大学物理_机械振动和机械波

1、第二篇机械振动和机械波m.m教学基本要求掌握描述简谐运动的各个物理量（特别是相位）的物理意义及各量间的关系.二 掌握描述简谐运动的旋转矢量法, 并会用于简谐运动规律的讨论和分析.1=三 掌握简谐运动的基本特征，能建立 一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初 始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理 解其物理意义.理解同方向、同频率简谐运动的合成规律，了解拍的特点.五 了解阻尼振动、受迫振动和共振的 发生条件及规律.本章重点相位概念的理解及掌握简谐振动的基本规律。同方向同频率简谐振动的合成。本章难点相位概念的理解。引言任一物理量在某一定值附近往复变化均称为 振动. 机械振动 物体围绕一固定位置往复

2、运动. 其运动形式有直线、平面和空间振动.例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以 及晶体中原子的振动等.周期和非周期振动简谐振动最简单、最基本的振动.简谐振动复杂振动谐振子 作简谐振动的物体.§ 4-1简谐振动一简谐振动的特征方程1弹簧振子平衡位置7/-AX = QF = QIIA弹簧振子 F = kx-Ao+A XTTm a cdx害+宀=0dxv =Aco sin（vt + 0） dta = Aco1 cos（劲 + 0）dr2 单摆-mg sin = mat=mloc = ml = ml 0dt20+sn0 = 0I(jmg0+ arO = 00 = 0m cos伽 + 0)0

3、<5° 时,sin"令/=_3复摆（物理摆）d20M = mglO-mgie = I d严 人 2 mgl 令 CD = -y- d叨2Q n+69 & = 0d尸动力学判据0 0m cos(cot + cp)运动学判据（C点为质心）二谐振动的速度和加速度简谐运动的描述和特征1）物体受线性回复力作用|f =吃#平衡位置2）简谐运动的动力学描述 与+血2兀=0dr3）简谐运动的运动学描述x Acoscot + cp）v = A co sin （cot + cp）4）加速度与位移成正比而方向相反 心一刀2兀弹簧振子cd =k/7n单摆二/g/l复摆60三描述简谐振

4、动的物理量（三要素）1振幅Xmax2周期、频率X = Acos(曲+ 0)X Xt 图=A co s a)(t + T) +(p 期T上CO1 CD频率m注弹簧振子周期I圆频率Q =2兀！/= T271周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关简谐运动中，兀和0 之间不存在一一对应的 关系x = Acosfc?f+) v = -Asin&Tb3相位（位相，周相）cot + cp1 ） CDt + （p > （兀Q）存在一一对应的关系；3相位（位相，周相）初+ 0 x = Acos(o + 0)1）型+ 0T （忑O）存在对应的关系;物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态月相

5、：新月，娥眉月,上弦月,满月,下弦月,残月等就月上弦月满月下弦月3相位（位相，周相）初+ 0 x = Acos(o + 0)1）型+ 0T （忑O）存在对应的关系;物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态.2）相位在02兀内变化，质点无相同的运动状态;相差2兀兀为整数）质点运动状态全同.（周期性）3）初相位。（/ = 0）描述质点初始时刻的运动状态.（0取兀兀或0 T 2兀）常数4和（P的确定rX = ACOS(M + 0) Lu = A co sin (cot + cp)4十+予L tan =初始条件t = 0 x = v = Vq r Xq= AcOS(p >I = -cdA s

6、in cpcox0对给定振动系统，周期由系统本身性质 决定,振幅和初相由初始条件决定.讨论已知 t = 0.x = 0.v < 0 求 0例41 一轻弹簧，下挂质量为10g的重物时，伸 长49cm 用它和质量80g小球桁应弹饕振工 将小球由平衡位置向下拉1.0cm后，给向上初 速度吟50cm/s 求振动周期及振动表达式.解：取向下为兀轴正向.振动方程为 x=0.0141cos(5/+ 7t/4) (SI)甲土2如图所示，一边长为L的立方体木块浮于静 水中，浸入水中部分的高度为b。今用手将木块压 忑盍I放舌琴萃开始运动。若忽略水对木块的黏 些譽盘；并且水面开阔，不因木块运动而使水面 咼度变

7、化，证明木块作谐振动。礼，证明：以水面为原点建立坐标OXd2x 9f + 一x 二 0 dt2 bd2x 2+ 69 X = 0dt解决简谐运动方程问题的一般步骤:1）找到振动平衡位置，此时合力为零，选平衡位 置为原点，建立坐标系2）设振子离开原点x处，分析受力情况.3）应用牛顿定律.4）根据初始条件确定A和（p5）写出振动表达式.另外一个方法:能量法§4-2谐振动的能量以弹簧振子为例F = kxrx = Acos(pt +(p) I e = -A co sin (of + 0)Ek - mu2 = mco2A2sin2cot + cp)E, - kx2 - kA2 cos2( +

8、69) p 22屮co2 klm1E = Ek+Ep=-M2A2 (振幅的动力学意义)线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒能量守恒進畧简谐振动方程E = mv2 + kx2 =常量 2 2 (my2 + h:2) = 0 dt 22=0dv 1 m + kxdtd2 x k 八+ x = 0 dt m例43质量为0.10kg的物体，以振幅1.0xl0 2m 作简谐运动，其最大加速度为40ms2,求：(1) 振动的周期；(2) 通过平衡位置的动能；(3) 总能量；(4) 物体在何处其动能和势能相等？解(2)T = 0.314s耳=2.0x10 3Jk,max(3)E = Ek =2.0

9、x10"3Jk,max(4) x = ±0.707 cm例44 一匀质细杆AB的两端，用长度都为1且不计质 量的细绳悬挂起来，当棒以微小角度绕中心轴00扭 动时，求证其运动周期为：T = 17img o(p解：设棒长为2R,质量为m,在 棒扭动时，其质心沿0QL下运动。 因扭动角度很小，可近似认为 细棒在水平面内转动。扭动角度 为时妙©棒在水平面内转动角度 为 e,(pl R0E = mgh £ =-/()2Of2 dt hc /(I cos>) £_£ + 昶dt2 I思考:如何利用转动定律求解？例4-5劲度系数为4原长为人质

10、量为加的均 匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M的物体, 在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。解：平衡时O点为 坐标原点。物体运动 到x处时，弹簧固定端 位移为零，位于M 端位移为X。当物体O于X处时,弹簧元ds的质量伽=mds/l，位移为5%/ 速度为奢I dtd2xk门-r + X = 0dtM + m! 3/§ 4-3谐振动的旋转矢量投影表示法”一一厂、CD/ 、/ 当（三0时、牙3 用XIJ /、上0二枇OS例/ 、 -y、丄一以0为 原点的旋转 矢量刁在兀 轴上的投影 点的运动为 简谐运动.x = Acos（初 + 0）以o为 原点的旋转 矢量兀在兀 轴上的投影 点的运动

11、为 简谐运动.5 =也Zn = ACD2jv二 Acos(m + 0)v = Aco cos(创+ 0 )a = -Act)2 cos 伽 + 0)用旋转矢量图画简谐运动的x-t a% =Acos(a)t + (p)V卩=2兀（旋转矢量旋转一周所需的时间）相位差：表示两个相位之差1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状 态间变化所需的时间.A0 = 32 + 0）（曲1 + 0） 兀=Acos（6i+ 0）mx = Acos（vt2 + （p）"©XA 乂庆 4/2*0co-A 0津甘/4V !-A2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它 们间步调上的差异.（解决振动合

12、成问题）%! = 4 COS（曲 + 01）兀2 =人2 COS（曲 + 02 ）3）关于旋转矢量法的理解:旋转矢量本身并不做简谐运动，只是用其投影点的运动来表示谐振动，各物理量直观.在旋转矢量法中，相位表现为角度，处理方便， 但不是角度相位的物理含义在于可据以描述 物体在任一时刻的运动状态.例46如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹 簧的劲度系数k = 0.72Nnr!物体的质量m = 20g.(1) 把物体从平衡位置向右拉到% = 0.05m处停下后再释放，求简谐运动方程；4(2) 求物体从初位置运动到第一次经过一处时的速度；2(3) 如果物体在% = 0.05m处时速度不等于零， 而是

13、具有向右的初速度u0= 0.30m-S31求其运动方程.|aaaaaaaaPvI xlmO 0.05例47 质量为0.01kg的物体作简谐运动，其振幅为0.08m,期为4s ,起始时刻物体在x=0.04m处，向Ox轴负方向运动(如图)试求(1) 21.0s时，物体所处的位置和所受的力;V-0.08 -0.04I x/m0.08(2)由起始位置运动到x = -0.04m处所需要的最短时间. 例4-8 质点在X轴上作简谐运动，选取该质点 向右运动通过A点时作为计时起点，经2s后质点 第一次经过B点，再经过4s后第二次经过B皆，A 和B处的速率相同，且AB=12cm，求振动方程.法一:解析法 法二:

14、旋转矢量法§ 4-4谐振动的合成两个同方向同频率简谐运动的合成C= Aj cos（曲 + ©） =企 cos + %）X = Xj + %2x = 4 cos（初+ 0）A =+ 2A| cos（02 - 0）tan0 =Aj sin cp + A2 sin（p2Ax cos q + A2 cos 径两个同方向同频 率简谐运动合成 启厉为简諳运动IX XA = Ax +40 = 02 = 0 + 2 瓦 71X = （Aj +4）（30$伽 + 0）A = + A2 + 2 Aj A2 cos（02 ）1）相位差人0 = 02 0i = 2七兀（k = 0，± 1

15、，± 2,）A = yl+ A2 + 24 A? cos（02 _ %）2）相位差0 = 02_0 =（2上 + 1）兀（£ =0，±1，）兀=Aj coscotX （4? “4）CO S（Qf +71）1)相位差 02一01 = 21at (£=0,±1,)A = 4 + & 相互加强2) 相位差 02 01 (2£ +1)71 伙=0 , ± 1,)A =内A21 相互削弱3) 一般情况4 +> A > 4 三 两个同方向不同频率简谐运动的合成蠶卅振埶角频率分别为X = AjCos + j) x2 =

16、42Cosy + 02)t时刻两分振动的旋转矢量之间的夹角为: 0=-0并+(02 - ©J 与时间有关0兀2 0= X + 兀，3IIIwwMamM/wwv 一 I 一 IIIIII频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.单位时间内合振动振幅大小变化的次数，称为 拍频1 © 0V =L = 1/ V7221拍频等于两个分振动的频率之差§ 4-5阻尼振动受迫振动共振 一阻尼振动阻力系数阻尼力 Fr = -Cvd2x 厂dr 了门m - + CZcx= 0d? dtd2X2 n + 20 f o)c x = 0 d

17、t2 dt ox = Ae-6t-kx-Cv = ma固有角频率5 = C/2m 阻尼系数COS振幅 角频率co = 52T = = 2兀 / JejG)d2xdx:+ d=odtmcl?+cX COS(2?r + 0)co J 加 _ &r a)欠阻尼CO； > 82v b)过阻尼col<82 jc)临界阻尼此=&1受迫振动（周期性外力持续作用）器+C篇+西浊2驱动力d2xedx2丄+2。CDX / coscot驱动力的角频率dt2 dt 0px + A co s(cot + 0)瞬态解:-研）+ 4沪血稳态解2处 tg屮二 5 _环二共振d2xedx2+ 20

18、卜 cdx f cos e tdt2 dt07 卩x = Acos(copt + 0)Js：-盗)+ 4 心;也=0dQp共振频率5二屁-2"共振振幅A共振频率0 !:；OqQp26J-62共振频率共振振幅金 共振现象在实际中的应用乐器、收音机共振演示实验单摆1作垂直于纸面 的简谐运动时，单摆5将 作相同周期的简谐运动, 其它单摆基本不动.金共振现象的危害1940年7月1日美国Tocama悬索桥因共振而坍塌减振原理1消除或抑制振源强度 2避开共振区 3隔振措施 4阻尼消振补充例题如图所示，一直角均质细杆，水平部分杆长为I,质量为m,竖直部分O杆长为21,质量为2m ,细 杆可绕直角顶点处的固定轴 0无摩擦地转动，水平杆的 末端勾臥度系数为k的弹簧 相连，平衡时水平杆处于水 平位置。求杆作微小摆动时的周期。解I帕 fac0Z = mg-M = mg-cos 3 - 2mg/ sin 0 2一檢0 +x"cos0cos «l;sin0 ®