轴的转动惯量为J,问：（1）经过多少时 间后其转动角速度减少为初角速度的半？ （2）在此时 间内共转过多少转？解：（1）由题可知：阻力矩M = -Cco,又因为转动定理M = J 5 Jco= coQe1J 当 CD= COQ 时，t = 111 2 o 2(2)角位移。叮渝代了小=一ab（a2 +b2）12证明二：如图，在板上取一细棒 dm= cbdx.对 通过细棒中心与 棒垂直的转动轴 的转动惯量为1 dni b2 ,根12据平行轴定理，对与板面垂直的、通过几何中 心的轴线的转动惯量为dJ 花dnM+dn运-x)詁卅 dx+ob(x)2dx.J=fdJ

47、=-ob3a + -oba3 =-ab（a2+b2）（这 道题以右边为坐标原点，左为正方向）3-3如图3-28所示，一轻 绳跨过两个质最为m、半径 为r的均匀岡盘状定滑轮， 绳的两端分别挂着质量为 2m和m的枣物，绳与滑轮 间无相对滑动，滑轮轴光滑，求重物的加速度和各段绳中的张力。（现在滑轮质最 要计，所以绳子拉力会不等）解：受力分析如图2nig -T2 = 2ma（1）T 一 ipg = lip(2)(T2-T)r = J/7(3)(T _T】)r = J0(4)（对于质最卄:常小的物体，转动惯量为零.才有可能T=Ti）a = rZ? , J =丄 mr2联立求出1f 11a = - g ,

48、 T =mg ,483-4如图329所示，一均 匀细杆长为L,质最为m, 平放在摩擦系数为“的 水平桌面上，设开始时杆 以角速度5绕过细杆 中心的竖直轴转动，试 求：（1）作用于杆的摩 擦力矩；（2）经过多长 时河杆才会停止转动。I； = -mg4,T2 =|mgL图3-29习题图 十一!一."mJ 0匚£（1）解：设杆的线久=¥，在杆上取一小质元dni=2dxdf = /ding = 久 gdx dM = /i2gxdx考虑对称 M = 2jo2 “Zgxdx = (2) 根据转动定律M = J0 = J学 dt£-Mdt = £jdd>

49、;/zmglt = -一ml26?0412所以t = -3"g3 5质量为dm和叫的 两物体A、B分别悬挂在如本 题图所示的组合轮两端。设两 轮的半径分别为R和"两轮 的转动惯量分别为J1和b轮 与轴承间的摩擦力略去不计， 绳的质量也略去不计。试求两 物体的加速度和绳中的张力。解：分别对两物体做如图 的受力分析。根据牛顿定律仃niig-Ti =1叩T> -m2g = 113又因为组合轮的转动惯量是两轮惯量之和根据转动 定理有（从枳分定义式即可算出）TjRTt = (J + J而且，a】=Ra , a2 = ra > （列1牛二2转动定律 3一约束方程即可求解）m

50、1R-in2r d-）-> 呂K打+、+ 1斗1 +m厂inR-m-,ra, =fr grJ】+ J? +11 +m2r"J】+ 匚 +mj2 +iihRrT】=W码 gJ】+ J】+码1<+m2rT,+ J厂叭+吧叭J】+ J2 +m,R° +叫厂3-6如本题图所示装置，定滑轮的半径为r,绕转 轴的转动惯量为J，滑轮两边分别悬挂质量为m】和ni?的 物体A、B> A置于倾角为6的斜面上，它和斜面间的摩 擦因数为p o若B向卜作加速运动时，求:（1） K卜落 加速度的人小:（2）滑轮两边绳子的张力。（设绳的质量 及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑）

51、 解B物体的受力分析如图。根据牛顿定律有T _m,gsin&- f = 11矜叫g-Tj =132对滑轮而言，根据转动定律有T2r-Ir = Ja由于绳子不可伸长、绳与轮之间无滑动，则上细棒至少应具有多大的角速度血, 才能转动到水平位凰？解：机械能守恒1 1 T 2 1mg + J d? = kx"J（一开始的机械能=后面的机械能，水 平临界状态速度为零，没冇转动能）图3-33习题38图据几何关系(x+0.5)2 =1.52+12 ty=3.28rad s_1叫 g - 1耳 g s in 8/ ziq g c o s & d| = a > =nij + m2

52、+ J / r2_ nni、g(l + sin。+ “cos。)十(sin& + “cosnijg J/r2 M =码 + m、+ J/r2g(l + sin & + “cos&) + 叫 g J ,/r211、+ m2 + J ,/r23-7如图3-32所示，定滑轮转 动惯量为J，半径为r：物体 的质最为m用一细绳与劲度 系数为k的弹簧柑连，若绳 与滑轮间无相对滑动，滑轮轴 上的摩擦忽略不计。当绳拉 直、弹赞无伸长时使物体由静图3-32习题37图3-9如图3-34所示，一质屋为m、半径为R的圆盘，可绕过O点的水平 o（ cA 轴在竖直面内转动。若盘从图中实线V位置开始由静止下落，略去轴承的摩/i /擦，求：（1）盘转到图中虚线所示的、Cj 铅11位置时，质心C和盘缘A点的速 '、丄/ 率；（2）在虚线位置轴对圆盘的作用A ；力。图334习题3-9图解：在虚线位置的C点设为重力势能的零点，下降过程 机械能守恒mgR=|lry2J =丄mR? + niR2 （平行轴定理：圆心到O）2止开始下落。求:（1）物体卜落的最人距离；（2）物体的 速度达址兴值时的位置。解：（1）机械能守恒。 设下落最大距离为h+ kh2 = mghh =（2） Zkx