十年热考题何在

1、1十年热考十年热考 题根何在题根何在2【考题【考题】 （0808，江苏，江苏，1313）bc ac ab2,2 满足条件满足条件 的的 abc的面积的最大的面积的最大值是值是 十年热考十年热考 题根何在题根何在这道题目，考了十年之久，这道题目，考了十年之久，20082008年又考了：年又考了：【说明【说明】 有的解对了，有的解对了，有的解错了；有的一望而答，有的稿有的解错了；有的一望而答，有的稿纸连篇纸连篇综合评价是：有新意，此题出的很好！综合评价是：有新意，此题出的很好！【点评【点评】新意很好，就是拿着新意很好，就是拿着“题根题根”推陈出新好推陈出新好3思路思路1 1 向向 三角形面积公式寻

2、根三角形面积公式寻根bc ac ab2,2 【考题【考题】满足条件满足条件 的的 abc的面的面积的最大值是积的最大值是 则：则： ，所以，所以 2222)2 ()2(yxyx442xy所以所以4)12(128)44(22222xxxcd所以所以4)12(1282122xcdabsabc22显然当显然当 x2=12，即，即 时，三角形面积有最大值时，三角形面积有最大值 32x【解答【解答】设设 bc =x，则，则 ，作，作cdab于于d，设，设 db= y， xac2 a b 2xc x dy【点评【点评】 一道一道5 5分的填空题，寻得一个分的填空题，寻得一个“无理函数无理函数”，值吗？，值

3、吗？4 在在abc 中得中得 , xxb44cos2则当则当 时，时， 的最大值为的最大值为 .32xabcs22 a b x2c x 思路思路2 2 向向正弦面积公式正弦面积公式寻根寻根bb2cos1sin又又4)12(128)44(1cos122222xxxxbxsabc所以所以 , ,bbcabsabcsin21xac2【解答【解答】 abc abc 的面积的面积 ，设设bc=x，得，得 . .【点评【点评】 殊途同归，寻得同一个殊途同归，寻得同一个“无理函数无理函数”！巧合吗？！巧合吗？5【解答【解答】设设bc = x，得，得 ，xac2 由海伦公式由海伦公式 （其中（其中 ），得），

4、得)()(cpbpappsabc2cbap22)12(12841xsabc当当 时，时， 的最在值为的最在值为 .32xabcs22思路思路3 3 向向三边面积公式三边面积公式寻根寻根 a b x2c x 【分析【分析】为何还是寻得同一个为何还是寻得同一个“无理函数无理函数”？因为你设了同一个自变量因为你设了同一个自变量 bc = x ， 故寻得故寻得同一个函数！同一个函数！其结果与三种不同的其结果与三种不同的“思路思路”（中间过程）无关（中间过程）无关！6思路思路4 4：从函数式转向轨迹方程从函数式转向轨迹方程【解答【解答】建立如图的坐标系，设建立如图的坐标系，设c(x，y)，a(-1,0)

5、、b（1，0），），由由 得得 .bcac22222) 1(2) 1(yxyx化得化得 ，方程显示：方程显示：c点的轨迹是为以（点的轨迹是为以（3，0） 为圆心，以为圆心，以 为半径的圆为半径的圆. . )0(8)3(22x yx22abc 高的最大为高的最大为 圆的半径圆的半径 .22【点评【点评】转向方程，数形结合，运算量减少！转向方程，数形结合，运算量减少！题根何在？莫非就是这个圆？这是个什么圆？题根何在？莫非就是这个圆？这是个什么圆？7 教材寻根教材寻根 找到此圆找到此圆bc ac ab2,2 【考题【考题】满足条件满足条件 的的 abc的面的面积的最大值是积的最大值是 【题根题根】现

6、行现行高中课本（必修）数学第二册（上）例题高中课本（必修）数学第二册（上）例题 ：已知一曲线是与两个定点已知一曲线是与两个定点o(0，0)、a（3，0）距离之比）距离之比为为 的点的轨迹，求此曲线的方程的点的轨迹，求此曲线的方程.21点点 c 的轨迹方程是的轨迹方程是 yx8)3(22动点动点 的轨迹方程是的轨迹方程是 yx4) 1(228 圆兄圆弟圆兄圆弟 出自一家出自一家【追根【追根】更换题根中的距离之比和线段长，即得考题轨迹方程更换题根中的距离之比和线段长，即得考题轨迹方程.bc ac ab2,2【考题【考题】满足条件满足条件 的的 abc的面积的的面积的最大值是最大值是 点点 c 的轨

7、迹方程是的轨迹方程是 yx8)3(22动点动点 的轨迹方程是的轨迹方程是 yx4) 1(22【请问【请问】兄弟贵姓？兄弟贵姓？ 【答曰【答曰】阿波罗！阿波罗！【题根【题根】已知一曲线是与两个定点已知一曲线是与两个定点o(0，0)、a（3，0）距离之）距离之比比为为 的点的轨迹，求此曲线的方程的点的轨迹，求此曲线的方程.219有请阿波罗 全族集合【轨迹【轨迹】动点动点 p(x、y) 到定点到定点f1(-c，0)、f2(c，0)的距离之比为的距离之比为.（c c，为正数）为正数） 求求 p (x、y) ) 的轨迹方程的轨迹方程 . .【讨论讨论】方程的图形是什么？】方程的图形是什么？（1 1）=1

8、=1时，得时，得 x = 0 , = 0 , 即阿波罗直线；即阿波罗直线；（2 2）11时，可以判定方程的轨迹是圆：阿波罗圆时，可以判定方程的轨迹是圆：阿波罗圆. . 【探求【探求】依题意，由距离公式得依题意，由距离公式得 化简后化简后2222)()(ycxycx0)1 ()1 (2)1 ()1 (2222222cxcyx10阿波罗轨迹的和谐美【阿波罗圆阿波罗圆】动点动点 p 到两定点到两定点f f 1 1、f f 2 2 距离之比为定值距离之比为定值（c c，为正数）为正数）. . 则动点则动点 p 的轨迹是阿波罗圆（线）的轨迹是阿波罗圆（线）. .【和谐之美和谐之美】 阿波罗圆（线）有四美

9、：阿波罗圆（线）有四美：（3 3）两族曲线的对应美；）两族曲线的对应美；【圆锥曲线圆锥曲线】动点动点 p 到定点到定点f与定直线与定直线 l 的距离之比为定值的距离之比为定值. . 则动点则动点 p 的轨迹是二次曲线线的轨迹是二次曲线线 . .（1 1）直线与圆的统一美；）直线与圆的统一美；（2 2）量变质变的运动美；）量变质变的运动美；（4 4）解几图形的完整美）解几图形的完整美 . .11阿波罗圆 小题小作【大作大作】 5 5分的填空题，搬动无理函数分的填空题，搬动无理函数 ：bc ac ab2,2【考题【考题】满足条件满足条件 的的 abc的面积的面积的最大值是的最大值是 4)12(12

10、8)44(22222xxxcd【中作中作】 5 5分的填空题，搬动轨迹方程：分的填空题，搬动轨迹方程： yx8)3(22【小作小作】 阿波罗圆的圆心在直线阿波罗圆的圆心在直线 ab 上，上， 拿线段拿线段 ab 的内、的内、外分点的连线段为直径外分点的连线段为直径 . . 因此，阿波罗圆的问题可以从平面退到轴上解决！因此，阿波罗圆的问题可以从平面退到轴上解决！12阿波罗圆的轴上解决bc ac ab2,2【考题【考题】满足条件满足条件 的的 abc的面积的的面积的最大值是最大值是 【简解简解】动点动点c c 到定点到定点a a (- 1(- 1，0)0)和和b b（1 1，0 0）距离之比为）距

11、离之比为 2 则有则有|1|2|1|xx得得 为内分点，为内分点， 为外分点为外分点 . .2231x2232x圆半径为圆半径为 ，即为三角形高的最大值，即为三角形高的最大值. .22abc 高的最大值是高的最大值是 . .2213【考题【考题1 1】设设 a( -3，0)，b( 3，0) 为两定点，动点为两定点，动点p到到a点的距点的距离与到离与到b点的距离为定点的距离为定比比1 ：2，则，则p点的轨迹图形所围得的面点的轨迹图形所围得的面积是积是 （ ） . （19991999年全国卷）年全国卷）【考题【考题2 2】已知两定点已知两定点 a(-2，0)，b(1，0)，如果动点，如果动点p 满

12、足满足|pa|=2|pb|，则点，则点p的轨迹所包围的面积等于（的轨迹所包围的面积等于（ ）a. b.4 c.8 d.9 （20062006年四川卷）年四川卷）阿波罗圆 考题展览【寻根【寻根】定比定比1 ：2未变，但未变，但两定点间的距离由两定点间的距离由3 3变变6.6.【寻根【寻根】定比定比1 ：2变成变成2，但，但两定点间的距离变两定点间的距离变. .14【考题【考题3 3】设设 a( -c，0)，b( c，0) ( c0)为两定点，动点为两定点，动点p到到a点点的距离与到的距离与到b点的距离的比为定值点的距离的比为定值a (a 0)，求，求p点的轨迹方程点的轨迹方程及图形及图形. （2

13、003年北京卷）年北京卷）阿波罗圆 考题展览【寻根【寻根】定比定比与定距已经一般化，图形要讨论与定距已经一般化，图形要讨论.【略解【略解】0)1 ()1 (2)1 ()1 (2222222caxacyaxa（1 1）当）当 a=1 1时，得时，得 x =0.=0.图形是直线图形是直线. .（2 2）当）当 a1 1时，方程化为时，方程化为222222121)1 (aacyaacx0,1)1 (22 aac轨迹图形是以轨迹图形是以 为圆心，以为圆心，以 为半径的圆为半径的圆. .|1|22aac15阿波罗 伸向圆的切割线【寻根【寻根】两定点用两定圆替换，距离两定点用两定圆替换，距离之比用切线长之

14、比替换之比用切线长之比替换. .【点评【点评】至此，阿波罗圆与圆幂问题链接至此，阿波罗圆与圆幂问题链接. .【略解【略解】1)2(21)2(2222yxyx轨迹是以（轨迹是以（6 6，0 0）为圆心，以）为圆心，以 为半径的圆为半径的圆. .33【考题【考题4 4】如图，圆如图，圆o1与圆与圆o2的半径都是的半径都是1，o1o2=4，过动点，过动点p分别作圆分别作圆o1、o2的切线的切线pm、pn（m、n分别为切点），使分别为切点），使得得 . 试建立适当的坐标系，试建立适当的坐标系，求动点求动点p的轨迹方程的轨迹方程.pnpm233)6(22yx即即16阿波罗圆 伸向角的平分线【考题【考题5

15、 5】abc中中，角角c的平分线交的平分线交 ab于点于点 t，且，且 at = 2， tb = 1. 若若ab上的高线长为上的高线长为2，求，求 abc的周长的周长.【寻根【寻根】定比定比 2 2 ：1 1，定距为，定距为3.【略解【略解】按角分线的性质按角分线的性质 有有c a : c b = = at ：t b = 2 = 2 ：1 1 点点c 的轨迹是直径为的轨迹是直径为4的圆的圆. 圆的半径圆的半径 2 为三角形的高线为三角形的高线.【点评【点评】至此，阿波罗圆与角的平分线（内、外）链接至此，阿波罗圆与角的平分线（内、外）链接. .（再勾股定理求（再勾股定理求c a 、 c b的长度的长度) )atbcod217阿波罗圆 伸向定比分点【考题【考题6 6】已知定点已知定点 b(3，0)，点，点 a 在圆在圆 x2+y2=1 上运动，上运动，aob的的平分线交平分线交 ab于点于点 m，则点，则点 m 的轨迹方程是的轨迹方程是 .【点评【点评】与定比分点链接，完成了与定比分点链接，完成了阿波罗圆阿波罗圆“身与魂的合身与魂的合一一”. .【略解【略解】bm : ma = ob : oa = 3 : 1 设设 m (x,y)，解得，解得a点的坐标：点的坐标： 代入代入 x2 + y2 =1=1)34, 134(y x 169)43(22